Funzioni. Funzioni. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Funzioni

Riprendiamo il concetto di funzione.

Definizione di funzione :

una funzione f :A→B , con A e B insiemi non vuoti, è una legge che associa ad ogni elemento

x∈A uno e un solo elemento y∈B

) f(x y x→ =

y viene chiamato “immagine” di x e indicato anche con f(x).

Esempio: se consideriamo come insieme A l’insieme degli studenti della classe quinta A del liceo classico di Montevarchi nell’anno scolastico in corso e come insieme B l’insieme dei giorni dell’anno, possiamo considerare la funzione f che associa ad ogni studente la propria data di nascita.

Proprietà di una funzione

• Una funzione f si dice iniettiva se ad elementi distinti

(

x1 ≠x2

)

corrispondono immagini distinte f

( ) ( )

x1 ≠ f x2

• Una funzione f si dice suriettiva se ogni elemento y∈B è l’immagine di almeno un elemento x∈A.

Esempio di funzione suriettiva ma non iniettiva

NOTA: se prendiamo come insieme di arrivo B l’insieme delle immagini, ogni funzione diventa suriettiva.

• Una funzione f si dice biunivoca quando è iniettiva e suriettiva e quindi quando ad ogni elemento x∈A corrisponde uno e un solo elemento y∈B e viceversa.

Questa funzione viene anche chiamata “funzione uno-a-uno”.

Funzioni reali di variabile reale

Data f :A→B se A,B⊆ℜ , cioè A e B sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali, f si dice funzione reale di variabile reale.

La variabile x∈A viene detta variabile indipendente mentre ^{y= f}

( )

^x viene chiamata variabile dipendente.

Esempio: f :x→x+1

è la funzione che associa ad ogni numero reale x∈ℜ il suo successivo.

• Dominio della funzione: è l’insieme dei numeri reali per cui la funzione risulta definita.

Esempio : x x

f 1

: → ha come dominio Df ^=ℜ−

{ }

⁰ poiché per x=0 non è possibile effettuare 0 1 . Esempio :

tgx x

f : → è definita per π π k x≠ +

2 cioè il suo dominio è







 = + ∈

− ℜ

= x k k Z

Df ,

2 π

π .

• Codominio della funzione: è l’insieme delle immagini della funzione.

Esempio : f :x→tgx ha come codominio Cf =ℜ. Esempio: f :x→senx ha come codominio ^{Cf =}

[ ]

^−1;1

• Grafico della funzione: è l’insieme dei punti

( )

^{x,y con x∈Df e y}= ^f

( )

^x rispetto ad un sistema di riferimento.

Esempio: il grafico di y=senx è il seguente.

[ ]

^−1,1

= ℜ

= Cf Df

Nota 1: dal grafico di una funzione possiamo vedere se è iniettiva tracciando rette parallele all’asse x: se le rette parallele all’asse x che intersecano il grafico lo intersecano solo in un punto allora si tratta di una funzione iniettiva, altrimenti no.

Infatti per esempio nel grafico di y =senx una retta y=k con −1≤k ≤1 interseca infinite volte il grafico ed infatti y=senx non è una funzione iniettiva.

. 2 1 6

5 2 1 6

ecc

→

→ π π

Nota 2: se una curva è grafico di una funzione allora tagliandola con rette parallele all’asse y dobbiamo avere al massimo una intersezione (ad ogni x∈A è associato uno ed un solo^{y= f}

( )

^{x ∈B)}

Per esempio una circonferenza non è grafico di una funzione.

Ad un valore −1≤ x≤1 corrispondono due immagini distinte.

2 2

2 2 2

1 1

1 1

x x

x x

x y

y x

−

−

→

−

→

−

±

=

= +

ESERCIZI

DOMINIO, CODOMINIO E GRAFICO

Determina dominio, codominio e grafico delle seguenti funzioni:

1. y= x+1 ( f :x→x+1 ) 2. y= x² +1

3. y= 1x

4. y=cosx 5. y=tgx

*6. 4 ²

2

1 x

y= −

Svolgimento: se eleviamo al quadrato entrambi i membri otteniamo

( )

¹

4 4 4

1 2

2 2

2 = − → x +y =

x y

Si tratta di una ellisse con semiassi a=2 , b=1 (centro l’origine e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani).

Non possiamo però considerare tutta la curva ma solo la parte con y≥0 poiché la funzione era 4 2

2

1 x

y= − e quindi y≥0

Il dominio: D_f :−2≤x≤2 (infatti si deve avere 4−x² ≥0⇔−2≤ x≤2) Il codominio : 0≤ y≤1

Esempi

1) Se abbiamo una funzione polinomiale

n nx a x

a x a a

y= ₀ + ₁ + ₂ ² +...+

il suo dominio è ℜ. Esempio: le funzioni

+1

= x

y ; y = x² −1 ; y= x³ +x−2 Hanno tutte come dominio ℜ.

2) Se f è una funzione razionale fratta (cioè quoziente di due polinomi) per determinare il suo dominio basterà escludere i valori che annullano il denominatore.

m m

n n

x b x

b b

x a x

a a x D

x x N

f + + +

+ +

= +

→ ...

....

) (

) : (

1 0

1 0

{

^{: ( )=0}

}

− ℜ

= x D x D_f

Esempi:

1 1

= −

y x ha come dominio ℜ−

{}

^{1 ;}

= ² −4 x

y x ha come dominio ^ℜ−

{ }

^±2

3) a) Se f(x)=²ⁿR(x) cioè è una radice con indice pari , il dominio si troverà risolvendo 0

) (x ≥ R

Esempio:

2 −1

= x y x

≥ 

− 0

2 1 x

x

D_f :−1<x≤0∪x>1

b) Se f(x)=²ⁿ⁺¹R(x) cioè f(x) è una radice di indice dispari, il duo dominio coinciderà con quello del radicando R(x).

Esempio: ³ 1

y = x D_f :x≠0

4) Se ^f

( )

^x è una funzione goniometrica ricordiamo che senx

y= D_f =ℜ x

y=cos Df =ℜ tgx

y=







 + ∈

− ℜ

= k k Z

D_f /

2 π

π

Esempi



 



 −

= 3

x π sen

y Df =ℜ





 



 −

= 2 π4 x tg

y

2 8

3 2

2 π4 π π π π

k x

k

x− ≠ +  ≠ +

5) ^f

( )

^{x =ax} funzione esponenziale ha come dominio ℜ. Esempio: =2^x−1

x

y ha come dominio ^ℜ−

{}

¹ perché l’esponente è definito per x≠1.

6) ^f

( )

^x =loga ^x funzione logaritmica ha come dominio x>0 cioè l’argomento deve essere positivo.

Quindi se per esempio abbiamo ^{y =log}a

(

^x−1

)

dovremo porre l’argomento positivo:

1 0

1>  >

− x

x

Nota: per indicare il logaritmo in base e (numero irrazionale ≅2,7) scriveremo ln , cioè x

x log_e

ln = ^.

ESERCIZI

DOMINI DI FUNZIONI

Determina il dominio delle seguenti funzioni:

1) y=x³ +x² +1 [ℜ]

2) = ² −1 x

y x [x≠±1]

3) = −1

x

y x [x≤0∪x>1]

4) ³

−1

= x

y x [x≠1]

5) y= senx+cosx [ π π π π

k x

k 2

4 2 3

4 + ≤ ≤ +

− ]

6) ⁴

2 +1

= x

y x [ x≥0]

7) ²

1

=e^x−

y [ x≠2]

8) 



 





−

= −

9 ln ₂ 1

x

y x [−3<x<1∪x>3]

9) y = lnx [x≥1]

10) y =⁴ 9^x −3^x [x≥0 ]

11) ln 1

1

2 −

= x

y [x>0 e e

x 1

≠ , ]

12) y=³ tgx [ π π

k x≠ +

2 ]

13) y = ln² x−4 [ ²

2

0 1 x e

x≤ e ∪ ≥

< ]

14) _x

y e1

= [ℜ]

15) y =senx+tg2x [

2 4

π π k

x≠ + ]

16) 1 1

3 −

= x

y [ x≠1 ]

17) x x

y x

−

= 2₂−

[ x≠0 ; 1 ]

18) 1

1

2 +

= x

y [ℜ ]

19) y= x² −1 [ x≤−1 ∪ x≥1 ]

20) y= x³ −1 [ x>1 ]

21) ³ 2

1 y x

= − ^[ x≠² ]

22) y ^x

1

=2 [ x≠0 ]

23) y= 2^x +1 [ℜ ]

24) ^y =^tg

( )

^{3x [}

3 6

π π k x≠ + ]

25) y senx1

= [ ^x≠^kπ ]

26) y tgx1

= [

2 kπ x≠ ]

27) y =ln(3−x) [ x<3 ]

28) y x

ln

= 1 [ x>0, x≠1 ]

29) y = 3^x −9 [ x>2 ]

30) 1

1

= _x−

y e [ x≠0 ]

Caratteristiche di una funzione

Vediamo alcune caratteristiche di una funzione:

1)

^f

( )

^x si dice funzione crescente in I(a,b) (I intervallo anche illimitato) se per ogni x₁ < x₂ ∈I si ha f

( ) ( )

x1 < f x2 , mentre si dice decrescente in I per ogni x1 < x2∈I  f

( ) ( )

x1 > f x2 _.

Può darsi che una funzione sia crescente (o decrescente) in tutto il dominio oppure crescente in alcuni intervalli e decrescente in altri.

Esempi +1

= x

y è crescente ∀x∈D_f x2

y= è decrescente ∀x≤0 quindi in I =

(

−∞^,0

]

è crescente ∀x≥0 cioè in I =

[

0,+∞

)

senx

y= è crescente negli intervalli

π π π π

k x

k 2

2 2

2 + ≤ ≤ +

− ,

decrescente quando π π π π

k x

k 2

2 2 3

2 + ≤ ≤ +

Nota: naturalmente una funzione può essere costante cioè ^f

( )

^x =^k ∀x∈Df . Esempio: y=2

2)

a. Una funzione ^f

( )

^x si dice limitata inferiormente

• se ^f

( )

^x ≥^m ∀x∈Df ( m si dice minimo della funzione e appartiene al codominio)

• oppure se ^f

( )

^x >^I ∀x∈Df (I si dice “estremo inferiore” e non appartiene al codominio).

Esempio: y=x² +1 ha un minimo m=1 f

( )

x ≥¹ ∀x∈Df =ℜ Esempio: y=e^x ha un estremo inferiore I =0 f

( )

x >⁰ ∀x∈Df =ℜ

b. Una funzione ^f

( )

^x si dice limitata superiormente

• se ^f

( )

^x ≤^M ∀x∈Df (M si dice massimo della funzione e appartiene al codominio)

• oppure se ^f

( )

^{x <S} ∀x∈Df (S si dice “estremo superiore” e non appartiene al codominio)

Esempio: y=−x² +1 ha massimo M =1 : f

( )

x ≤¹ ∀x∈ℜ Esempio: y=−e^x ha estremo superiore S =0 : f

( )

x <⁰ ∀x∈ℜ

c. ^f

( )

^x si dice limitata se è limitata inferiormente e superiormente.

Esempio: y=senx è limitata

(

m=−^1,M =¹

)

Esempio: y=arctgx è limitata 



 



 =− =

, 2 2

π π S I

3)

a. Una funzione ^f

( )

^x si dice pari quando

( ) ( )

^{x f x}

f − = e quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

Esempio: y=x² +1 è pari

Nota: se in una funzione la variabile x compare solo con esponente “pari” la funzione è pari.

Esempio: ₂

4

3 1 x y x

+

= − è una funzione pari poiché

( ) ( ) ( )

^f

( )

^x

x x x

f =

− +

−

= −

− ⁴ ₂

3

1

b. Una funzione ^f

( )

^x si dice dispari quando ^f

( )

−^x =−^f

( )

^{x e}

quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine del sistema di riferimento.

Esempio: y=x³ è dispari

( ) (

^{x f x}

)

P ; ^P'

(

^−x;−f

( )

^x

)

sono simmetrici rispetto a (0;0)

4)

Una funzione ^f

( )

^x si dice periodica di periodo T quando T è il minimo valore per cui ^f

(

^x+T

) ( )

^{= f x}

(

^∀x∈Df

)

Esempi:

a. y=senx ha periodo T =²π y=sen2x ha periodo T =π

Infatti

(

^x

)

^sen

(

^x

)

^sen

(

^x

)

^{sen x f}

( )

^x

f +π = 2 +π = 2 +2π = 2 =

In generale y=senkx ha periodo

T ₌ ²kπ

(

^kx

)

^{senkx f}

( )

^x

k sen x k k sen

x

f = + = =



 



 



 



 +

=



 



 + π π π

2 2 2

b. y=cosx ha periodo T =²π y=cos2x ha periodo T =π

In generale y=coskx ha periodo

T ₌ ²kπ poiché

(

^kx

)

^{kx f}

( )

^x

x k k k

x

f = + = =



 



 



 



 +

=

+ 2 cos 2 cos

cos 2 )

( π π π

c. y=tgx ha periodo T =π

In generale y=tgkx ha periodo T ₌πk

poiché

(

⁺

)

^{= =}

( )

=

  

+

=

 +π π π

5) Una funzione ^f

( )

^x può avere un asintoto

• orizzontale: quando il suo grafico si “avvicina”ad una retta orizzontale di equazione y=k. Esempio: y=e^x ha l’asse x come asintoto orizzontale ma solo quando x→−∞ (parte sinistra del grafico).

Esempio:

y = 1x ha l’asse x come asintoto orizzontale sia per x→+∞ che quando x→−∞

(cioè sia a sinistra che a destra).

• verticale: quando il suo grafico si “avvicina” ad una retta verticale di equazione x=k quando x→k (x=k∉D_f ).

Esempio: y=tgx ha come asintoti verticali le rette di equazione π π k x= +

2 Esempio: y=lnx ha come asintoto verticale l’asse y.

• obliquo: quando il suo grafico si “avvicina” ad una retta di equazione y=mx+q quando +∞

→

x e/o x→−∞

Esempio: 9

3

2 −

= x^x

y ( 1

4 9

2

2 − y =

x )

asintoti obliqui y x 3

±2

=

ESERCIZI

CARATTERISTICHE DI UNA FUNZIONE

Determina dominio, codominio, grafico e caratteristiche delle seguenti funzioni:

1) y=cos3x 11)

3 2

−

= − x y x

2) y=− 1−x² 12) y =x² −x

3) y=3x−1 13) y =tg2x

4) y= x² −1 14) 9 ²

3

1 x

y = −

5) y=sen4x 15) y =−x²

6) y=tg4x 16) y =x² +1

7) y=2x−1 17) y =3^x

8) y=2^x 18) y =log₂x

9) y=lnx 19) y =3−x²

x

1 1 

Grafici deducibili dal grafico di f(x)

Se conosciamo il grafico G_f di una funzione ^f

( )

^x possiamo facilmente disegnare anche il grafico di:

• ^f

( )

^x +^a a∈ℜ

• ^f

(

^x−a

)

a∈ℜ

• − ^f

( )

^x

• ^f

( )

−^x

• ^f

( )

^x

Vediamo un esempio: consideriamo come funzione

( )

^{x x}

f =ln

a. Come risulterà il grafico di y=lnx+1? E’ chiaro che sarà traslato verso l’alto di 1.

Naturalmente se considero y=lnx−1 traslo verso il basso.

b. Come risulterà il grafico di ^{y =ln}

(

^x−1

)

^?

In questo caso il dominio cambia e risulta x>1: il grafico è traslato verso destra ed ha asintoto verticale x=1.

Se invece avessi considerato ^y=ln

(

^x+1

)

il grafico del logaritmo traslava verso sinistra e aveva asintoto verticale x=−1 (il dominio: x>−1)

b. Come risulta il grafico di y=−lnx?

Le immagini risultano opposte e quindi si ha il grafico simmetrico rispetto all’asse x.

c. Come risulta il grafico di ^y=ln

( )

^{−x ?}

Questa volta il dominio cambia e si ha −x>0x<0.

Il grafico sarà simmetrico (di quello del logaritmo) rispetto all’asse y .

d. Come risulta il grafico di y= lnx ? Ricordiamo che:





<

<

<

−

≥

= ≥

1 0

0 ln ln

1 0

ln ln ln

x per

cioè x

quando x

x per cioè

x quando

x x

Quindi il grafico di lnx coincide con il grafico di ln quando x questo si trova sopra all’asse x (cioè quando le immagini sono positive), mentre andrà “ribaltato” rispetto all’asse x quando si trova sotto all’asse x (cioè quando le immagini sono negative).

ESERCIZI

GRAFICI DEDUCIBILI

Traccia il grafico delle seguenti funzioni:

1) y =^ln

(

x−²

)

2) y=2^x−1 3)

−4

= x y x

4) y=3^x−2 5) y=lnx−2

*6) y=−^ln

(

x+²

)

Svolgimento:

Partiamo dal grafico di ^f

( )

^x =^lnx e consideriamo all’inizio il grafico di y=^ln

(

x+²

)

(dominio x>−2 : traslo a sinistra).

Infine consideriamo y=−^ln

(

x+²

)

cioè ribaltiamo rispetto all’asse x:

7) y= ^ln

(

x−³

)

8) y =^ln

(

x+¹

)

9) y=−^ln

(

x−³

)

10) y = tgx

11) y=−2^x 12) y = ^ln

(

x−⁴

)

13) x

y = x−2 14) y =2^x−1

*15) y=−e^x+2 Svolgimento:

Partiamo dal grafico di ^f

( )

^{x =ex} e consideriamo il grafico di

( )

^x

− f (simmetrico rispetto all’asse x)

Infine consideriamo ^{y =−f}

( )

^{x +2} cioè trasliamo verso l’alto di 2 (l’asintoto orizzontale diventa

=2 y )

Composizione di funzioni

Le funzioni si possono “comporre”.

Se per esempio abbiamo

1

1:x→x+

f

f₂:x→x² possiamo applicare f₁ e al risultato applicare f₂

( ¹ )

²

1

2

1

+ → +

→ x x

x

f f

(

⁺¹

)

²

= x

y corrisponde a f o₂ f₁ che si legge f₂ composto f₁ ( si scrive vicino allax la funzione che si applica per prima).

( ) ( ^{f x} )

f f

f

₂

o

₁

=

_{2 1}

Nota

Notiamo che la composizione tra funzioni non gode della proprietà commutativa cioè:

2 1 1

2

f f f

f o ≠ o

Infatti per esempio considerando le funzioni precedenti se applico prima f₂ e poi f₁ ho:

2

1

2 ¹

2

→ +

→ x x x

f f

2

1 f

f o ^{risulta y= x2 +1} ed è diversa da ^y=

(

^x+1

)

²

Nota

: si possono comporre anche più di 2 funzioni.

Per esempio ^y=ln2

(

^x+1

)

può essere pensata come la composizione di

( ¹ ) ^ln ( ¹ )

ln

1

²

3 2

1

+ → + → +

→ x x x

x

f f f

Funzione inversa

Consideriamo una funzione ^f

( )

^x : per funzione inversa di ^f

( )

^x , indicata con il simbolo ^{f −1}

( )

^{x ,}

intendiamo la funzione che associa all’immagine ^f

( )

^x il valore x di partenza.

Per esempio se ^f

( )

^{x : x→x+1}

^{f −1}

( )

^{x : x→x−1}

Infatti da y =x+1 ricavando x= y−1 abbiamo che

y x

x

f

+ =

→ 1

y y

x

f ¹

1

−

←

−

=

Generalmente poi, invece di scrivere ^f−1

( )

^{y = y−1} si scrive ^{f −1}

( )

^{x = x−1.}

Riportando i grafici di ^f

( )

^{x e f −1}

( )

^x nello stesso sistema di riferimento, notiamo che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I-III quadrante: infatti se

( )

( x ^, f x ) ^∈ G

f

^→ ( f ( ) x ^, x ) ^∈ G

_f⁻¹

La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale (in figura è stata disegnato il grafico della funzione esponenziale in base e) : osserviamo che il dominio e il codominio si scambiano.

Ma possiamo sempre invertire una funzione?

Perché la f⁻¹ sia una funzione occorre che ^f

( )

^x sia iniettiva (come dominio di f ⁻¹ prenderemo il codominio di f ).

Infatti consideriamo per esempio ^f

( )

^{x =x2.}

Se proviamo a ricavare x abbiamo:

y x

x

y= ² =±

Ma y =± x non è una funzione! (ad ogni valore di x corrispondono 2 immagini).

In questi casi però, se vogliamo, possiamo decidere di “restringere” il dominio della funzione in modo da renderla iniettiva e poterla così invertire.

Se per esempio consideriamo y= x² ma solo con x>0 la funzione diventa iniettiva e la sua inversa è y= x

Vediamo come sono state definite le funzioni inverse delle funzioni goniometriche.

• Funzione inversa del seno

Restringiamo y=senx all’intervallo 



− ,2 2

π

π : in questo intervallo la funzione è iniettiva.

La funzione inversa si indica con arcsenx (che si legge arcoseno di x ed indica l’ angolo il cui seno è di x) ed ha come dominio

[ ]

^−1;1 e come codominio 



− , 2 2

π π

Esempi

( )

1 ₌π2 arcsen ;

6 2 1_=π



 

 arcsen

• Funzione inversa del coseno

Se restringiamo y=cosx all’intervallo

[ ]

^0,π possiamo invertire la funzione: la funzione inversa del coseno ristretto a

[ ]

^0,π si chiama arccosx (arcocoseno di x).

Esempi

( )

0 2 arccos ₌π

; ^arccos

( )

^{1 =0}

• Funzione inversa della tangente

Se restringiamo la tangente y=tgx all’intervallo 



 



−

;2 2

π

π possiamo considerare la funzione

inversa, indicata con arctgx (arcotangente di x) che ha come dominio ℜ e come codominio



 



−

;2 2

π π .

Il grafico è il seguente ed osserviamo che i due asintoti verticali della funzione tangente diventano asintoti orizzontali per la funzione inversa arcotangente.

SCHEDA DI VERIFICA 1

FUNZIONI

1) Determina il dominio delle seguenti funzioni:

a) ₂

3 x y x

= −

[

^{x<− 3∪0≤x< 3}

]

b) 



 





= −

5 x arctg x

y

[

^x≠5

]

c) 



 





= −

1 ln ₂1

y x

[

^x<−1∪x>1

]

d) y= 1−2^x

[

x≤⁰

]

e) y= lnx

[

x≥¹

]

2) Traccia il grafico delle seguenti funzioni indicando anche dominio e caratteristiche:

a) 2

1

= −

y x c) y=3^x +1 b) ^y=−ln

(

3−^x

)

d) y= x² −4

3) a) Date x x

f 1

1: → e f₂ :x→lnx, scrivi come risultano f o₂ f₁ ^e f o1 f2 e indica i loro domini.

b) Determina la funzione inversa di y=e^x −2

Traccia i grafici di f e f⁻¹ nello stesso sistema di riferimento. Cosa osservi?

c) E’ possibile invertire la funzione y= x² +1? Motiva la risposta.

 

 



  > → > ≠



 



→  : 0 , 1

ln : 1

; 0 1 :

ln

:

2 1 1 2 1 2

1

2

D x x

x x f f x

x D x

f

f o

_{f of}

o

_fof

SCHEDA DI VERIFICA 2

FUNZIONI

1) Determina il dominio delle seguenti funzioni:

a) 









−

= −

2 ln 9

2

x

y x [ −3<x<2 ∪ x>3 ]

b) y= 5^x −1 [ x≥0 ]

c) ⁵

2 ln

ln

= − x

y x [ x>0 ; x≠e²]

d) 



 





= −

2 ln 1

y x [ x>2 ]

e) 



 





= −

8 2

1 arctg x

y [ x≠3 ]

2) Traccia il grafico delle seguenti funzioni indicando anche dominio e caratteristiche:

a) ^{y= ln}

(

^1−x

)

b) y=e^x +5 c) y= 9−x² d) y =−3^x

3) a) Date f₁:x→2^x e f₂ :x→x+1, scrivi come risultano f o₂ f₁ ^e f o1 f2 e indica i loro domini.

b) Si può invertire la funzione

x y= x−1?

Se la risposta è affermativa determina l’inversa.

c) Disegna il grafico della funzione y=e^x +3 e indicane dominio e caratteristiche. Si può invertire?

Come si dovrebbe restringere il dominio per invertirla?

Disegna il grafico della funzione inversa nel caso in cui si restringa il dominio di f .