I decadimenti γ Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti γ

Lezione 8

Decadimenti γ

•  I decadimenti γ consistono nel passaggio di un nucleo da uno stato

eccitato ad uno stato di energia più bassa, accompagnato dall’emissione di un fotone.

–  Nel modello a shell: transizioni di un nucleone da un livello all’altro –  Moti collettivi in nuclei con grande A

•  Processo elettromagnetico

–  decadimenti α: interazioni forti –  decadimenti β: interazioni deboli

–  estensione del fenomeno classico: irraggiamento elettromagnetico dovuto a cariche in moto accelerato

–  probabilità di transizione dalla regola d’oro di Fermi

•  Ci permetterà di illustrare un concetto generale: regole di selezione

•  È possibile anche il processo inverso:

–  assorbimento di un fotone

–  cinematica del decadimento e assorbimento risonante –  effetto Mossbauer

Lezioni del dott. Turra

Ripasso

•  Supponiamo di aver risolto un problema di Schrödinger:

•  le autofunzioni:

–  spettro continuo spettro discreto:

–  in caso di simmetrie, classificabili anche con altri numeri quantici:

•  costituiscono un insieme ortonormale e completo

– 

–  qualunque funzione può venire espressa come combinazione lineare di autostati:

–  Il prodotto scalare con un autostato è il coefficiente di tale sviluppo:

i ! ∂ ψ

∂t = H ψ

k k = p / ! E

n, l, m, P, …

ψ (x) = ∫ d

k ^c

^{k + c}

^{n, l, m,…}

n,l,m

∑

k ψ (x) = c

, n, l, m,… ψ (x) = c

k ʹ k = δ (k − ʹ k ), k ʹ n , ʹ l , ʹ m = 0, n, l, m ʹ n , ʹ l , ʹ m = δ

δ

δ

Energia

Momento angolare e componente z Parità

Regola d’oro

•  Se aggiungiamo una perturbazione V, gli autostati di H evolvono nel tempo:

–  Il termine V mescola diverse autofunzioni di H

–  Da un trattamento rigoroso, la probabilità per unità di tempo che, dato uno stato iniziale |n,l,m〉, evolva in uno stato finale |n_f,l_f,m_f〉 è data dalla regola d’oro di Fermi:

i ! ∂ ψ

∂t = (H +V ) ψ ⁱ ! ∂

∂t n, l, m = E

n, l, m +V n, l, m

n, l, m V

c_n1,l1,m1 n₁, l₁, m₁ + c_n2,l2,m2 n₂, l₂, m₂ +

c_n3,l3,m3 n₃, l₃, m₃ + c_n4,l4,m4 n₄, l₄, m₄ +…

P

= 2 π

! n

, l

, m

V n, l, m

ρ ( ^E

)

Spettro discreto:

numero di stati finali accessibili Spettro continuo: dN_f/dE_f

densità di stati finali accessibili

Regole di selezione

•  Lo studio delle probabilità di transizione:

in generale permette di determinare delle proprietà dell’interazione V.

–  o viceversa, se si fa un’ipotesi sull’interazione V, si possono determinare le probabilità di transizione da confrontare con osservazioni sperimentali.

•  In particolare l’osservazione empirica dei possibili stati finali in cui uno stato iniziale può evolvere risulta in regole di selezione:

–  o viceversa, data un’interazione V, spesso alcune sue proprietà di simmetria, ci permettono di prevedere quali transizioni sono possibili e quali proibite.

P_{i→ f} = 2π

! n_f, l_f, m_f V n, l, m ²ρ E

(

)

osservazione di P_{i→ f} ⇔ n_f, l_f, m_f V n, l, m ≠ 0 non osservazione di P_{i→ f} ⇔ n_f, l_f, m_f V n, l, m = 0

Dipolo elettrico

•  Per esempio, supponiamo di avere un’interazione proporzionale al momento di dipolo elettrico di un nucleo:

–  operatore di dipolo:

d=qr

–  q=Ze carica del nucleo

•  Gli stati del nucleo sono classificabili in base al loro spin ed alla loro parità (oltre che alla loro energia)

•  Gli stati risultanti dall’applicazione dell’operatore d hanno parità opposta rispetto agli stati iniziali

–  regola di selezione: un’interazione mediata dal dipolo elettrico (es.: V=E⋅d), può solo causare transizioni con cambio di parità.

•  Interazioni proporzionali al dipolo magnetico µ invece mantengono invariata la parità:

E

, J, m

, η

P d E (

, J, m

, η

) ^{= −d ( ) η}

^E

^{, J, m}

^{, η}

^{= − η}

( ^{d E}

^{, J, m}

^{, η}

)

P µ E (

, J, m

, η

) ^{= +µ ( ) η}

^E

^{, J, m}

^{, η}

^{= η}

( ^{µ E}

^{, J, m}

^{, η}

)

Dipolo elettrico

•  Un’altra regola di selezione si ottiene considerando il momento angolare

:

–  verifichiamo le regole di commutazione:

–  viene naturale considerare le combinazioni lineari d⁺ e d^-:

= −i! x ∂

∂y − y ∂

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟qx

= xp (

− yp

) ^qx

L

d

= i!qy + qx −i! ( ) ^{x ∂} = i!d

+ d

L

∂y − y ∂

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= −i! x ∂

∂y − y ∂

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟qy

= xp (

− yp

) ^qy

L

d

= −i!qx + qy −i! ( ) ^{x ∂} = i!d

+ d

L

∂y − y ∂

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= −i! x ∂

∂y − y ∂

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟qz

= xp (

− yp

) ^qz

L

d

= qz −i! ( ) ^{x ∂} = d

L

∂y − y ∂

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

d

= d

± id

2 L

d

= L

( d

+ id

) ⁼

( i!d

+ d

L

) ⁺

i −i!d (

+ d

L

) ^{= !d}

^{+ d}

^L

L

d

= L

( d

− id

) ⁼

( i!d

+ d

L

) ⁺

( ) −i ( ^−i!d

^{+ d}

^L

) ^{= −!d}

^{+ d}

^L

Dipolo elettrico

•  L’applicazione di d ad autostati di L

, ne cambia l’autovalore:

•  Nel caso di V=E ⋅ d

–  V=E_xd_x+E_yd_y+E_zd_z: definendo E_±=(E_x±iE_y)/√2 –  V=E_-d₊+E_zd_z+E₊d_-

–  regola di selezione: Δm=m_f-m=0,±1

•  Estendendo il discorso a L

, si può dimostrare che V|E

,J,m

,η

〉 ha momento angolare compreso tra J+1 e |J-1|

•  d si comporta come un oggetto di momento angolare l=1

L_z

(

)

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

L_z

(

)

(

)

L_z

(

)

(

)

n_f, l_f, m_f V n, l, m ² = n_f, l_f, m_f E₋d₊+ E_zd_z + E₊d₋ n, l, m ²

= n_f, l_f, m_f E₋d₊ n, l, m + n_f, l_f, m_f E_zd_z n, l, m + n_f, l_f, m_f E₊d₋ n, l, m ²

m_J→m_J+1 m_J→m_J

m_J→m_J-1

m_f=m+1 m_f=m m_f=m-1

Radiazione di dipolo elettrico

•  Il motivo per cui abbiamo scelto d per gli esempi è che il più semplice fenomeno di emissione classico è quello di un dipolo oscillante:

•  La potenza irraggiata è

•  Per trasferirlo alla meccanica quantistica si può procedere intuitivamente:

–  l’energia è quantizzata: ad una frequenza ω corrispondono fotoni con E=ħω –  Per stimare una probabilità di transizione da uno stato i ad uno stato f:

•  sostituiamo d con 〈f|d|i〉

•  Il numero di quanti emesso per unità di tempo sarà λ=P/ħω

–  Non è rigoroso, ma permette di avere un’idea degli ordini di grandezza

de^{-iωt E =}

1 4πε₀

ω²

c² ⎡⎣

(

)

B = 1 4πε₀

ω²

c³

(

)

i ωr/c−ωt( )

r

S = ℜ(E) × 1

µ₀ ^ℜ(B)

ε0µ0= 1 / c²

P = dE

dt = 1 12πε₀

ω⁴ c³ d²

= 1

16π²ε₀²µ₀ ω⁴

c⁵

(

)

2

(

)

r²

Radiazione di dipolo elettrico

•  Esplicitamente:

–  irraggiamento classico:

–  in termini di energia dei fotoni:

–  elemento di matrice:

–  costante di decadimento:

•  Ordini di grandezza:

– 

–  r₀=1.6 fm

dE

dt = 1 12πε₀

ω⁴ c³ d²

dE

dt = 1 12πε₀

1

!

!ω

( )

( )

2 = 1

12πε₀ 1

! E_γ⁴

( )

2

dE

dt = 1 12πε₀

1

! E⁴

( )

2 f d₊ i ²

f d_z i ² f d₋ i ²

⎧

⎨

⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

solo una delle componenti ⎪

conta, a seconda del Δm

λ = 1 E_γ

dE

dt = 1 12πε₀

1

! E_γ³

( )

2

f d i ≈ e

( ) (

)

12πε₀ 1

! E_γ³

( )

2A^2/3r₀² =1 3

e²

4πε₀!cc E_γ³

( )

2/3r₀² =1 3α ^c

r₀

E_γ³r₀³

( )

2/3

=1 3α ^c

r₀

E_γ³r₀³

( )

2/3 ≈ 1

3α

(

)

3

A^2/3 Carica Raggio

≈ 2.5 ×10¹⁴s⁻¹ E_γ 1 MeV

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3

A^2/3

Radiazione di dipolo magnetico

•  L’elemento di matrice di dipolo elettrico ha delle regole di

selezione ben precise:

–  cambio di parità

–  ΔJ=0,±1 (ma non 0→0)

•  Se queste non sono soddisfatte la radiazione può avvenir tramite altri operatori.

•  Dipolo magnetico

•  Classicamente una spira percorsa da corrente alternata irraggia

•  Ripetendo lo stesso ragionamento del dipolo elettrico:

•  Ordini di grandezza

–  Confrontando con l’espressione del dipolo elettrico, la costante di decadimento per una transizione indotta da un dipolo

magnetico è minore di un fattore

•  Regole di selezione:

–  stessa parità

–  ΔJ=0,±1 (ma non 0→0) dE

dt = 1 12πε₀

ω⁴ c⁵ µ²

λ = 1 12πε₀

1

! E_γ³

( )

c² f µ i ² µ / c

d

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= µ_N ceA^1/3r₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= e!

2m_NceA^1/3r₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= 1 A^2/3

!c 2m_Nc²r₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= 4 ×10⁻³ A^2/3