Prof. Piccinini Esercitazioni

Fisica B

Prof. Piccinini Esercitazioni

Dott. Gianluca Pagnoni

E-mail: gianluca.pagnoni3@unibo.it

Operatore differenziale Nabla

k z j y

i x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ r ˆ ˆ ˆ

Consideriamo un campo vettoriale generico:

z y

x

j v k v

v i

v r = ˆ + ˆ + ˆ

z z

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ ˆ ˆ 1 ˆ

φ φ ρ

ρ ρ

r

φ φ θ

θ θ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ sin

ˆ 1 ˆ 1

ˆ r r r

r r

coordinate cartesiane

coordinate cilindriche

coordinate sferiche

Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:

z y

x v

v z v y

v x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇r r

Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale

(

) ⁽

⁾ (

)

z y

x

z y

x i v v j v v k v v

v v

v

k j

i

v = ∂ ∂ ∂ = ∂ − ∂ − ∂ − ∂ + ∂ − ∂

∧

∇ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

r r

dove:

z y x

z y x

∂

∂ =

∂

∂

∂ =

∂

∂

∂ =

∂

Data una funzione f (x, y, z)

∂

∂

∂

r

Calcolare la divergenza del campo vettoriale ^{vr =}

(

)

( )

⋅









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ x xy xy z

z y

vr x , , ², ,

Calcolare il rotore del campo vettoriale ^{vr =}

(

)

(

)

⁽

⁾

(

)

=

×

∇ vr _yv_{z z}v_y iˆ _xv_{z z}v_x ˆj _xv_{y y}v_x kˆ 2x + x− xy z2

(

) (

) (

)

=

Siano dati il vettore costante e il campo vettoriale . Calcolare il gradiente della grandezza .

(

)

vr = ², ,

v cr r

⋅

(

)

cr =

( )

( ) ( )









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ c c c x xy xy z

z y

v x

c r , , ₁, ₂, ₃ ², ,

(

)









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂ c x c xy c xy z z

y

x ^{2 3}

2

, 1

,

(

)

=

1 - metodo: calcolo diretto

( )

∫∫

∫∫

⋅

= Σ

⋅

1 1

) ,

0 , 0 ( ,

3 x, y z x y

v^r

δ

δ δ

(

)

y x

, 3 ,

) ,

0 , 0 (

=

= Σ r

r

δ δ

δ

=

=

=

∫∫ ∫∫

Σ

Σ₁ 3 a3 L2 ₁ x y y

x a z

δ δ δ

δ

6 6

3

2 aL

aL L

=

=

x

y z

L

L

δΣ v

L/2

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata

nell’origine

) ,

, 3 (

1 a x y z vr =

∫∫∫ ∫∫

Σ Σ

Σ

⋅

=

⋅

∇

V

v V

v

r r

r

δ δ

Calcoliamo allora vr

⋅

∇

a a a

a z a

y z x

y

v x ⋅ = + + =









∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ r , , ( , , ) 3 3 3 3

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

Σ Σ

=

=

= Σ

⋅

Σ V V

aL V

a V

a

v^r

δ

δ δ

2 - metodo: utilizziamo il teorema della divergenza

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata nell’origine

) , , 3 (

1 a x y z

vr =

Il campo elettrico si annulla ne punto P se: = 9 Q

q r r

E Q ˆ

4 1

2

πε

r =

Due cariche sono disposte come in figura. Calcolare il rapporto delle cariche affinchè il campo elettrico nel punto P sia nullo.

d d/2

-Q P

+q

In questo punto il campo elettrico complessivo è nullo

q Q x d

+

= 1

r r

E Q ˆ

4 1

2

πε

r =

Due cariche elettriche sono disposte come in figura. Calcolare il

potenziale elettrostatico in un generico punto dell’asse x. Determinare in quale punto dell’asse si annulla la derivata del potenziale elettrostatico rispetto alla variabile x.

d

+Q +q

I vettori del campo elettrico generati in P dalle diverse cariche sono tutti collineari per cui possono essere sommati come numeri dotati di segno

2 0 2

0 2

2 2

0 3 24

1 2

1 1 4

9 3 4

2 4

1

L q L

q L

q L

q L

q

πε πε

πε

 



 − −

=



 



 − −

r r

E Q ˆ

4 1

2

πε

r = Principio di sovrapposizione

Calcolare nel punto P ,modulo direzione e verso del campo elettrico generato dalle cariche elettriche indicate in figura

L L L

q P

-2q -3q

A) Q 2Q d r r

r Q r

Q

F_A Q 2 ˆ

2 ˆ

2 2

2 =

= ⋅ r

B) 2 3Q

2

3Q d r

r r Q

r Q

F_B Q 1 ˆ

4 ˆ 9

1 2 3 2

3

2 2

2 =

⋅ r =

F Q r

F

r

r 9

2 ˆ

9 ²

=

=

=

−

=

∫

A

V V

l E

r r

δ



 



 −

2 1 1

4 ₀ L L

Q

πε

L Q

2 1 2 4 ₀

= −

πε

4

πε

( )

r r Q

V

4 0

1

πε

L

Q 2 2

4 ₀

= −

πε

Calcolare l’integrale di linea del campo elettrostatico generato dalla carica elettrica q lungo il percorso tratteggiato che congiunge A e B

B

L

q ^A

L

Campo elettrostatico è conservativo

gradV Er = −

( )

4 0

1

x d

L E_x x

= −

λ λδ δ πε

( )

∫

=

L

x L d x

E x

0

2

4 0

δ πε

λ

( )





−

= +

L d

d x

d E L

L x

1 1

4 1

4 _{0 0}

πε

λ πε

λ

λ

Calcolare modulo direzione e verso del campo elettrostatico generato nel punto P dalla

distribuzione lineare finita ed uniforme di carica elettrica indicata in figura

E

r _P

L d

λ

( )

∫

=

L

x L d x

x d

E L

0

2 0

) (

4

δ πε

λ

∞

∫

∞_P = ^P F_est ⋅ l L

r r

δ

R

P

λ

q ∞

E q F_est

r r = −

(

)

P

P q E l q V V qV

L = − ⋅ = − _∞ − =

∞

∞

∫

^δ

0 0

0 2 2

4 4

1

ε π λ

πε λ λδ

πε

=

∫

V

anello P

2

ε

λ

dove è il campo elettrico generato dall’anello carico

E r

( )

r r Q

V

4 0

1

πε

Data una distribuzione lineare di carica elettrica in forma circolare di raggio R, ed avente densità lineare λ uniforme, calcolare il lavoro necessario per trasportare una carica puntiforme q dall’infinito al centro della distribuzione stessa

La superficie laterale di un cono e di una semisfera sono unite in modo da formare una superficie chiusa S. Internamente ad S,

nel centro del cerchio che costituisce il bordo comune delle superfici di cui sopra, è posizionato un elettrone (q=-1.60x10^-18 C). Calcolare il flusso del campo elettrostatico Φ(E) attraverso la superficie laterale del cono nell’ipotesi che il raggio della

semisfera valga R=10 cm (ε₀=8.85x10^-12C²/Nm²

R

q

S q = −1.60×10⁻¹⁹C

2 2

12

0 = 8.85×10⁻ C Nm

ε

cm R =10

( )

Φ E r

Considerando ora una superficie sferica centrata in q, la legge di Gauss ci dice

da cui

0

2

δ ε

δ δ

δ

E

Semisfera Semisfera

Semisfera S

=

⋅

=

⋅ +

⋅

=

⋅

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

2

ε

δ

Semisfera

=

∫∫

6 12

19

0 0

. 0 .

10 18

. 10 0

85 . 8 1 . 0

10 60

. 1 2

2

−

−

− = − ×

×

⋅

×

= −

=

−

=

∫∫

^δ

_ε

_ε

_ε

Cono Lat

Sup

r r

Dalla legge di Gauss si ha che

ε

δ

E

S

=

∫∫

. 0

.

δ ε

δ

δ

E

Cono Lat

Sup semisfera

S

=

⋅ +

⋅

=

⋅

∫∫ ∫∫

∫∫

Esame 24/09/2008

kQ F

k E

V

E = −∇ , = , =

La differenza di potenziale elettrostatico tra due punti A e B è definita come il lavoro cambiato di segno per portare la carica unitaria da A a B.

Esame 24/09/2008

Esame 14/06/2010

Esame 14/06/2010

Esame 13/07/2010

Esame 13/07/2010

Esame 13/07/2010

Esame 01/02/2008

Esame 13/07/2010

Esame 13/07/2010

1

2 2d

d =

S d Q C

CV Q U

0 2 2

2

2 2

2 1

=

ε

=

=

Q ^{costante 2}

2

1 CV U =

d A

U Volume

u_E U^{E E}

= ⋅

=

volume di

unità per

tica elettrosta

energia :

energia di

densità

= U U

= 2U

=

V C Q

= ∆

d C ₌

ε

Due particelle di carica uguale ma di segno opposto partono contemporaneamente da due punti diversi, con velocità v1 e v2, nello stesso verso e su traiettorie parallele. Le particelle sono immerse in un campo magnetico uniforme e

perpendicolare alla loro direzione. Le due cariche s’incontrano quando la direzione della prima è ruotata di 90° e quella della seconda di 150°. Qual è il rapporto tra le masse de lle due

particelle?

Esame 23/07/2012

Calcolare il diametro di un filo di rame (ρ =168 × 10-8 Wm) in cui circola una corrente di 40 A, affinché dissipi una potenza di 1.6 W per ogni metro di lunghezza

Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro

avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt.

Determinare la resistenza interna r della pila.

r=24.2 ohm

Una resistenza filiforme di sezione S=1 mm² è costituita dall'unione di un filo di lunghezza l₁=10 mm e resistività

ρ₁=5×10^-5 Wm con un filo di lunghezza l₂=5 mm e resistività ρ ₂=3ρ ₁. Quando la resistenza è attraversata da una

corrente uniforme I = 5 A calcolare:

a) i campi elettrici nei due materiali

b) la differenza di potenziale ai capi della resistenza

c) la carica presente sulla superficie di separazione dei due materiali.

Un filo metallico di massa m scivola senza attrito su due rotaie poste a distanza d. Il binario è posto in un campo di induzione magnetica B diretto perpendicolarmente al piano del binario.

Una corrente costante i circola dal generatore G lungo una rotaia, attraversa il filo e torna al generatore attraverso l'altra rotaia. Trovare la velocità (modulo, direzione e verso) del filo in funzione del tempo nell'ipotesi che esso sia fermo per t=0.

Un filo rettilineo conduttore di sezione circolare costituito da un materiale di densità pari a 2.5 g/cm³ è posto in un campo

magnetico uniforme in modo che l'asse del filo sia

perpendicolare alla direzione del campo. Nel filo si stabilisce una densità di corrente di 2.4x10⁶ A/m² e si fa aumentare il

campo magnetico fino a quando la forza magnetica agente sul filo bilancia esattamente quella gravitazionale. Calcolare il

valore di B al raggiungimento di questa condizione.

Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro

avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt.

Determinare la resistenza interna r della pila.

r=24.2 ohm

S E Q

0

0

ε

ε σ

=

= 0

− +V_A V_B

Ri ^RC

t

e Q Q

RC Q Q

C Q Q

R + = = − 1 ; = ₀ ⁻

; 1 0 &

&

RC t

S e Q S

E = Q = ⁻

0 0

0

ε

ε

Un circuito costituito da un condensatore a facce piane parallele di forma circolare avente una carica Q (sia S la superficie delle armature e d la loro distanza) e da una resistenza R, è inizialmente aperto.

1) Calcolare il campo elettrico tra le armature.

Al tempo t=0 il circuito viene chiuso ed il condensatore comincia a scaricarsi:

2) Determinare la carica sulle armature in funzione del tempo.

Questo fatto determina una variazione temporale anche del campo elettrico tra le armature.

3)Determinare la corrente di spostamento attraverso una superficie circolare posta tra le armature.

S E Q

0

0

ε

ε σ

=

= 0

− +V_A V_B

Ri ^RC

t

e Q Q

RC Q Q

C Q Q

R + = = − 1 ; = ₀ ⁻

; 1 0 &

&

RC t

S e Q S

E = Q = ⁻

0 0

0

ε

ε

=

= Σ

= Σ

= Σ

⋅

=

∫∫ ∫∫ ∫∫

Σ Σ

2 0

0 0

0 E r

dt d d

dt E Ed d

dt d d

dt E i d

S

S

ε

ε ε ε π

RC t RC

t

SRC e r Q

RC e S

r Q dt

r dE = − ⁻ = − ⁻

= ^{2 0}

0 2 0

0 2

0

1

π

π ε ε π

ε

2d

i₁ i₂

d

i₃ Iniziamo calcolando il campo magnetico generato

dalle correnti i₁ e i₂:

( ) ( )

2 2 0 2

2

1 1 0 1

1

2 2

r r i

B

r r i

B

π µ

π µ

=

= r

r

Entrante nel foglio fra i due conduttori

Entrante nel foglio fra i due conduttori

Sia r = r₁ allora r₂ = 2d − r₁ = 2d − r

quindi possiamo riscrivere il campo magnetico totale come:

Sui lati ortogonali (2-4) ai fili agiscono forze uguali ed opposte che si cancellano fra di loro

Sui lati paralleli agiscono forze uguali ed opposte ma diverse in modulo

costante su tutto il filo

2d

i₁ i₂

d

i₃ 1

2 3 4 Sia R la distanza fra il lato 1 ed il filo 1 per la legge di Lorentz:

B l

d i F d

r r

r = ₃ × B

r

l d B

r r

⊥

( )

( )

B i

F

d

⋅

=

⋅

=

∫

0 3 1

r

(

)

B d i

Fr₂ = − ₃ ⋅ +

2 0

1 + =

= F F R

r r

r

( ) ( )

[ ]

3d ⋅ B R − B R + d =

i

[

( ) (

) ]

( )



 





+ −

= d r

i r

r i

B 2 2

2 1

π

µ

2 0 2

2 1

2

1 =

−

− −

− + + −

d R d

i d

R i R

d i R

i

Jl

I = dI = Jdx

d d

d  

∫

=

=

=

m Wb dl

B

ax x

J

m cm

d

/ 10

9 . 1 )

(

06 . 0 6

r 5

∫

=

=

=

m Wb dl

B

ax x

J

m cm

d

/ 10

9 . 1 )

(

06 . 0 6

r 5

∫

× =

= ×

= × ⁻ ₋⁻

m H

m Wb m

I Wb /

10 4

10 9

. 1 /

10 9

. 1

7 5

0 5

π µ

H A

Wb 15

15 =

=

∫

=

=

=

m Wb dl

B

ax x

J

m cm

d

/ 10

9 . 1 )

(

06 . 0 6

r 5

A a d

I 15

2

2 =

=

2 3

3

2 8.4 10

10 6 . 3

30 15

2 A A A m

a d ₋ = ⋅ ⁻

= ⋅

= ⋅

d I x I ₌ δ

Il campo magnetico può essere calcolato come la somma dei contributi delle strisce parallele di

larghezza dx

d x x Ix

J

I = δ = ² ₂ δ

se I fosse costante

( )

(

)

B

P

π δ δ µ

π δ µ

−

= +

= ⁰ 2 _{2 2} ⁰

2

δx

xP P

R

( ) ( ) ( ) ( )



 



  −



 



 + +

− =

= +

−

=

∫

∫

r d d

d r I x

d r

x x d

I x

d r

d

x r Ix

B

d

o d

o

1

2 ln

0 2

0 2

0 π

δ µ π

µ π

δ µ

x

( ) ( )



( )











=

=

=

=

=

=

→

=

12 2 2

2

12 2 2

2 2

0 ( ) ( )

) cos(

) cos(

4 ˆ 1

r y r

k q r sen

k q r sen

k q r

E

r x r

k q r

k q r

k q r

E r r

r Q E

y x

θ δ θ δ

δ δ

θ δ θ δ

δ δ

δ πε

r r r r r r

( ) ( )

( ) ( )

r r q

E r

E

x r

r q E E r

E _tot ^a

y tot

a x

tot tot

32 0 ,

32 0 ,

4 1 0

4 1

πε πε

δ







=

=

∫

r r r r r r

r

B v

e F_L

r r r = − ×

tˆ rˆ

ω O n

v t

v r v

vr = _r ˆ + _tˆ + _n ˆ

è data dal solo trascinamento della sbarra

vt

= ?

vt ^ds_t = ^rdϑ ^t v_t dt

r d dt

ds = ϑ = ω

r v_t =

è data dall’effetto della Forza di Lorentz non annullata dalla reazione vincolare della sbarra

vr

B er evB

F = = ω

tˆ rˆ

ω O

Gli elettroni sono spinti verso il centro di rotazione, il modulo della forza che sente un elettrone e^- a distanza r da O è:

B e r

E = F = ω

la differenza di potenziale è:

2 2

2 1 2

1 Bl

dt Bl d

Bdr r

V

l

o

ω ϑ

ω = =

=

∆

∫

( )

Tagliato d

dt B d

dt B B dS

dt l

d = ⋅ = Φ

= ϑ ^ϑ

2 1 2

1 ²

π

π ²

2 ^r 1 1

Esame 12/01/2010

Esame 18/06/2009

Esame 22/04/2009

F V

F

Esame 23/12/2009