TEST DI VERIFICA SULL’ESITO DEL PRECORSO 22 Settembre 2006 - Esempi di soluzioni

TEST DI VERIFICA SULL’ESITO DEL PRECORSO 22 Settembre 2006 - Esempi di soluzioni

1. L’equazione x²+ 2x − 7 = 0

Vero Falso Non so

a) non ha radici positive 2 2 2

b) non ha radici negative 2 2 2

c) ha una radice positiva e una negativa 2 2 2

d) non ha radici reali 2 2 2

R. Le radici di x²+ 2x − 7 = 0 sono −1 ± 2√

2, quindi le risposte corrette sono FFVF.

2. L’equazione x³+ 2x²− 2x = 0

Vero Falso Non so

a) ha tre radici reali 2 2 2

b) ha solo due radici reali 2 2 2

c) ha una sola radice reale 2 2 2

d) non ha radici reali 2 2 2

R. x³+ 2x²− 2x = x(x − 1)(x + 2), quindi le risposte corrette sono VFFF.

3. La disequazione (x²− 2)(x²− 3) ≥ 0

Vero Falso Non so

a) `e soddisfatta per x = −1, 5 2 2 2

b) `e soddisfatta per x = −1 2 2 2

c) `e soddisfatta per infiniti valori di x 2 2 2

d) non `e soddisfatta per alcun valore di x 2 2 2

R. Poich´e −√

3 ≤ −1, 5 ≤ −√

2 e −√

2 ≤ −1 ≤√

2, le risposte corrette sono FVVF.

4. L’equazione x⁴ = (x + 1)²

Vero Falso Non so

a) ha quattro radici reali 2 2 2

b) ha solo tre radici reali 2 2 2

c) ha solo due radici reali 2 2 2

d) ha solo una radice reale 2 2 2

R. L’equazione data `e equivalente a x²= |x + 1|; l’equazione x²− x − 1 = 0 ha due radici reali, mentre l’equazione x²+ x + 1 = 0 non ne ha. Quindi le risposte corrette sono FFVF.

1

5. L’equazione ³¹√

x − 1 = ²⁹√ x − 1

Vero Falso Non so

a) `e soddisfatta per x = 0 2 2 2

b) ha tre soluzioni reali 2 2 2

c) ha solo due soluzioni reali 2 2 2

d) ha solo una soluzione reale 2 2 2

R. L’equazione data `e equivalente a (x − 1)<sup>29</sup> = (x − 1)<sup>31</sup>, e quindi x = 1 oppure (x − 1)<sup>2</sup> = 1, cio`e x = 0 o x = 2; quindi le risposte corrette sono VVFF.

6. Dire quali delle seguenti relazioni sono vere

Vero Falso Non so

a) log525 = 2 2 2 2

b) log₂₅5 = ¹₂ 2 2 2

c) log52 = 25 2 2 2

d) 2 < log25 < 2, 5 2 2 2

R. Si ha

5² = 25 , 25¹² =√

25 = 5 , 5²⁵> 2 , 2² < 5 , 2^2,5=

√

2⁵ = 4√ 2 > 5 quindi le risposte corrette sono VVFV.

7. Se log₂a = b, si ha

Vero Falso Non so

a) log₈a = b³ 2 2 2

b) log₈a =√³

b 2 2 2

c) log8a = 3b 2 2 2

d) log8a = ₃^b 2 2 2

R. Le prime tre affermazioni sono false, come mostra l’esempio a = 2, b = 1; la quarta `e vera, perch´e 8^b3 = 2^3·3b = 2^b= a; le risposte corrette sono quindi FFFV.

8. Il numero log35 `e

Vero Falso Non so

a) minore di 1 2 2 2

b) maggiore di 1 2 2 2

c) minore di ³₂ 2 2 2

d) compreso fra ⁴₃ e ³₂ 2 2 2

R. Poich´e 3³² = √

27 > 5, si ha log₃5 < ³₂; e poich´e 3⁴³ = √³

81 < √³

125 = 5, si ha log35 > ⁴₃; quindi le risposte corrette sono FVVV.

2

9. L’equazione sen x cos x = ¹₂ `e soddisfatta per

Vero Falso Non so

a) x = ^π₄ 2 2 2

b) x = ^3π₄ 2 2 2

c) x = ^5π₄ 2 2 2

d) x = ^7π₄ 2 2 2

R. Poich´e sen x cos x = ¹₂ ⇒ sen 2x = 1 ⇒ 2x ∈ {^π₂ + 2kπ | k intero} ⇒ x ∈ {^π₄ + kπ | k intero}, le risposte corrette sono VFVF.

10. In un triangolo rettangolo si indichino con a e b le lunghezze dei cateti e con α e β gli angoli ad essi opposti. Allora, se a = 2b, si ha

Vero Falso Non so

a) α `e il doppio di β 2 2 2

b) sen α `e il doppio di sen β 2 2 2

c) tg α `e il doppio di tg β 2 2 2

d) cos α `e il la met`a di cos β 2 2 2

R. Si ha

sen α = cos β = 2b b√

5 = 2

√5 cos α = sen β = b b√

5 = 1

√5 tg α = 2 tg β = 1 2 Se fosse α = 2β si avrebbe invece sen α = sen 2β = 2sen βcos β = ⁴₅.

Quindi le risposte corrette sono FVFV.

11. Quali delle seguenti affermazioni sono vere ?

Vero Falso Non so a) sen α = tg α solo se α `e un multiplo intero di π 2 2 2 b) sen α = tg<sup>2</sup>α solo se α `e un multiplo intero di π 2 2 2 c) −1 ≤ _{sen α}¹ ≤ 1 per ogni α tale che 0 < α < ^π₂ 2 2 2

d) _{sen α}¹ non `e mai uguale a cos α 2 2 2

R. sen α = ^{sen α}_{cos α} ⇒ sen α = 0 oppure cos α = 1, quindi a) `e vera;

sen α = ^sen_cos2^2αα ⇒ sen α = 0 oppure sen α = cos²α = 1 − sen²α ⇒ sen α = ^−1±

√ 5

2 ,

che ha soluzioni non multipli di π, quindi b) `e falsa;

sen^π₆ = ¹₂ e quindi _sen¹π

6 = 2, quindi c) `e falsa;

sen α cos α = 1 ⇒ 2sen αcos α = sen 2α = 2, quindi d) `e vera.

Quindi le risposte corrette sono VFFV.

3

12. Giunto in nave in prossimit`a del porto di Genova, un passeggero misura l’angolo α sotto cui vede la lanterna. La misura di questo angolo `e un grado e mezzo.

Sapendo che l’altezza della lanterna `e 117 m, il passeggero pu`o dedurre che la sua distanza da essa `e

Vero Falso Non so

a) meno di 3 km 2 2 2

b) compresa fra 3 e 4 km 2 2 2

c) compresa fra 4 e 5 km 2 2 2

d) pi`u di 5 km 2 2 2

R. Poich´e _{tg 1,5}¹¹⁷ ' 4468, le risposte corrette sono FFVF.

13. Una bolla di sapone, sferica di raggio r, si adagia su un tavolo, assumendo la forma di una semisfera di raggio R, di pari volume (nella fantasia, tutto `e possibile!). Allora

Vero Falso Non so

a) R = 2r 2 2 2

b) R < 2r 2 2 2

c) R =√³

2r 2 2 2

d) R =√³

4r 2 2 2

R. ⁴₃πr³= ⁴₆πR³ ⇒ 2r³ = R³ ⇒ R = r√³

2; quindi le risposte corrette sono FVVF.

14. Mettere in ordine crescente, motivando, i numeri 2¹⁸⁰, 3¹²⁰ e 6⁷².

R. 2¹⁸⁰ < 6⁷² < 3¹²⁰; infatti 180 = log22¹⁸⁰ < 72log26, essendo 2⁵² = 4√

2 < 6; inoltre log₃6⁷²= 72 log₃6 < log₃3¹²⁰ = 120, essendo 3⁵³ = 3√³

9 > 6.

15. Nel cerchio C₁ `e inscritto un esagono E nel quale `e inscritto il cerchio C₂.

Calcolare il rapporto fra le aree dei due cerchi e dire se l’area di E `e media proporzionale fra esse.

R. Se R `e il raggio di C1 ed r `e quello di C2, si ha R²− r² = ^R₄² e quindi r =

√3 2 R e il rapporto fra le aree `e ^πR_πr2² = ⁴₃.

L’area dell’esagono `e 6^Rr₂ = 3R

√3 2 R = ³

√3

2 R² e non `e media proporzionale fra πR² e

3π

4 R², perch´e ²⁷₄R⁴ 6= ^3π₄²R⁴.

4