Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti radioattivi

Lezione 4

Radioattività naturale

•  Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi.

•  Osservazione di radiazione con energia dell’ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione.

–  α, nuclei di

He, m=3726 MeV/c

, Q=+2, p~200 MeV/c –  β, elettroni, m=0.511 MeVc

, Q=-1, p~1 MeV/c –  γ, fotoni, m=0 MeVc

, Q=0, p~1 MeV/c

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Decadimenti radioattivi

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 3

Stabile β⁺

β^-

β

X→

X β

X→

X

α

X→

X

α

Energia di disintegrazione (Q-value)

•  Consideriamo un nucleo padre P che decade in due frammenti D1 e D2.

•  Per la conservazione dell’energia

–  dove T_D1 e T_D2 sono le energie cinetiche dei prodotti del decadimento.

•  Definiamo energia di disintegrazione Q come la differenze tra le masse del nucleo padre e dei frammenti:

–  Q è l’energia a disposizione come energia cinetica dei frammenti.

–  Perché il decadimento sia possibile Q>0

•  Per decadimenti α:

•  Per decadimenti β: β^- β⁺ E.C.

M

c

= M

c

+ T

+ M

c

+ T

Q = M

c

− M

c

− M

c

Q = M (A, Z) − M (A − 4, Z − 2) − M_α

Q = M (A, Z)c² − M (A, Z +1)c² − m_ec² Q = M (A, Z)c² − M (A, Z −1)c² − m_ec² Q = M (A, Z)c² + m c² − M (A, Z −1)c²

N.B:

masse nucleari

Energia cinetica in decadimenti radioattivi

•  Consideriamo il decadimento di P in quiete

–  Per semplicità usiamo un decadimento P→D+α, ma le stesse considerazioni valgono per i decadimenti β.

–  Esprimendo il comune momento in termini di T:

–  Sfruttando la relazione:

•  Poiché m_α≪m_D il nucleo si porta una frazione piccola di Q:

–  O(10^-2) per decadimenti α, O(10^-4-10^-5) per decadimenti β/γ

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 5

p

= p

T

+ T

= Q

m_α² + p_α² = m_α + T_α m_α² + p_α² = m_α² + 2m_αT_α + T_α² p_α² = 2m_αT_α + T_α² p_D² = 2m_DT_D + T_D²

2m

T

+ T

= 2m

T

+ T

T_α² − T_D² = T

(

) (

)

(

)

2m_DT_D + QT_D = 2m_αT_α + QT_α

T

T

= 2m

+ Q 2m

+ Q T

= Q 2m

+ Q

2(m

+ m

+ Q) T

= Q 2m

+ Q

2(m

+ m

+ Q)

Legge dei decadimenti radioattivi

•  Il tasso di decadimenti in un campione è una proprietà estensiva (proporzionale alla massa):

–  dove N=numero di atomi nel campione –  λ=costante di decadimento:

Probabilità di decadimento per unità di tempo.

•  L’andamento del numero di nuclei in campione è esponenziale:

–  La vita media di un atomo è data da:

–  Il tempo di dimezzamento:

–  Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti per unità di tempo:

•  unità di misura è il Bequerel: 1 Bq =1 decadimento/s

•  storicamente usato il Curie: 1 Ci = 3.7×10¹⁰ Bq

−dN

dt = λN

N(t) = N

e

τ = 1 / λ τ_1/2 =τ ln 2

Γ=ħλ è un’energia detta larghezza di decadimento

ad uno stato instabile si può associare

un’incertezza sull’energia:

ΔEΔt=ħ ΔE=ħ/τ=Γ

Equilibrio nucleare

•  In molti casi ci possiamo trovare di fronte ad un aumento del numero di atomi radioattivi:

–  produzione per interazioni nucleare con raggi cosmici

•  Esempio: produzione ¹⁴C nei raggi cosmici: n+¹⁴N→¹⁴C+p –  produzione di radioisotopi ad acceleratori o reattori

•  Esempio: n+¹³⁰Tl→¹³¹Tl→¹³¹I+β^-

•  Tasso di produzione: Φn_targetσd –  decadimenti a catena

•  In tal caso l’evoluzione della popolazione segue una legge del tipo:

–  R = tasso di produzione

•  Presenta una soluzione di equilibrio N=R/λ

•  Integrando l’equazione differenziale:

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 7

dN

dt = R −λN

N(t) = R / λ + (N₀ − R /λ)e^−λt

Flusso di particelle sul bersaglio

Equazione secolare

•  Consideriamo il caso di due sostanze radioattive

–  la sostanza S₁ decade con la legge già vista –  la quantità di sostanza S₂

•  aumenta di quanto S₁ diminusce

•  diminuisce con la propria legge di decadimento

–  La sostanza 3 è stabile e pertanto

•  Per N

si trova ovviamente la soluzione che

avevamo trovato nel caso di una singola sostanza

•  Per N

scriviamo la soluzione come

•  La condizione iniziale per N

dà

•  Introducendo N

in (1)

N₁( )t ^{= N}01e^−λ1t

A₂₁ + A₂₂ = N₀₂ ( )2 N₂( )t ^{= A}21e^−λ1t + A₂₂e^−λ2t dN₁

dt = −λ₁N₁

S₁ → S₂ → S₃ dN₁

dt = −λ₁N₁ dN₂

dt = λ₁N₁

"

#$$

%

$$

dN₁

dt = −λ₁N₁ dN₂

dt = λ₁N₁ −λ₂N₂ ( )1

"

#$$

%

$$

dN₁

dt = −λ₁N₁ dN₂

dt = λ₁N₁ −λ₂N₂ ( )1 dN₃

dt = λ₂N₂

"

#

$$

$

%

$$

$

Equzione secolare

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 9

•  si riduce a

•  Per trovare A

introduciamo questo risultato in (2)

•  Pertanto la soluzione per N

è

−λ₁A₂₁ +λ₂A₂₁ = λ₁N₀₁

−λ₁^A₂₁^e−λ1t = λ₁^N₀₁^e−λ1t −λ₂^A₂₁^e−λ1t A₂₁ = λ₁

λ₂ − λ₁ ^N01

A₂₂ = N02 − A21

N₂( )t ^{= λ1}

λ₂ −λ₁ ^{N01 e}

−λ₁t

− e^−λ2t

( )

A₂₂ = N₀₂ − λ₁

λ₂ −λ₁ ^N01

−λ₁^A₂₁^e−λ1t − λ₂^A₂₂^e−λ2t = λ₁^N₀₁^e−λ1t −λ₂^A₂₁^e−λ1t − λ₂^A₂₂^e−λ2t

A₂₁+ A22 = N02 ( )2

dN₃

dt = λ₂N₂

N₃( )t ⁼

∫

Equazione secolare

•  Un altro caso molto interessante si ha quando le costanti di decadimento delle due sostanze sono molto diverse

•  supponiamo λ

>> λ

(τ

>> τ

)

–  si giunge “rapidamente” alla condizione

–  l’andamento temporale della sostanza 2 diventa

•  Vediamo pertanto che per tempi t ≫ τ

=1/λ

l’attività

della sostanza 2 segue la stessa evoluzione temporale della sostanza 1

•  Per la sostanza 3 otteniamo

N₂( )t ^{= λ1}

λ₂ − λ₁ ^{N01 e}

−λ₁t

− e^−λ2t

( )

e

~ 0

N

( ) t ^{≈ λ}

λ

N

e

N₃( )t ^{= λ}2

∫

∫

(

)

Equilibrio secolare

•  Un caso particolarmente rilevante è quello delle catene di decadimento:

•  L’equazione differenziale diventa:

•  Se per tempi

si instaura una condizione di equilibrio:

•  Le attività degli anelli della catena sono uguali

•  La popolazione è proporzionale alle vite medie

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 11

N₁ → N₂ → N₃→ N₄ →…

dN₁

dt = −λ₁^N₁ dN₂

dt = λ₁N₁ −λ₂N₂ dN₃

dt = λ₂^N₂ −λ₃^N₃ dN₄

dt = λ₃^N₃ −λ₄^N₄

λ₁<<λ₂^,λ₃^,λ₄,… τ₂^,τ₃^,τ₄^,… << t <<τ₁ λ₁^N₁ =λ₂^N₂ =λ₃^N₃ =λ₄^N₄ =…

wikipedia

Radioattività naturale

•  La radioattività naturale è dovuta a nuclei con vite medie dell’ordine della vita del sistema solare ~4.5×10

yr

•  Catene α+β

•  ΔA=4 in decadimenti α,

•  risultanti in nuclei ricchi di neutroni che decadono β^-

–  A=4n, ²³²Th, τ_1/2=1.39×10¹⁰ yr →²⁰⁸Pb –  A=4n+1, ²³⁷Np, τ_1/2=2.2×10⁶ yr →²⁰⁹Bi –  A=4n+2, ²³⁸U, τ_1/2=4.5×10⁹ yr →²¹⁰Pb –  A=4n+3, ²³⁵U, τ_1/2=7.15×10⁸ yr →²⁰⁷Pb

•  Altri nuclei a lunga vita media:

–  ⁴⁰K→⁴⁰Ca+β-, τ_1/2=1.3×10⁹ yr –  ⁸⁷Rb→⁸⁷Sr+β^-, τ_1/2=4.7×10¹⁰ yr

– 

In→

Sn+β

, τ

=4.4×10

yr

– 

Lu→

Hf+β

, τ

=3.8×10

yr

– 

Rb→

Re+β

, τ =4.3×10

yr

Radioattività naturale

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 13

wikipedia

4n 4n+2 4n+3

Statistica di conteggio

•  Nel trattamento fin quì fatto abbiamo considerato N(t) una funzione continua

–  Dal momento che il numero di nuclei considerati è usualmente molto elevato l’approssimazione risulta adeguata

–  Per descrivere correttamente le fluttuazioni negli esperimenti di conteggio occorre tenere conto esplicitamente della natura discreta di N

•  Consideriamo N nuclei radioattivi caratterizzati dalla costante di decadimento λ

•  In un intervallo di tempo Δt la probabilità di decadimento di un nucleo particolare è

•  La probabilità che k nuclei qualsiasi decadano è data dalla distribuzione binomiale

p = λ Δt

P N, k

( )

(

)

N(t)

t

dN

dt = −λN

! $ N N −1( )^{… N − k +1}( )

Distribuzione binomiale

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 15

•  Cerchiamo adesso una formula approssimata per P(N,k) nel caso

–  N ≫ 1 –  p ≪ 1 –  k ~ pN

•  Troviamo un’approssimazione per il coefficiente binomiale

•  dato che p ≪ 1 possiamo scrivere

P N, k( ) ^{= k}

N

!

"

# $

%& p^k(1 − p)^{N −k}

0.20 0.15

0.05 0.10

0.00

0 10 20 30 40 50 60 70

N = 20 p = 0.5 N = 100 p = 0.5 N = 100 p = 0.3

k

P( N ,k )

P N, k( ) ^{= N!}

k! N − k( )^!p

k(1 − p)^{N −k}

k N

!

"

# $

%& = N N −1( )^{… N − k +1}( )

k volte (N −k)≈N

!####"####$

k! ≈ N^k

k!

1 − p

( )

≈ e (

)

_{= e}

_{≈ e}

1 − p ≈ e

Np ~ k p ≪ 1 kp ≪ Np

Distribuzione di Poisson

•  Mettendo insieme i termini che abbiamo calcolato

•  Se infine definiamo

otteniamo la distribuzione di Poisson

•  È la probabilità di osservare k deca- dimentiquando il numero medio di decadimenti è

•  Consideriamo un nucleo con una costante di decadimento λ

•  Misuriamo con un rivelatore il numero di decadimenti nell’intervallo Δt

P N, k( ) ^{= N}

k

k! p^ke^−Np P n, k( ) ^{= n}

k

k! e⁻ⁿ P N, k( ) ^{= N!}

k! N − k( )^!p

k(1 − p)^{N −k}

≈ N^k k!

≈ e^−Np

= (Np)^k

k! e^−Np

n = pN

n

14 1

0 nn

n

=

==

Distribuzione temporale

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 17

•  La formulazione che abbiamo appena visto è la stessa che si utilizza per descrivere la probabilità di registrare k eventi

–  distribuiti casualmente –  con probabilità uniforme

–  in un intervallo temporale Δt = t₂ – t₁

•  Se si hanno N eventi in un intervallo 0 – T abbastanza lungo

•  la probabilità di osservarne k nell’intervallo t₁ – t₂

•  Distribuzione temporale:

–  Probabilità di osservare un intervallo t tra due decadimenti

–  è data dalla probabilità di osservare 0 decadimenti nell’intervallo t₁ – t₂ –  moltiplicata per la probabilità di decadimento nell’istante dt successivo

0 T

t₁ t₂

p = t₂ − t₁ T

P n, k( ) ^{= n}

k

k!e⁻ⁿ

n = λt P n, 0( ) ^{= n}

0

0! e⁻ⁿ = e⁻ⁿ

t

t t

λ = N T

P t( )^{dt = e−n (t)}(^λdt) ^{= e−λtλdt}

Tasso di

decadimento Probabilità

dell’intervallo Eventi attesi n = pN = λ(t₂ − t₁)

Esempio: datazione con

C

•  Il

C viene prodotto da raggi cosmici: n+

N →

C+p

–  Si lega con l’ossigeno atmosferico per dare CO₂ che viene metabolizzata dalla vegetazione e dagli animali che se ne nutrono

• 

C →

N+β

, τ

=5700 yr

–  All’equilibrio 1 g di C ha un’attività 15 decadimenti/minuto (A₀=0.25 Bq/g) –  Il ¹⁴C esce dall’equilibrio al momento della morte dell’organismo

•  Supponiamo di misurare, in una massa m di C, N decadimenti in un tempo T: come stimiamo l’età del campione e con che incertezza?

–  Il valore attuale dell’attività A è dato da:

–  La dipenza di A(t) dal tempo è:

–  Da cui si ricava:

–  Poiché N(t)=A(t)T, l’incertezza aumenta con il tempo e A(t) = mA₀e^−λt

t = −1 λ^ln

A(t)

mA₀ = −τ_1/2

ln 2ln A(t) mA₀

A(t) = N / T ± N / T

σ_t = d

dA −1 λ ^ln

A(t) mA₀

!

"

# $

%& σ_A = τ_1/2 ln 2

σ_A

A(t) = τ_1/2 ln 2

1 N

σ 1 e^λt/2 Attività troppo ridotta

DECADIMENTI α

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4

Legge di Geiger-Muttall

•  Il decadimento α è un decadimento a due corpi:

–  Energia fissata: E_α~Q_α

–  Si osserva una forte dipendenza di λ da Q:

•  legge di Geiger-Muttal –  Piccole variazione di energia

risultano in grandi differenze nelle costanti di decadimento

:

Esempio:

•  ²⁰⁸Po, Q=5.2 MeV, τ_1/2~10⁸ s

•  ¹⁸⁶Po, Q=8.6 MeV, τ_1/2~10^-5 s

http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2014.05.066

ln t_1/2 = a + b Q

Modello di Gamow

•  La legge di Geiger-Muttall può venire spiegata fenomenologicamente dal modello di Gamow:

–  Il nucleo (A,Z) è costituito da una particella α, intrappolata nel potenziale generato dal nucleo (A-4,Z-2)

–  Classicamente la particella è confinata all’interno del raggio a del nucleo.

–  In meccanica quantistica ha una probabilità P non nulla di attraver- sare la barriera per effetto tunnel.

–  All’interno del nucleo, ha una ve- locità:

–  Colpisce la barriera con frequenza –  Il rate di decadimento è fP.

–  Per V₀=30 MeV, Q=5 MeV, A=200: v=0.14c = 0.42×10⁸ m/s, f=3×10²¹ Hz

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 21

v = 2(Q + V₀) m

f = v / 2a

Modello di Gamow

•  La probabilità di superare la barriera di potenziale è data da:

–  dove il fattore G è definito da un’integrale sulla zone classicamente proibita

•  Per fissare le idee, consideriamo il decadimento α del ²³²Th (Z=90)

a = roA^1/3 = 1.2A^1/3 fm = 7.4 fm Q = 4.05 MeV

P = e^−2G

G = 2m

!² (V r( )^{− Q})

a

∫

V r( )⁼ (^{Z − 2})^2e2

4πε_o^r

V a( )⁼ (^{Z − 2})^2e2

4πε_oa = 34.2 MeV b = (Z − 2)^2e2

4πεoQ = 62.5 fm

Eq. di Schrödinger in coordinate sferiche

•  Possiamo risolvere il problema monodimensionale.

•  L’equazione di Schrödinger nello spazio per un potenziale a simmetria sferica:

•  Permette di fattorizzare

–  armoniche sferiche per momento angolare

•  L’equazione per la componente radiale è

–  identica a quella di particella singola se l=0 –  altrimenti presente un potenziale centrifugo

•  La probabilità di trovare la particella ad un certo r è:

–  dato che

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 23

− !² 2m

∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

#

$% &

'( + V r( )^{− E}

)

*+ ,

-.ψ(r) = 0

ψ(r) = u(r)

r Y_l,ml (θ,ϕ)

Y_l,ml (θ,ϕ) ^L2 = l(l + 1)!, Lz = m_l!

− !² 2m

∂²

∂r² + V r( )^{+ !}

2l(l + 1) 2mr² − E

#

$% &

'(u(r) = 0

dΩr²ψ^*(r)ψ^(r)

∫

*(r)u(r)

r² Y_l,m^* _l (θ^,ϕ)^Yl,m_l (θ^,ϕ)

∫

dΩYl,m* _l(θ,ϕ)^Yl,m_l(θ,ϕ)

∫

Ÿ poniamo

Ÿ A ampiezza incidente

Ÿ B ampiezza riflessa

Ÿ F ampiezza trasmessa

Barriera di potenziale

•  Consideriamo il moto di una particella in presenza di un barriera di potenziale.

•  Calcoliamo adesso la probabilità di trasmis- sione di un’onda piana: Effetto Tunnel

•  L’equazione di Schrödinger

•  diventa nelle 3 regioni

•  cerchiamo soluzioni della forma H₀ + V x( )

( )^{Ψ = i!∂Ψ}

∂t Ψ x, t( )^=ψE( )x ^e−iEt/!

H₀ + V x( )

( )^ψE = Eψ_E

d²ψ_E

dx² + 2m

!² EψE = 0 x < 0, x > a d²ψ_E

dx² + 2m

!² (E − V_o)^ψE = 0 0 ≤ x ≤ a

ψE( )x ^{= Aeikx + Be−ikx x < 0} ψ_E( )^{x = Cekox + De−kox 0 ≤ x ≤ a}

k = 2m

!² E k_o = 2m

!² (V_o − E)

T = F ²

Barriera di potenziale

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 25

•  Per risolvere l’equazione

–  continuità della funzione e della derivata in x = 0

–  troviamo A e B

–  continuità idella funzione e della derivata in x = a

•  In forma matriciale l’equazione è

A + B = C + D ikA − ikB = k_oC − k_oD A − B = −ik_o

k C + ik_o k D

A = C

2 1 + k_o ik

!

"

# $

%& + D

2 1 − k_o ik

!

"

# $

%&

B = C

2 1 − k_o ik

!

"

# $

%& + D

2 1 + k_o ik

!

"

# $

%&

Ce^koa + De^−koa = Fe^ika k_oCe^koa − k_oDe^−koa = ikFe^ika Ce^koa − De^−koa = i k

k_o Fe^ika

e^koa e^−koa e^koa −e^−koa

"

#$$ %

&

'' C D

"

#$ %

&

' =

e^ika i k

k_o e^ika

"

#

$$

$

%

&

'' '

F ψE( )x ^{= Aeikx + Be−ikx x < 0} ψ_E( )x ^{= Cekox + De−kox 0 ≤ x ≤ a} ψE( )x ^{= Feikx x > a}

Barriera di potenziale

•  La soluzione è immediata

•  Richiamiamo la soluzione per A e B

C D

!

"

# $

%& = 1 2

e^−koa e^−koa e^koa −e^koa

!

"

## $

%&&

e^ika i k

k_o e^ika

!

"

##

#

$

%

&

&

&

F

e^koa e^−koa e^koa −e^−koa

"

#$$ %

&

''

−1

= 1 2

e^−koa e^−koa e^koa −e^koa

"

#$$ %

& ''

= 1 2

e^(ik−ko)a(1 + ik / k_o)

e^(ik+ko)a(1 − ik / k_o)

"

#

$$

%

&

''F

A B

!

"

# $

%& = 1 2

1 + k_o / ik 1 − k_o / ik 1 − k_o / ik 1 + k_o / ik

!

"

##

$

%

&

& C D

!

"

# $

%&

A B

!

"

# $

%& = e^ikaF 4

1 + k_o / ik

( )(^{1 + ik / k}o )^{e−koa + 1 − k}( o / ik)(^{1 − ik / k}o)^ekoa

1 − k_o / ik

( )(^{1 + ik / k}o )^{e−koa + 1 + k}( o / ik)(^{1 − ik / k}o)^ekoa

!

"

##

$

%

&

&

= e^ikaF 4

2 + i k k_o − k_o

k

"

#$ %

&

" '

#$ %

&

'e^−koa + 2 − i k k_o − k_o

k

"

#$ %

&

" '

#$ %

&

'e^koa i k

+ k_o

"

$ %

'e^−koa − i k + k_o

"

$ %

'e^koa

"

$$

$$

%' '' '

= e^ikaF 4

4 cosh k_oa − 2ik² − k_o²

k_ok sinh k_oa k² + k_o²

"

$

$$

$

%' '' '

Barriera di potenziale

•  La soluzione finale è quindi:

•  Il coefficiente di trasmissione è

•  Per verificare la consistenza si può vedere che la somma dell’onda trasmessa e riflessa:

|F|²+|B|²=|A|²

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 27

A B

!

"

# $

%& = e^ikaF

cosh k_oa + k² − k_o²

2ik_ok sinh k_oa k² + k_o²

2ik_ok sinh k_oa

!

"

##

#

##

$

%

&

&

&

&

&

T = F ²

A ² = 1

cosh²k_oa +

(

)

4k_o²k² sinh²k_oa 1 + sinh²k_oa

= 1

1 +

(

)

4k_o²k² + 1

"

#

$$

%

&

''sinh²k_oa

= 1

1 +

(

)

4k_o²k² sinh²k_oa

T = 1

1 + V₀²

4E(V₀ − E)sinh²k_oa

Effetto tunnel

•  Nella soluzione esatta della

barriera di potenziale unidimensionale:

•  Il termine che ha il peso maggiore nel denominatore è

–  Il coefficiente in fronte all’esponenziale è O(1).

•  per fissare le idee prendiamo il caso k~k_o,

•  La probabilità di attraversare la barriera di potenziale è quindi

T = 1

1 + V₀²

4E(V₀ − E)sinh²k_oa

sinh²k_oa = 1

4

(

)

T ≈16E(V₀ − E)

V₀² e^−2k0a = 16k_o²k² k² + k_o²

( )

−2k₀a

P ≈ 4e

= 4 exp −2a 2m

(V − E)

# &

16k_o²k² k² + ko2

( )

Effetto tunnel

•  Un potenziale generico, V(r), può essere visto come la sequenza di una serie di barriere infinitesime.

–  Ciascuna ha una probabilità di essere attraversata data da:

–  La probabilità di attraversare la barriera completa è data dal

prodotto delle probabilità di attraversare le barriere infinitesimali

–  Ovvero

–  dove G è il fattore di Gamow

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 29

P ∝ e^−2k0dr = exp −2 2m

!² (V (r) − Q) dr

#

$% &

'(

P ∝ e^{−2 k}∫ ^0dr = exp −2 2m

!² (V (r) − Q) dr

a

∫

$

%& '

() P ∝ e^−2G

G = 2m

!

(V (r) − Q) dr

a

∫