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Data la funzione

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Appello del 01.09.2015: Compito A

Nome: Cognome: Matricola:

Data la funzione

f (x) =

 

 

 

 

x − 1 x ≤ −1

−x − 3 −1 < x ≤ 2 e x 2 < x < 3 ln(x 3 + e 3 ) x ≥ 3

Esercizio 1 [5 punti]

Disegnare un grafico qualitativo della funzione

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10

Σ

- 2 - 1 1 2 3 4

-5 5 10 15 20

Esercizio 2 [2 punti]

Determinare i punti di discontinuit` a della funzione.

Risposta

x = 2, x = 3

Esercizio 3 [2 punti]

Determinare i punti di non derivabilit` a della funzione.

(2)

Risposta

x = −1, x = 2, x = 3

Esercizio 4 [3 punti]

Data la serie

X

n=1

2 n

n

n allora

a diverge positivamente b ´ e indeterminata

c converge d non si pu` o dire nulla

Risposta

La serie diverge positivamente. Infatti si tratta di una serie a termini positivi e quindi convergente o positivamente divergente in cui

n→+∞ lim 2 n

n

n = lim n→+∞ 2 n lim n→+∞

n

√ n = +∞

Esercizio 5 [3 punti]

Calcolare

x→+∞ lim x ln

 1 + 1

2x



Risposta

x→+∞ lim x ln

 1 + 1

2x



= 1 2 lim

x→+∞ 2x ln

 1 + 1

2x



= 1 2 lim

y→+∞ ln

 1 + 1

y

 y

= 1 2

Esercizio 6 [3 punti]

Calcolare

x→0 lim sin 2 x x tan x Risposta

x→0 lim sin 2 x

x tan x = lim

x→0

cos x sin 2 x

x sin x == lim

x→0 cos x sin x x = lim

x→0 cos x lim

x→0

sin x x = 1

Esercizio 7 [3 punti]

Calcolare

Z

arctan xdx

Risposta

Integrando per parti Z

arctan xdx = Z

(x) 0 arctan xdx = x arctan x − 1

2 ln(1 + x 2 ) + c

(3)

Esercizio 8 [3 punti]

Calcolare la derivata della funzione

f (x) = sin(2x) + cos 2 x Risposta

f 0 (x) = 2 cos(2x) − sin(2x)

Esercizio 9 [3 punti]

Determinare i punti in cui si annulla la funzione disegnare un grafico qualitativo della funzione

f (x) =

( sin x x ≤ 0 sin(2x) x > 0

- 5 5 10

- 1.0 -0.5 0.5 1.0

x ≤ 0 sin x = 0 x = kπ, k = 0, −1, −2, −3, . . . x > 0 sin(2x) = 0 x = k π

2 , k = 1, 2, 2, . . .

Esercizio 10 [3 punti]

Determinare i punti in cui si annulla la funzione e disegnare un grafico qualitativo della funzione

f (x) =

( cos(2x) x ≤ 0

sin(x) x > 0

(4)

-5 5 10

-1.0 -0.5 0.5 1.0

x ≤ 0 cos 2x = 0 x = π 4 + k π

2 , k = −1, −2, −3, . . .

x > 0 sin x = 0 x = kπ, k = 1, 2, 3, . . .

Riferimenti