Corso di Laurea in Informatica Complementi di Matematica (Primo Modulo)
3 luglio 2008 1) Data l’equazione differenziale
y0 =y2− 4 x + 5
si risolvano i due problemi di Cauchy: a) y(−4) = −2 e b) y(−4) = 4. In entrambi i casi si precisi il campo di esistenza della soluzione.
2) a) Determinare la soluzione generale dell’equazione y00− 6y0+ 10y = 0.
b) Risolvere il problema di Cauchy con y(0) = 3 e y0(0) = −4.
3) a)Determinare gli estremi della funzione
f (x, y) = log(x2+ y2− 1)2+ x2− 3y2+ 1
b) scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie z = f (x, y) nel punto C = (2, 1, f (2, 1));
c) calcolare le derivate direzionali nel punto (2, 1) nei versori paralleli alla retta di equazione y − 3x + 1 = 0.
4) Calcolare gli integrali Z
D
sin5(xy) dxdy ; Z
D
2x dxdy dove
D =©
(x, y) ∈ R2: |y| ≥ 2 − x, x ≥ 0, x2+ y2≤ 4ª
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