(1)Corso di Laurea in Informatica 3 dicembre 2010 Complementi di Matematica (mod.Analisi) 1) Risolvere i problemi di Cauchy (9pt) a

Corso di Laurea in Informatica 3 dicembre 2010

Complementi di Matematica (mod.Analisi) 1) Risolvere i problemi di Cauchy (9pt)

a) (

y⁰ = − 2x 4 + x²y

y(−1) = 0 ; b)

(

y⁰ = − 2x 4 + x²y y(−1) = 1

2) Determinare l’integrale generale della equazione differenziale (4pt) y⁰⁰− 2y⁰ = 0

3) Determinare il dominio (1pt), i punti stazionari (3pt) e gli estremi (3pt) della seguente funzione

f (x, y) = log(4 − x²) − y²(x²− 4x + 3) + 2

Calcolare la derivata direzionale (2pt) della funzione f nel punto P = (1, 2) nella direzione del vettore w = (−2, 4).

4) Sia

D =©

(x, y) ∈ R²| 0 ≤ x ≤ 1, x²+ y² ≤ 9ª . Disegnare D (1pt) e calcolare gli integrali (8pt)

a) Z

D

p3

artg(xy) dx dy ; b) Z

D

x dx dy

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Studenti di Analisi Complementi, 6cfu:

al posto degli esercizi 1) e 2) svolgere i seguenti:

5) Stabilire il carattere delle serie (7pt):

a) X∞ n=1

n³ⁿ

(3n)!; b) X∞ n=1

(−1)ⁿlog(2 + 1

n³); c) X∞ n=1

(−1)ⁿsin(1 n) 6) Stabilire l’insieme di convergenza E della serie di potenze (4pt) e cal- colarne la somma in E (2pt)

X∞ n=1

xⁿ (n − 1)!