I decadimenti β Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti β

Lezione 9

Ipotesi del neutrino

•  Radiazione β identificata con elettroni

•  Decadimento:

X →

X+e-

–  Inconsistente con conservazione dell’energia:

–  ...e del momento angolare:

•  esistono transizioni tra nuclei senza cambio del momento angolare

•  ma e ha spin ½.

–  Ipotesi: Esiste una particella neutra invisibile (Pauli 1932)

•  è un decadimento in 3 corpi: possibili diverse ripartizioni dell’energia

•  la nuova particella deve avere spin ½

–  Deve essere un nuovo tipo di interazione:

•  elettroni e neutrini vengono creati nel nucleo, ma non partecipano alle interazioni tra nucleoni

•  conservazione del numero leptonico:

–  differenza tra numero di particelle e anti-particelle

–  posso solo creare coppie: o cambiare carica:

–  Le interazioni conservano il numeo di nucleoni (numero barionico)

e⁻ +ν e⁺ +ν e⁻ ↔ν e⁺ ↔ν

Classificazione dei decadimenti β

•  I decadimenti β sono caratterizzati dalla trasformazione n → p oppure p→n

–  A non cambia: transizioni tra isobari

–  servono elettroni o positroni per conservare la carica

•  decadimenti β

: n → p+e

–  Condizione cinematica:

•  decadimenti β

: p → n+e

•  cattura elettronica: p+e

→n

•  Corollario:

–  tra due isobari vicini sarà sempre possibile un decadimento : valle di stabilità –  se è possibile un decadimento β⁺ è anche possibile la cattura elettronica

Q = M (A, Z) − M (A, Z +1) − m

> 0

Q = M (A, Z) − M (A, Z −1) − m

> 0

Q = M (A, Z) + m

− M (A, Z −1) > 0

masse nucleari

Q = m(A, Z) − m(A, Z +1) > 0

m(A, Z ) > m(A, Z +1)

Q = m(A, Z) − m(A, Z −1) − 2m

> 0 m(A, Z ) > m(A, Z −1) + 2m

Q = m(A, Z) − m(A, Z −1) > 0

m(A, Z ) > m(A, Z −1)

Tavola dei Nuclidi

Stabile β⁺

β^-

β

X→

X

β

X→

X

Larghezza del decadimento β

•  Possiamo derivare larghezza del decadimento β (sia differenziale che totale a partire dalla regola d’oro di Fermi:

–  la probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno

stato finale f, causata dall’interazione con un interazione H

:

•  Dove compaiono:

–  l’elemento di matrice

(ha le dimensioni di un’energia) –  la densità di stati finali:

(spazio delle fasi)

•  Prendiamo come esempio un decadimento β

•  Consideriamo il nucleo all’interno di un volume grande V λ = 2 π

! f H

i

ρ ( ^E

)

f H

i

ρ E

(

)

Krane, cap. 9

(Z, A) → (Z +1, A) + e

+ ν

Dovremo verificare che i risultati non dipendano dalla scelta di V

La forma dell’interazione

•  Fermi ipotizza un’interazione di contatto:

•  L’interazione H

è normalizzata in modo da:

–  Esplicitare una costante G_F che parametrizzi l’intensità dell’interazione –  Rimanere con un operatore O_X puramente adimensionale

•  Dopo questa normalizzazione l’elemento di matrice diventa:

•  In realtà Fermi ipotizza diversi operatori O

relativisticamente invarianti.

•  Lo studio degli elementi di matrice permetterà di determinare la forma di O

H

( r, r

, r

) ^{= G}

( !c )

^O

δ r − r (

) ^{δ r − r} (

)

f H

i = dr dr

dr

( ψ

^(r) ψ

^(r

⁾ ψ

^(r

⁾ )

^H

( r, r

, r

) ^ψ

(r)

V

∫

= G

( !c )

^{dr dr}

dr

( ψ

(r) ψ

(r

) ψ

(r

) )

^O

δ ( r − r

) ^δ ( ^{r − r}

) ^ψ

(r)

V

∫

= G

( !c )

^dr ( ^ψ

(r) ψ

^(r) ψ

^(r) )

^O

ψ

^(r)

V

∫

Elemento di matrice

•  Supponiamo quindi un’interazione di contatto:

•  L’elettrone ed il neutrino uscenti avranno le funzioni d’onda di una particella libera con momento p

e p

:

–  L’argomento dell’integrale è diverso da zero solo in una regione di dimensione r₀A^1/3 di qualche fm.

–  I moduli di p_e e p_ν sono dell’ordine di Q, ovvero al massimo qualche MeV.

–  L’esponente ha quindi ordine di grandezza:

–  Si può sviluppare in serie:

•  Approssimazione dei “decadimenti permessi”:

–  solo il primo termine dello sviluppo –  l’elemento di matrice è indipendente

dai momenti di e e ν.

f H

i = G

( !c )

^dr ( ^ψ

(r) ψ

(r) ψ

(r) )

( ^O

) ^ψ

(r)

V

∫

ψ_e(r) = e^−ipe⋅r/!

V ψ_ν(r) = e^{−ipν⋅r/!}

V ⇒ ψ_e^(r)ψ_ν(r) = e^{−i(pe+pν)⋅r/!}

V

normalizzazione: dr ψ(r)²

V

∫

Qr₀

! ~ 1 MeV ×1 fm

200 MeV ⋅ fm ~ 10⁻²

f H

i = G

( !c )

V dr ψ

(r)

( O

) ^ψ

(r)

V

∫

e^{−i(pe+pν)⋅r/!} = 1− i(p_e+ p_ν)⋅ r

! −1

2

(p_e+ p_ν)⋅ r

!

#

$% &

'(

2

+…

Elemento di matrice

•  Con la normalizzazione usata:

–  l’integrale è adimensionale –  si vede che G_F ha dimensioni [G_F]=[E^-2]

La misura di M

per diversi decadimenti potrà determinare la forma corretta di O

.

f H

i = G

!

c

V dr ψ

(r)

( O

) ^ψ

(r)

V

∫

M

= dr ψ

(r)

( O

) ^ψ

(r)

V

∫

O_X = HW / G_F(!c)³

f H

i = G

( !c )

V M

Spazio delle fasi

•  Lo stato finale è praticamente definito solo da e e ν:

–  il momento del nucleo di rinculo è univocamente definito una volta noti p_e e p_ν –  Il nucleo compensa il momento totale, portantosi una frazione piccola dell’energia:

–  qualunque combinazione di p_e e p_ν è accettabile purché soddisfi il vincolo Q=T_e+T_ν –  La massa del neutrino è molto piccola:

•  vedremo che misure dirette forniscono m_ν<2 eV

•  T_ν=E_ν=p_νc

•  Il numero di stati finali per elettroni con un certo modulo del momento è dato dal volume che questi possono occupare spazio delle fasi diviso per la costante di Planck h=2πħ

•  Lo stesso vale per i neutrini:

E_nucleo ≈

(

)

2M_nucleo = O Q²

M_nucleo

"

#$ %

&

' = Q× O 10

(

)

dN_e =V × 4π^p_e^2dp_e (2π!)³ dN_ν =V × 4πp_ν²dp_ν

(2π!)³

Spazio delle fasi

•  Il termine di spazio delle fasi diventa quindi:

–  con la condizione che E_f=E_e+E_ν

–  Una relazione utile tra i differenziali relativistici si ricava da:

–  Inoltre:

•  Possiamo esprimere ρ(E

) in termini:

–  del momento dell’elettrone –  dell’energia dell’elettrone

–  dell’energia cinetica dell’elettrone:

•  Nel seguito useremo preferenzialmente quest’ultima.

ρ(E_f) = dN

dE_f = dN_e dN_ν

dE_f =V × 4πp_e²dp_e (2π!)³

V × 4πp_ν² (2π!)³

dp_ν dE_f

p² + m² = E² ⇒ 2 pdpc² = 2EdE pdp = 1 c² EdE p_ν dp_ν

dE_f = E_ν c²

dE_ν

dE_f = E_ν c²

d(E_f − E_e)

dE_f = E_ν c²

ρ^(Ef) = (4π)²V²

(2π!)⁶c² p_e²p_νE_νdp_e ρ^(E_f) = (4π^)2V2

(2π!)⁶c⁴ p_eE_ep_νE_νdE_e ρ^(Ef) = (4π^)2V2

(2π!)⁶c⁴ p_e

(

)

E_ν = Q − T_e p_e = T_e² + 2mT_e

(4π^)2V2

(2π!)⁶c⁴ p_e

(

)

G_F²!⁶c⁶

V² M_fi ²

Larghezza di decadimento

•  Tornando alla regola d’oro di Fermi:

•  Mettendo assieme tutti i fattori si ottiene una probabilità di decadimento differenziale:

–  che è indipendente dal volume V

•  In realtà non si può trascurare l’interazione coulombiana elettrone-nucleo

–  Dà una correzione all’elemento di matrice, calcolabile numericamente F(Z,T_e)

•  La forma dello spettro dell’elettrone è da:

dλ = 2π

!

λ = 2π

! f H_W i ²ρ E

(

)

dλ = G_F²c²

2π³! M_fi ² p_e

(

)

1 λ

dλ

dT_e ∝ p_e

(

)

•  Definiamo l’integrale adimensionale:

•  La probabilità di decadimento è f (Z,Q) =

= 1

(m_ec²)⁵ 0 p_ec T

(

)

∫

λ =G_F²(mc²)⁵

2π³! M_fi ² f Z,Q

( )

Correzione Coulombiana

6429

Cu

6428

Ni Q=653 keV

6430

Zn Q=579 keV

β^- β⁺

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/beta2.html

Decadimento β

•  Riassumendo:

–  lo spazio delle fasi del decadimento in tre corpi dà la distribuzione differenziale di energia degli elettroni:

•  Se m

=0, p

cE

=E

=(Q-T

)

–  La larghezza totale è:

•  dove:

dλ

dT

= G

c

2π

! M

p

( m

c

+ T

) ^p

^E

^{F Z,T (}

⁾ _dp ^dλ

e

= G

c

2π

! M

p

p

E

F Z,T (

)

dλ

dT

= G

c

2π

! M

p

( m

c

+ T

) ^{( Q − T}

⁾

^{F Z,T (}

⁾

λ = G

M

( m

c

)

2π

! f Z,Q ( )

f Z,Q

( )

m_ec²

!

"

# $

%& p_e

m_ec 1+ T_e m_ec²

!

"

# $

%& Q − T_e m_ec²

!

"

# $

%&

2

F Z,T

(

)

0 Q/m_ec²

∫

Misura della massa del ν _e

•  In un decadimento beta

•  il limite cinematico per l’energia osservabile dell’elettrone è

–  il Q-valore della reazione è calcolato per massa nulla del ν.

•  Lo spettro di energia dell’elettrone è dato da (mantenendo tutti i

fattori dimensionali):

•  m

dallo spettro vicino al limite di energia, usando la trasformazione:

•  Se m

d≠0 (Z, A) → (Z +1, A) + e

+ ν

T

= m(Z, A) − m(Z +1, A) − m

= Q − m

K(E) = dλ dT_e F Z,T

(

)

!

"

##

$

%

&

&

1 2

∝ Q − T

(

)

E

p_νc

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.042503

187Re

dλ

dT

= G

m

c

2π

! M

F Z,T (

) ^p

( ^m

^c

^{+ T}

)

× Q − T (

) ^! _" ( ^{Q − T}

)

^{− m}

^c

^# _$

1 2

∝ Q − T

(

)

(

)

1

' 2

()

*)

+ ,) -)

1 2

Misure di m _{ν e} dal decadimento di ³ H

Facciamo alcune considerazioni sulle formule precedenti.

•  Rate:

se siamo interessati ad esplorare una zona ΔE intorno all’end-point, vediamo che la frazione di eventi rilevante è:

siccome ΔE sarà dell’ordine del limite che si vuole raggiungere, è importante avere un Q-value il più basso possibile;

•  Intensità della sorgente:

il tasso di eventi dipende dalla

dimenzione della sorgente e dalla vita media:

avere N troppo grande crea problemi di autointerazione con la sorgente, quindi ci si orienta verso τ brevi.

•  I due requisiti sono in parte in contraddizione, dato che

•  Risoluzione:

la risoluzione energetica σ_E sarà comparabile al limite di massa

accessibile. Avere un basso Q, permette di avere risoluzione energetiche

moderate:

•  Il decadimento esclusivo in questo campo di ricerca è quello del trizio:

3 5

2 2

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛ Δ Δ

×

×

≈ Δ Γ

Δ

Q E Q

E Q

E dE

dN E

τ N dt

dN =

1 5

∝Q τ

3

H →

He + e

+ ν

Q = 18.574 keV T

= 12.3 yr

Q m E

E ν

σ ≈

Opzionale

Misure di m _{ν e} dal decadimento di ³ H

Lo spettro di energia e l’accettanza che ci interessa impongono dei vincoli piuttosto forti agli apparati:

•  Se siamo interessati ad esplorare un range di circa 10 eV intorno al limite dello spettro, la frazione di elettroni che ci interessa è di

bisogna quindi eliminare gli elettroni non interessanti, altrimenti soffocherebbero il segnale.

•  Elettroni di qualche decina di keV

vengono assorbiti in pochi cm di aria o in poche decine di µm in un altro materiale.

•  Bisogna quindi ridurre al minimo:

–  le perdite di energia all’interno della sorgente;

–  le perdite di energia nel percorso tra sorgente e rivelatore.

•  Risoluzioni energetiche di pochi eV e con

non possono venire raggiunte in base alla risposta di un rivelatore.

•  L’unico apparato in grado di soddisfare tutti questi requisiti è un analizzatore magnetico.

Range di elettroni in aria

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

0.008 0.013 0.018 0.023 0.028

Energia cinetica [MeV]

Range [cm]

http://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/contents.html 10

3

10 5 .

1 × ⁻

⎟⎟ ≈

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ Δ Q

E

10⁻4

E ≈ σE

Opzionale

Misure di m _{ν e} dal decadimento di ³ H

•  La tecnica usata dagli esperimenti più recenti (Mainz, Troitsk, Karlsruhe) è quella degli specchi magnetici.

–  In campo magnetico non uniforme è costante del moto:

•  momento magnetico della corrente dell’elettrone

•  proporzionale al flusso di B nella spira sottesa dall’elettrone.

–  elettroni emessi dalla sorgente seguono le linee del campo magnetico;

–  la maggior parte di questi viene riflessa indietro alla seconda strozzatura;

–  l’energia minima per raggiungere il rivelatore viene modulata dal potenziale degli elettrodi.

m_νe <2 eV Esperimento di Troitsk,

Phys. Rev. D 84, 112003, 2011 http://arxiv.org/abs/1108.5034

µ = p_⊥² 2m_eγB

KArlsruhe TRItiun Neutrino experiment

Opzionale

Spettrometro di KATRIN

Opzionale

Osservazione del neutrino

•  Fino ad ora abbiamo visto solo evidenza indiretta del neutrino

•  La prima rivelazione diretta del neutrino fu fatta da Reines e Cowan nel 1956

•  Utilizzarono la reazione di decadimento β inverso

–  La sorgente di antineutrini utilizzata fu un reattore nucleare

•  fra i prodotti della fissione ci sono emettitori β a vita media breve

•  Osservazioni:

–  la sezione d’urto d’interazioni di neutrini è molto piccola

–  Ė relativamente facile costruire un bersaglio attivo di massa elevata che contiene protoni liberi (H)

ν_e + p → e⁺ + n

σ_νp ≈ 5.6G_F²E_ν²

(

)

Esperimento di Reines e Cowan

•  Il segnale da rivelare è relativamente semplice

–  l’antineutrino interagisce con il protone

•  vengono prodotti un positrone e un neutrone

•  il positrone si annichila con un elettrone e produce due fotoni

•  i fotoni a loro volta producono altri elettroni per effetto compton

•  Quanto descritto è rapidissimo, pressocchè istantaneo: segnale prompt

•  Il neutrone compie numerosi urti elastici e rallenta

–  Con un certo ritardo avviene la cattura di un neutrone da parte di un nucleo

–  Viene emesso anche in questo caso un fotone

•  alla fine elettroni e positroni

•  Segnale ritardato

ν_e + p → n + e⁺ e⁺ + e⁻ →γ +γ

γ + e⁻ →γ^' + e⁻

n + p → d +γ _{n + Z}^A_{X →} ^A+1_{ZX +}γ

Opzionale

•  Il segnale è pertanto una coincidenza ritardata (di circa 1 ms ) fra:

–  il segnale dovuto all’annichilazione del positrone –  il segnale dovuto alla rivelazione dei fotoni

della cattura del neutrone

•  La tecnica viene utilizzata anche oggi come mostrato nella figura proveniente da un articolo dell’esperimento Chooz che cerca le oscillazioni di neutrino

•  ^†M. Apollonio et al. – Eur. Phys. J. C27 p 331 (2003)

Esperimento di Reines e Cowan

Opzionale

Spin isotopico

•  Abbiamo visto che le interazioni nucleari sono identiche tra neutroni a protoni

–  differenze dovute alla interazioni elettromagnetiche

•  Possiamo assumere che per le interazioni forti esista una unica particella:

–  il nucleone N

–  che può trovarsi in due stati di carica, p ed n

–  in pratica ha un grado di libertà interno, come lo spin:

–  spin isotopico I: N ha I=1/2, ed i due stati p I₃=+1/2, n I₃=-1/2

•  Questo grado di libertà interno, dovrebbe dare due stati degeneri:

–  degenerazione rotta dalla carica:

•  Sistemi di nucleoni possono trovarsi in stati ben definiti di spin isotopico:

–  deutone: esiste in unico stato di carica: I=0

•  essendo il nucleone un fermione la funzione d’onda deve essere antisimmetrica

•  Funzione d’onda orbitale per L=0,2 è simmetrica

•  Funzione d’onda di spin per S=1 è simmetrica

•  Funzione d’onda di spin isotopico, per I=0, è antisimmetrica:

Q = A

2 + I₃, A = numero di massa p = 1

( )

( )

1

2( p n − n p )

Spin isopico

•  Esempio: I=1/2

•  Esempio: I=1, I=0

•  Per questi nuclei, decadimenti β tra membri di un multipletto sono mediati dagli operatori I

che trasformano p⇔n

17F I₃=+1/2, J^π=5/2^{+ 17}O I₃=-1/2, J^π=5/2⁺

14O I₃=+1, J^π=0⁺ Excess mass 8.0 MeV

14N* I₃=0, J^π=0⁺ Excess mass 5.2 MeV

14C I₃=-1, J^π=0⁺ Excess mass 3.0 MeV

14N I₃=0, J^π=1⁺ Excess mass 2.9 MeV

Determinazione della costante di Fermi

•  Nella maggior parte dei casi, si usa il tempo di decadimento per stimare l’elemento di matrice.

•  Esistono particolari decadimenti in cui per ragioni di simmetria si può valutare con precisione M

=√2.

•  Sono tutti decadimenti β

, tra elementi di un tripletto di spin isotopico con J

=0

:

•  Sono sempre in competizione con cattura elettronica o altri stati finali:

•  Infine, invece della vita media, è tradizione usare il tempo di dimezzamento:

•  La costante di Fermi nel decadimento β si ricava dunque a partire dal valore misurato ft:

Γ = 1 τ

BR 1+ P

2

2

ln

/ 1

= τ t

ft = f Z,Q ( ) _BR ^t

( ^{1+ P}

) ^{= ln 2 π}

^!

G

( m

c

)

Γ_totale

frazione di decadimenti β 0⁺→0⁺ frazione di decadimenti per EC

I

I = 1, I

= +1 = 2 I = 1, I

= 0 , I

I = 1, I

= 0 = 2 I = 1, I

= −1

Decadimenti super-permessi

Correzioni e-nucleo e struttura nucleare.

G

= 1.14962 ± 0.00015 ( ) ^×10

^GeV

I₃=+1

I₃= 0

Riassunto

•  Nel decadimento β, un elettrone ed un neutrino vengono prodotti all’interno del nucleo.

–  cinematicamente il nucleo bilancia il momento, ma riceve poca energia.

•  La prima teoria del decadimento β di Fermi: interazione di contatto.

•  Calcolo della probabilità di decadimento dalla “regola d’oro”

–  intensità dell’interazione data da una costante G

=1.1×10

GeV

–  nei decadimenti “permessi” l’elemento di matrice non dipende (in prima approssimazione) dal momento di elettrone e neutrino

–  lo spettro del decadimento viene descritto completamente dal termine di spazio delle fasi.

•  In alcune transizioni l’elemento di matrice è quasi calcolabile:

–  concetto di spin isotopico (o isospin) e misura della costante di Fermi

•  Prime proprietà del neutrino:

–  massa: m

< 2 eV (decadimento del trizio:

H→

He)

–  sezione d’urto (esperimento di Reines e Cowan)

ESERCIZI

Esercizio 9.1

Trascurando l’interazione coulombiana tra elettrone (o positrone) e nucleo, la probabilità di decadimento

differenziale per i decadimenti β permessi è data dalla formula:

Trovare un’espressione approssimata dello spettro di energia per decadimenti in tre corpi:

•  nei due casi limite in cui Q≪m

c

e in cui Q≫m

c

•  Calcolare la larghezza di decadimento totale nei due casi

•  Per entrambi stimare 〈T

〉 e mostrare che vale Q/3 nel primo caso e Q/2 nel secondo.

d λ

dT

= G

c

2 π

! M

p

( m

c

+ T

) ^{( Q − T}

⁾

Esercizio 9.2

Data la sezione d’urto:

–  assumendo che tale sezione d’urto sia indipendente dallo stato

legato di p in un nucleo, calcolare il libero cammino medio in Fe di un anti-neutrino di 1 MeV.

Considerando un reattore nucleare di 700 MW

–  quante fissioni avvengono al secondo?

–  qual è l’ordine di grandezza di energia e flusso degli anti-neutrini a 10 m dal reattore?

–  Quante interazioni per ora sono attese in 200 l di H

0?

(considerare l’interazione solo con H)

σ ν ( p → e

n ) ^{≈ 5.6 G}

^E

^{( !c )}

2

π