Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Acceleratori

Lezione 15

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Acceleratori (Das-Ferbel cap. 8)

•  Gli acceleratoti sono, insieme ai rivelatori, una delle componenti essenziali per la sperimentazione in fisica nucleare e subnucleare.

–  Per esplorare dimensioni x, è necessario avere sonde con lunghezza d’onda λ=ħ/p<x –  L’acceleratore attuale più potente, Large Hadron Collider, p~1 TeV/c, x~10^-4 fm

•  I grandi acceleratori sono delle infrastrutture collocate in laboratori che fungono da centri ricerca aperti a più esperimenti.

•  La fisica degli acceleratori è una settore di ricerca ormai completamente autonomo e con applicazioni ben al di là della fisica subatomica.

•  Toccheremo solo alcuni aspetti:

–  L’accelerazione ad alta energia richiede campi elettromagnetici variabili:

ciclotrone e sincrotrone

–  Perché si possa produrre un fascio di particelle è necessario che il meccanismo di accelerazione sia “stabile”:

stabilità di fase e oscillazioni di betatrone

–  Negli esperimenti particelle di un fascio possono venire fatte interagire con un bersaglio o con un altro fascio:

esperimenti a bersaglio fisso o collisori.

–  Concetto di luminosità

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Acceleratori elettrostatici

•  Gli acceleratori più semplici si basano su una differenza di potenziale elettrostatica.

•  Sono limitati ad energie di ~10 MeV

–  massima differenza di potenziale elettrostatico che si riesce a mantenere.

•  Cockroft-Walton (Nobel 1951)

•  Van der Graaf

•  Tandem

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 15 A. Andreazza - a.a. 2016/17

3

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Moto in un campo magnetico

•  L’equazione del moto di una particella carica in un campo magnetico è

•  in relatività ristretta la quantità di moto si può scrivere come pc = ε v/c con

–  ε l’energia della particella –  v la sua velocità

•  l’equazione del moto diventa

•  moltiplicando per v si ottiene ( v è perpendicolare a dv e a v×B )

•  ritroviamo il risultato che il campo magnetico non fa lavoro e l’energia si conserva

•  l’equazione del moto diventa pertanto

•  cioè la velocità precessa con velocità angolare Ω_v

•  se v è perpendicolare a B la traiettoria della particella è una circonferenza per- corsa in un tempo T = 2π/Ω_v

–  nel caso non relativistico: T=cost.

–  nel caso relativistico: T=1/γ

•  Per trovare il raggio della circonferenza

•  esprimendo il momento in GeV, il raggio in metri e il campo magnetico in Tesla

dp

dt = e v × B

dp dt = 1

c² dε

dt v + ε c²

dv

dt = e v × B

dε dt = 0

dv

dt = v × Ω_v Ω_v = eB ε ^c

2

2πR

T = v → R = vT 2π ⁼

v Ω_v R = vε

eBc² βε = pc R = p eB

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Ciclotrone

•  Incrementi graduali dell’energia attraverso multipli passaggi attraverso la stessa differenza di potenziale.

5

Lawrence con il primo ciclotrone, 1932

•  Campo magnetico per forzare traiettorie cicliche.

•  Potenziale risonante:

–  frequenza di ciclotrone

•  Adatto per velocità non relativistiche:

–  richiede frequenza variabile ~1/γ

–  Costo del magnete ~R²~p² V (t) = cos(Ω_vt)

Ω_v = eB m_e

Nobel 1939

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Sincrotrone

•  Cavità a radiofrequenza

forniscono il campo elettrico accelerante:

–  E = 1-10 MV/m –  f = 100-500 MHz

–  Tempo necessario per percorrere l’anello deve essere un multiplo esatto del periodo di oscillazione del campo elettrico T=1/f.

–  acceleratore sincrono

•  Raggio di curvatura definito per costruzione:

–  il campo magnetico prodotto dai dipoli varia seguen- do l’energia del fascio.

•  Sezioni rette tra gli archi per

inserire rivelatori o linee di fascio.

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Sincrotrone: LHC

7

Cavità acceleratrici LHC Magneti LHC

15 m

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Sincrotrone: LEAR

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CERN accelerator complex

9

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Sincrotrone

•  Consideriamo come esempio LHC:

–  Frequenza delle cavità:

f=400.8 MHz,

periodo 1/f=2.495×10^-9 s

–  Circonferenza: C=26.659 km, periodo di rotazione

T=C/c=88.92 ×10^-6 s

–  In un giro la cavità effettua un numero di oscillazioni:

T⋅f = 88.92×10^-6 s 400.8×10⁶ s^-1= 35641

–  Per un energia dei fasci di 7 TeV serve un campo magnetico:

B=p / 0.3 R = 7×10³ 2π/0.3 C = 5.5 T

–  I fasci possono circolare anche per più di 12 ore: 0.48 ×10⁹ rivoluzioni

La stabilità è un aspetto critico!

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Sincrotrone

•  Traiettoria di riferimento:

–  particella sincrona –  moto quasi circolare

–  con periodo giusto rispetto all’RF

•  Stabilità rispetto a divergenza e posizione

–  Oscillazioni di betatrone

•  Stabilità rispetto alla sincronia con RF

–  Stabilità di fase

11

S

S N

N x z

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Oscillazione di betatrone

•  Le particelle di un fascio hanno una loro divergenza:

–  Lasciate propagare liberamente, tenderebbero ad allargarsi.

–  Devo mantenerle focalizzate.

•  Lenti magnetiche:

–  Magneti quadrupolari

–  Campo magnetico crescente con la distanza dall’orbita di equilibrio:

–  Danno un impulso tanto maggiore quanto più la particella è lontana dall’orbita di equilibrio

–  Problema:

•  Se convergente in una direzione, divergente nell’altra.

•  Vanno sempre a coppie:

convergente+divergente = convergente

–  Le particelle compiono oscillazioni attorno all’orbita di equilibrio:

•  Queste oscillazioni trasversali sono dette oscillazioni di betatrone.

B_x

y S

S

N N

x

y

B_y

x

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Oscillazioni di betatrone

•  Per fare un’analisi più quantitativa del processo, introduciamo nel piano

trasverso le coordinate curvilinee:

•  ℓ = lunghezza lungo la traiettoria di riferimento della particella sincrona, corrispondene al valore nominale di p e R nel campo dipolare B.

•  Per tale traiettoria:

•  Per una particella su una traiettoria passante per il punto

•  se sente solo il campo di dipolo B, dopo una distanza L avrà coordinate:

•  In forma matriciale:

•  Stesso procedimento possiamo fare per la y

13

ℓ

x x′=ℓ⋅dx/dℓ

x

!x = dx dℓ

x = 0 !x = 0

x(ℓ = 0) = x0 "x(ℓ = 0) = "x₀

x(ℓ = L) = x0 + L"x₀ "x(ℓ = L) = "x0

x(L)

!x(L)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ = 1 L 0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ x(0)

!x(0)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

y

y′=ℓ⋅dy/dℓ

ℓ

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Oscillazioni di betatrone

•  Una particella che passa ad un distanza x dal centro di un quadrupolo, sente un campo magnetico proporzionale a x:

•  e percorrendo il quadrupolo di lunghezza piccola^(*) d riceve un impulso trasverso:

•  che corrisponde ad una variazione:

•  Al passaggio attraverso il quadrupolo abbiamo:

S

N N

x

y

B_y

x

(*) piccola: sulla lunghezza d del quadrupolo possiamo trascurare l’effetto della divergenza !xd B_y = dB_y

dx x

Δp_x = F_xΔt = − qvB

(

_y

)

⁽^{d / v}⁾^{= −qB}^y^{d = −qx} ^dB_dx^y ^d

Δ!x = Δp_x

p = −xdB_y dx

d p

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

=

x_before

!x_before − x_beforeqdB_y dx

d p

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

=

1 0

−qdB_y dx

d p 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

B_x

y v~v_ℓ

(15)

Oscillazioni di betatrone

•  Ripetendo lo stesso discorso per la componente y:

•  che corrisponde ad una variazione:

•  Per un quadrupolo abbiamo

•  e possiamo definire una lunghezza focale:

15

S

N N

x

y

B_y

x

Δp_y = F_yΔt = qvB( _x)(^{d / v}) = qBxd = qydB_x dy d

Δ!y = Δp_y

p = yqdB_x dy

d p y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

after

=

y_before

!y_before + y_beforeqdB_x dy

d p

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

=

1 0

qdB_x dy

d p 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

before

B_x

y v~v_ℓ

dB_x

dy = dB_y dx

f = p

q dB

(

_y / dx

)

^d

(16)

Oscillazioni di betatrone

•  Se f>0 allora il quadrupolo risulta focalizzante in x e defocalizzante in y:

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

= 1 0

−1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

x 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟⎯^quadruplo⎯⎯⎯→ 1 0

−1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ x 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = x

−x / f

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

f

y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

after

= 1 0

1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

before

y 0

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟⎯^quadruplo⎯⎯⎯→ 1 0 1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ y 0

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ = y y / f

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

f

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Oscillazioni di betatrone

•  Combinando quadrupoli con diversa orientazione in una cella insieme a dei dipoli:

–  Focus+Drift+Defocus+Drift

•  Matrice di trasformazione:

•  Risolvendo l’equazione agli autovalori si ottiene che, per L<2f, gli autovalori sono:

•  Gli autovettori cambiano solo di una fase:

oscillazioni stabili

17

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

= 1 L

0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1 0 1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ 1 L 0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1 0

−1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

=

1 − L

f − L²

f² 2L + L² f

− L

f² 1 + L f

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

⎟⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

λ_± = − 1 − L² 2 f²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ± i L²

f² 1 − L² 4 f ²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ λ_± ² = 1

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Betatrone

•  Il Betatrone è un acceleratore per elettroni di moderata

energia.

•  La forza elettromotrice è

generata facendo variare il flusso nel campo magnetico tra i poli del magnete.

•  Effetto focalizzante del campo magnetico ai bordi.

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Stabilità di fase

19

•  Una particella circola con energia costante se, quando passa per la cavità a radio-frequenza RF, trova un campo elettrico che compensa l’energia persa in un giro.

•  Il periodo deve essere un multiplo del periodo dell’RF:

•  Una particella più energetica:

–  Raggio R maggiore –  Impiega più tempo –  Arriva più tardi

–  Sente un campo inferiore: perde energia

•  Una particella meno energetica:

–  Raggio R minore –  Impiega meno tempo –  Arriva più presto

–  Sente un campo maggiore: guadagna energia

•  L’orbita di equilibrio è stabile!

RF

T₀ = 2π R₀

c = 2π

0.3Bc p₀ = N 1 f

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Radiazione di sincrotrone

•  Particelle cariche in moto circolare uniforme subiscono un accelerazione centripeta:

•  La potenza emessa da una carica accelerata è data dalla formula di Lienard-Larmor:

•  Se la particolarizziamo al caso di moto circolare:

•  In particolare l’energia persa in un giro è:

•  Questa energia è compensata con quella fornita dalla RF

Esempio:

•  LEP (Large Electron-Positron collider) era un acceleratore per elettroni

nello stesso tunnel di LHC: R=4.2 km

•  Ha prodotto fasci fino ad un’energia di 100 GeV:

–  γ=2×10⁵

•  Energia persa per giro:

a = v² R

a

c = !β = β²^c R

P = e²

6πε₀cγ⁶ β^!"² − ! β ×β!"

( )

²

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

P = e²

6πε₀^cγ⁶_⎡⎣1 − β²_⎤⎦β^!"²

a⊥v

= e²

6πε₀^cγ⁴β^!"²

1/γ²

= e²

6πε₀cγ⁴ β⁴^c²

R² = e² 6πε₀

p m

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

4 c R²

ΔE = P2πR

c = e² 3ε₀^R

p m

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

4

ΔE = 4π

3 α^!c R γ⁴

= 4π 3

1 137

200 MeV ⋅10⁻¹⁵m

4.3 ×10³m (2 ×10⁵)⁴

= 22.8 ×10² MeV = 2.3GeV

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Radiazione di sincrotrone

•  La potenza richiesta alle cavità RF pone dei limiti alla costruzionie di acceleratori di elettroni di grande energia.

•  Piuttosto applicazione di acceleratori dedicati alla produzione di luce di sincrotrone:

–  sorgenti X intense e collimate

21

!ω = 4 5 3

!c R γ³

Linac Booster

Sale

sperimentali

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Bersaglio fisso e collisori

•  Gli acceleratori vengono utilizzati con due modalità di funzionamento

–  fascio estratto: esperimenti a bersaglio fisso –  collider: collisione di fasci

•  La modalità con fascio estratto è la più semplice da utilizzare

•  La differenza principale fra le due modalità è la massima energia disponibile per produrre nuove particelle

–  fondamentale nella scoperta di nuovi fenomeni

•  Vediamo qual è l’energia minima che deve avere un protone per produrre una particella di massa M_X

–  In una collisione di un protone fascio con un nucleone bersaglio si ha

–  dove N′ è un nucleone o insieme di nucleoni, necessario alla conservazione di numeri quantici (carica, numero barionico,…)

–  dalla cinematica

•  La soglia per la produzione corrisponde al valore di s per il quale nel centro di massa la particelle N′ e la particella X sono a riposo

p + N → ʹN + X

s = p

(

_p + p_N

)

² ^{= p}( Nʹ + p_X )²

(23)

Bersaglio fisso e collisori

23

•  Il valore di s corrispondente è

•  Per un esperimento a bersaglio fisso si ha

–  l’energia minima per la produzione della massa M_X è pertanto

•  Per un esperimento con fasci in collisione simmetrici, si ha

–  N=p e E_N=E_p:

–  l’energia minima per la produzione della massa M_X è pertanto

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Luminosità

•  In un collisore due fasci di particelle sono fatti circolare in direzione

opposta e fatti collidere in opportune regiore (punti di intersezione) dove sono installati i rivelatori

•  I fasci sono raggruppati in pacchetti (bunch):

–  n₁ e n₂ sono il numero di particelle nei bunch dei due fasci di area (sezione) S –  La frequenza delle collisioni dei due bunches è ^f

•  Se σ è la sezione d’urto di un dato processo, il numero di eventi di quel processo prodotti al secondo è

•  Si definisce Luminosità

•  Si misura in cm^-2s^-1

•  In un dato esperimento il numero di eventi prodotti è

dN

dt = n₁f n₂ S σ

L = n₂n₁f S

•  dN/dt = I n_Td σ

•  I = intensità del fascio dell’acceleratore

•  n_Td = densità superficiale del bersaglio

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ESERCIZI

25

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Esercizi 15.1 e 15.2

1.  Nell’anello di LEP/LHC, di circonferenza 26 km, circolavano fasci di elettroni e positroni di energia di 100 GeV.

Sapendo che la corrente per fascio era 6 mA, stimare la potenza dissipata dai fasci per radiazione di sincrotrone.

Assumendo che l’efficienza di trasferimento di energia ai fasci sia del 10%, qual era il consumo di energia richiesto dal funzio- namento di LEP?

2.  A LHC, di circonferenza 26 km, si fanno collisioni tra fasci a 13 TeV di energia nel centro di massa.

Se costruissimo un acceleratore per fare collisioni su bersaglio fisso a 13 TeV nel centro di massa, che energia dovrebbero avere i fasci?

Se per questo acceleratore usassimo gli stessi magneti di LHC,

che sono i migliori che sappiamo costruire, che raggio avrebbe?

(27)

Esercizi 15.3 e 15.4

3.  Esistono collisori e

⁺

e

^-

con energie del centro di massa sul picco di una risonanza a 10 GeV.

In alcuni casi si desidera che il sistema del centro di massa abbia non sia esattamente in quiete e si

tengono le energie dei due fasci asimmetriche.

Calcolare che relazione devono avere tra di loro le energie dei due fasci.

4.  Durante il funzionamento di un collisore, la

luminosità diminuisce nel tempo perché particelle

vengono rimosse dal fascio con un tasso proporzionale dalla sezione d’urto totale σ

_tot

.

Calcolare l’andamento della luminosità in funzione del tempo, assumendo che il numero di particelle sia identico per entrambi i fasci.

27

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