: Data la funzione

(1)

FACOLTA' DI INGEGNERIA

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1997/1998

CORSI DI LAUREA IN

INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO

INGEGNERIA CIVILE

INGEGNERIA GESTIONALE

15 aprile 1998 (2/4)

1

⁰ ^ESERCIZIO

: Data la funzione

^f

: IR

²^!

IR denita da

f

(

^x^y

) :=

^q³

(

^x^;

1)

²^y

+ 1

se ne studi la dierenziabilit a e si calcolino tutte le derivate direzionali nel punto (1

0).

2

⁰ ^ESERCIZIO

: Si scriva una equazione dierenziale lineare a coe cienti costanti il cui integrale generale e:

(

^c¹

+

^c²^x

)e

^x

+

^c³

e

^;x

+

^x

e

^;x ^c¹^c²^c³ ²

IR

^:

3

⁰ ^ESERCIZIO

: Determinare l'insieme di tutti i

^z ²

IC per i quali la serie

1

X

n=2

(

^;

1)

ⁿ

n

log

ⁿ

z;

e

^;

i

⁴⁴⁽ⁿ⁺¹⁾

e convergente.

4

⁰ ^ESERCIZIO

: Calcolare

^{Z Z}

D x

3

y 5

dxdy

ove

D

:=

ⁿ

(

^x^y

)

²

IR

²

:

^;

1

^x

1

^;

1

^y^x²^o

n

(

^x^y

)

²

IR

²

:

^x

1 (

^x^;

1)

²

+

^y²

1

^o^:

5

⁰ ^ESERCIZIO

: Sia ;

(

x

=

^x

(

^t

)

y

=

^y

(

^t

) ,

^t ²

^a^b

], una curva chiusa semplice regolare, frontiera di un dominio limitato

^D

. Si dimostri che

Area(

^D

) = 12

Z

b

a

x

(

^t

)

^y

(

^t

)

x

0

(

^t

)

^y⁰

(

^t

)

dt

: Data la funzione

1

: Data la funzione

: IR

IR denita da

(

) :=

(

1)

+ 1

se ne studi la dierenziabilit a e si calcolino tutte le derivate direzionali nel punto (1

0).

2

: Si scriva una equazione dierenziale lineare a coe cienti costanti il cui integrale generale e:

(

+

)e

+

e

+

e

IR

3

: Determinare l'insieme di tutti i

IC per i quali la serie

(

1)

log

e

i

e convergente.

4

: Calcolare

ove

:=

(

)

IR

:

1

1

1

(

)

IR

:

1

(

1)

+

1

5

: Sia ;

=

(

)

=

(

) ,



], una curva chiusa semplice regolare, frontiera di un dominio limitato

. Si dimostri che

Area(

) = 12

(

)

(

)

(

)

(

)

se ne studi la dierenziabilit a e si calcolino tutte le derivate direzionali nel punto (1

: Si scriva una equazione dierenziale lineare a coe cienti costanti il cui integrale generale e: