Esercizi sulle equazioni differenziali lineari
13 maggio 2009
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Esercizi sulle equazioni differenziali lineari
Esercizio 1 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali y0− 2y = 1
y0− 2y = x2+ x y0+ y = ex
Esercizio 2 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali y0+ 2xy = x
xy0+ y = 3x3− 1, per x > 0 y0+ exy = 3ex
y0+ 2xy = xe−x2
Esercizio 3 Consideriamo l’equazione omogenea
y0+ a(x)y = 0, (1)
dove a(x) `e una funzione continua definita in un intervallo I.
(a) Osservare che la funzione identicamente nulla su I `e una soluzione della (1).
(b) Dimostrare che se u `e una soluzione della (1) che si annulla in un punto x0 ∈ I, cio`e u(x0) = 0, allora u `e identicamente nulla.
(c) Dimostrare che se u e v sono due soluzioni della (1) che hanno lo stesso valore in un punto x0 ∈ I, allora u(x) = v(x) per tutti i punti x ∈ I.
(d) Dimostrare che se u `e una soluzione della (1) che non `e identicamente zero, allora ogni altra soluzione v si pu`o scrivere come v(x) = cu(x) per qualche costante c.
Esercizio 4 Trovare tutte le soluzioni delle equasioni differenziali seguenti:
y00− 4y = 0, 3y00+ 2y0 = 0, y00+ 16y = 0, y00 = 0,
y00− 4y0+ 5y = 0.
Esercizio 5 Dimostrare che tutte le soluzioni dell’equasione y00+ a1y0+ a2y = 0,
tendono a zero per x → +∞ se e solo se le parti reali delle radici del polinomio caratteristico λ2+ a1λ + a2 sono negative.
3 Esercizio 6 Trovare le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy:
y00− 2y0− 3y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 1, y00+ 10y = 0, y(0) = π, y0(0) = π2.
Esercizio 7 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni:
y00+ 4y = cos x, y00+ 9y = sin x,
y00+ y = tan x, −π/2 < x < π/2, y00− 4y0+ 5y = 3e−x+ 2x2,
y00− 7y0+ 6y = sin x, 4y00− y = ex,
6y00+ 5y0− 6y = x,
Esercizio 8 Trovare una soluzione particolare di ognuna delle seguenti equa- zioni differenziali
y00+ 4y = sin 2x, y00− 4y = 3e2x+ 4e−x, y00− y0 − 2y = x2+ cos x, y00+ 9y = x2e3x,
y00+ y = xexcos 2x.
Esercizio 9 Determinare le soluzioni in (0, +∞) dell’equazione di Bernoulli y0+ y
x = −xy2 . Esercizio 10 Risolvere il problema di Cauchy:
y0 = yx + e−y/x y(1) = 0 ;
mostrare che la soluzione trovata `e definita in un intorno di x = 1.
Esercizio 11 Definite s(x) e c(x) come le due soluzioni (uniche) in R dei problemi di Cauchy:
s00+ s = 0 s(0) = 0 s0(0) = 1
c00+ c = 0 c(0) = 1 c0(0) = 0
dimostrare, usando solo le equazioni e le condizioni iniziali:
1) s, c ∈ C∞(R) ;
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2) s0(x) = c(x), c0(x) = −s(x) ; 3) s `e dispari, c `e pari ;
4) s2(x) + c2(x) = 1 per ogni x ∈ R.
5) (meno facile) Supponendo poi che s(x) sia analitica in R, si determini il suo sviluppo in serie di potenze
s(x) =
∞
X
k=0
akxk
(in altre parole sostituendo tale sviluppo nel problema di Cauchy si determi- nino esplicitamente i coefficienti ak).
Esercizio 12 (meno facile) Detta y(x) la soluzione in (−π, π) del problema di Cauchy:
y00+ y = 0 y(0) = α y0(0) = β
si osservi che essa `e sviluppabile in serie di Fourier e se ne determini il relativo sviluppo (determinare cio`e a partire dall’equazione e dalle condizioni iniziali i coefficienti ak e bk dello sviluppo
y(x) = a0 2 +
∞
X
k=1
(akcos kx + bksin kx) ).
