Corso di Laurea in Informatica Complementi di Matematica (Primo Modulo)
29 ottobre 2008 - Tema A 1) Data l’equazione differenziale
y0= (y2− 4) cos x
si risolvano i due problemi di Cauchy: a) y(1) = −2 e b) y(0) = 0.
2) a) Determinare la soluzione generale dell’equazione 9y00− 6y0+ y = 0.
b) Risolvere il problema di Cauchy con y(0) = 3 e y0(0) = 4.
3) a)Determinare gli estremi della funzione
f (x, y) = 2(log(x2− 8) + log(y + 1)) − y + 2x
b) scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie z = f (x, y) nel punto C = (3, 0, f (3, 0));
c) calcolare le derivate direzionali nel punto (3, 0) nei versori paralleli alla retta di equazione y + 3x + 7 = 0.
4) Sia
D =©
(x, y) ∈ R2: |x| ≤ 1 − y2ª Disegnare D e calcolare gli integrali
i) Z
D
ey dxdy ; ii)
Z
D
ey3x dxdy
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Corso di Laurea in Informatica Complementi di Matematica (Primo Modulo)
29 ottobre 2008 Tema B 1) Data l’equazione differenziale
y0= (y2− 9) sin x
si risolvano i due problemi di Cauchy: a) y(0) = 3 e b) y(π/2) = 0.
2) a) Determinare la soluzione generale dell’equazione 16y00− 8y0+ y = 0;
b) risolvere il problema di Cauchy con y(0) = 4 e y0(0) = 3.
3) a)Determinare gli estremi della funzione
f (x, y) = 2(log(8 − x2) + log(y + 1)) − y + 2x
b) scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie z = f (x, y) nel punto C = (0, 0, f (0, 0));
c) calcolare le derivate direzionali nel punto (0, 0) nei versori paralleli alla retta di equazione 2y + 4x − 3 = 0.
4) Sia
D =©
(x, y) ∈ R2: |x| ≤ 4 − y2ª Disegnare D e calcolare gli integrali
i) Z
D
ey dxdy ; ii)
Z
D
ey2x dxdy
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