: Data la funzione

(1)

FACOLTA' DI INGEGNERIA

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1995/1996

CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA

AMBIENTE e TERRITORIO, CIVILE

15 febbraio 1996 (Per studenti anni precedenti)

1

⁰ ^ESERCIZIO

: Data la funzione

^f

: IR

²^!

IR def. da:

f

(

^x^y

) :=

(

^x²

+

^y²

)sin

^x²^+y¹ ²

se (

^x^y

)

⁶

= (0

0) 0 se (

^x^y

) = (0

0)

^:

mostrare che:

a) e continua b) e dierenziabile

c) le derivate parziali prime non sono continue in (0

0).

2

⁰ ^ESERCIZIO

: Determinare tutti i valori di

^z ²

IC per i quali la serie

1

X

n=1

(e

ⁿ¹² ^;

1) (

^z^;

i)

^1;2n

e convergente.

3

⁰ ^ESERCIZIO

: Determinare la soluzione del problema di Cauchy

8

>

<

>

: y

00

;

5

^y⁰

+ 4

^y

= 4

^x²

e

^2x

y

(0) = 3

y

0

(0) =

^;

1

^:

4

⁰ ^ESERCIZIO

: Calcolare

Z Z

E x

2

ydxdy

ove

^E

:=

^f

(

^x^y

)

²

IR

²

:

^x² ^y^x^xy ¹⁴^g

.

5

⁰ ^ESERCIZIO

: Sia data una successione (

^fⁿ

)

ⁿ²

IN di funzioni continue

^fⁿ

:]

^a^b

]

^!

IR convergente uniformemente in ]

^a^b

] ad una funzione

^f

:]

^a^b

]

^!

IR.

Dimostrare che se innite

^fⁿ

sono prolungabili per continuit a in

^a

, allora anche

^f

e prolungabile per continuit a in

^a

.

: Data la funzione

1

: Data la funzione

: IR

IR def. da:

(

) :=

(

+

)sin

se (

)

= (0

0) 0 se (

) = (0

0)

mostrare che:

a) e continua b) e di erenziabile

c) le derivate parziali prime non sono continue in (0

0).

2

: Determinare tutti i valori di

IC per i quali la serie

(e

1) (

i)

e convergente.

3

: Determinare la soluzione del problema di Cauchy

5

+ 4

= 4

e

(0) = 3

(0) =

1

4

: Calcolare

ove

:=

(

)

IR

:

.

5

: Sia data una successione (

)

IN di funzioni continue

:]

]

IR convergente uniformemente in ]

] ad una funzione

:]

]

IR.

Dimostrare che se innite

sono prolungabili per continuit a in

, allora anche

e prolungabile per continuit a in

.

a) e continua b) e dierenziabile

Dimostrare che se innite