1. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:

17 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali di ordine superiore al 1 °

Parte XIII

1. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:

xyy

− xy
² + yy
= 0

[

y = c

|x|

, (c, c

∈ R)

2. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:

 1

4 y + x ² y

 ₂

− x = 0 [



y = ±x

1

2 log

x + c

log x + c



V Tipo - Equazioni differenziali della forma

F (x, y, y
, y

, . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 ( n > 1), (1)

` e detta omogenea se il primo membro ` e una funzione omogenea di un certo grado α rispetto ad y, y
, y

, . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ .

Per l’integrazione della (1) eseguiamo il cambiamento di funzione incognita y = e ^t(x) se ` e y > 0, y = −e <sup>t(x)</sup> se ` e y < 0. Segue y
= ±t
e ^t , y

= ±(t

+ t
² ) e ^t , . . . ; sostituendo nella (1) al posto di y, y
, y

, . . . rispettivamente ±e ^t(x) , ±t
e ^t , ±(t

+ t
² ) e ^t , . . . e dividendo i due membri dell’equazione ottenuta per e ^αt si perviene a due equazioni del II Tipo nella funzione incognita t.

Si pu` o procedere anche in quest’altro modo.

Posto y
/y = t(x), y
= 0, si deduce y
= yt, y

= y
t + yt
, y

/y = (y
/y)t + t
, y

/y = t ² + t
, ecc..

Sostituendo nella (1) in luogo di y
/y, y

/y, . . . rispettivamente t, t ² + t
, . . . , si perviene ad un’equazione di ordine n − 1 nella funzione incognita t.

Si dicono pure omogenee quelle equazioni che sono tali quando si considerino y, y
, y

, . . . , y ⁽ⁿ⁾ come funzioni di grado m, m−1, m−2, . . . , m−n rispetto ad x, m essendo un certo numero, cio`e quelle equazioni che si riproducono moltiplicate per una potenza di λ quando in esse si sostitu- iscono ad x, y, y
, y

, . . . , y ⁽ⁿ⁾ rispettivamente λx, λ ^m y, λ ^m−1 y
, λ ^m−2 y

, . . . , λ ^m−n y ⁽ⁿ⁾ , essendo λ un fattore indeterminato ed m un numero scelto in modo opportuno. La ricerca di m si fa per tentativi.

Per l’integrazione dell’equazione si procede nel modo seguente: detto m il grado di omogeneit`a nel senso sopra indicato, si pone x = e <sup>t</sup> se ` e x > 0, x = −e ^t se ` e x < 0, y = e ^mt z(t).

Assumendo t come nuova variabile indipendente e z come nuova funzione incognita, l’equazione

si trasforma in una equazione del III Tipo. Sostituendo nell’integrale generale di quest’ultima

equazione y/|x| ^m al posto di z e log |x| al posto di t, si ottiene l’integrale generale dell’equazione

data.