Conclusioni Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Conclusioni

Programma

NUCLEI E LORO PRORIETÀ

1.  La sezione d’urto. Spazio delle fasi.

Regola d’oro di Fermi.

2.  Generalità sui nuclei. Curva di stabilità.

3.  Formula semiempirica di Weizsacker.

4.  Leggi del decadimento radioattivo.

Decadimento alfa.

5.  Decadimento beta. Cattura elettronica.

6.  Emissione gamma.

7.  Interazioni elettromagnetiche, i fattori di forma nucleari.

8.  Il modello a gas di Fermi.

9.  Il deutone e l’interazione nucleone- nucleone.

10.  Il modello a shell.

11.  La fissione nucleare.

PARTICELLE E INTERAZIONI

1.  Simmetrie (parità, coniugazione di carica e inversione temporale) e i principi di conservazione.

2.  Nucleoni, barioni, mesoni e loro composizione in quarks.

3.  Generalità sulle famiglie di particelle – processi di produzione e interazione.

4.  La violazione della simmetria di CP nel decadimento dei kaoni.

5.  Diffusione profondamente anelastica ed evidenza dei quarks.

6.  Decadimenti degli adroni e vite medie.

Risonanze.

7.  Forza debole: i bosoni mediatori della forza e gli effetti sui quarks.

Libri di testo

•  A. Das and T. Ferbel.

Introduction to nuclear and particle physics - 2. ed.

World Scientific, 2003

•  Bogdan Povh

Particelle e nuclei: un'introduzione ai concetti fisici Bollati Boringhieri, 1998.

•  Kenneth S. Krane

Introductory Nuclear Physics John Wiley and Sons, 1988

•  Donald H. Perkins.

Introduction to high energy physics - 4. ed.

Cambridge University Press, 2000.

Decadimenti α, β, γ Interazione pn

Teoria dello scattering e risonanze Con estensioni negli appunti

Di che cosa ci occuperemo

Scale di energia

•  (fisica atomica 1 eV)

•  processi nucleari 1-10 MeV

•  interazioni ad alta energia fino a 1 TeV

Scale di lunghezza

•  (fisica atomica 10^-10 m)

•  strutture nucleari 10^-15 m

•  range interazioni deboli 10^-18 m

Intensità delle interazioni

•  forti α_s~1/ln(Q²/Λ²)

(O(1) per scambi di energia Q~Λ~200 MeV)

•  elettromagnetiche α=1/137

•  deboli G_FQ², G_F=1.16 10^-5 GeV^-2

Spettroscopia

•  classificazione degli stati e livelli energetici

•  interazioni e simmetrie

•  larghezze di decadimento

Scattering

•  fasci di momento p permettono di risolvere strutture di

dimensione della lunghezza d’onda di De Broglie λ~ħ/p

•  sezioni d’urto

ASPETTI METODOLOGICI E

SPERIMENTALI

Legge dei decadimenti radioattivi

•  Il tasso di decadimenti in un campione è una proprietà estensiva (proporzionale alla massa):

–  dove N=numero di atomi nel campione –  λ=costante di decadimento:

Probabilità di decadimento per unità di tempo.

•  L’andamento del numero di nuclei in campione è esponenziale:

–  La vita media di un atomo è data da:

–  Il tempo di dimezzamento:

–  Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti per unità di tempo:

•  unità di misura è il Bequerel: 1 Bq =1 decadimento/s

•  storicamente usato il Curie: 1 Ci = 3.7×10¹⁰ Bq

originariamente definito come attività di 1 g di ²²⁶Ra

−dN

dt = λN

N(t) = N

e

τ = 1 / λ τ_1/2 =τ ln 2

Γ=ħλ è un’energia detta larghezza di decadimento

ad uno stato instabile si può associare

un’incertezza sull’energia:

ΔEΔt=ħ ΔE=ħ/τ=Γ

Sezione d’urto

•  Consideriamo:

–  un bersaglio di spessore dz e densità n_T (bersagli per unità di volume)

–  un fascio di particelle di area S

–  l’intensità del fascio è il numero di particelle incidenti per unità di tempo I_o (particelle/s) –  Il numero N_T di particelle del bersaglio

colpite dal fascio è

•  Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a:

–  numero di particelle incidenti al secondo I_o –  numero di particelle del bersaglio N_T

•  La costante di proporzionalità è definita dal rapporto fra una superficie σ , detta sezione d’urto, e l’area del fascio S

N_T = n_TV

S dz Io

= n_TSdz

dn

dt = I_on_TSdzσ S

dn

dt = I

n

dzσ

n_T = ρ AN_A

dn

dt ∝ I_oN_T dn

dt = I_oN_T σ S

Sezione d’urto

•  Quest’ultimo risultato ha una valenza molto più generale:

–  In esperimenti di scattering abbiano accesso solo a stati asintotici:

•  parametri (intensità, quantità di moto...) del fascio incidente

•  parametri (angolo di deflessione, quantità di moto...) delle particelle diffuse

•  entrambi misurati a “grandi” distanze dalla regione di interazione.

–  Il processo di diffusione viene descritto dal fattore dσ/dΩ, che ha le dimensioni di una superficie.

•  è una quantità misurabile

•  può essere calcolato a partire da modelli microscopici

•  ...anche quando l’interpretazione classica che abbiamo usato perde di significato.

Assorbimento e lunghezza di interazione

•  Il tasso di particelle diffuse si traduce in una diminuzione dell’intensità I del fascio:

•  Se la diminuzione del numero di particelle nel fascio non è trascurabile, l’intensità varia con la profondità secondo la legge:

•  dove µ=n

σ prende il nome di coefficiente di assorbimento.

•  Analogamente si può introdurre la lunghezza d’interazione (detta anche libero cammino medio)

⇒ dI

I z( ) ^{= −nTσdz}

I z

( )

λ = 1 µ ⁼

1

n_Tσ ^{I z}( ) ^{= I}0e⁻

z λ

dn

dt = −dI = In

dzσ

0 dz L

fascio

z

Interazione della radiazione con la materia

•  Il processo principale è l’interazione di particelle cariche con gli elettroni del materiale attraversato:

–  perdita di energia di particelle “veloci”

•  ionizzazione specifica range e picco di Bragg

–  per particelle ultra-relativistiche (γ>10⁴) entra in gioco la perdita di energia per radiazione

•  dovuta all’accelerazione che la particelle sente nel materiale

•  quantità caratteristica: lunghezza di interazione X₀

•  Per particelle neutre si sfrutta il trasferimento di energia a particelle cariche:

–  abbiamo già parlato ampiamente di diffusione elastica per n

–  interazione di fotoni con la materia:

•  effetto fotoelettrico, effetto Compton, produzione di coppie

•  Ad alte energie possono prodursi fenomeni di grande estensione:

–  conversione energia cinetica →massa –  produzione di sciami di particelle

sistema tracciante

calorimetro elettromagnetico

Acceleratori

•  Gli acceleratoti sono, insieme ai rivelatori, una delle componenti essenziali per la sperimentazione in fisica nucleare e subnucleare.

–  Per esplorare dimensioni x, è necessario avere sonde con lunghezza d’onda λ=ħ/p<x –  L’acceleratore attuale più potente, Large Hadron Collider, p~1 TeV/c, x~10^-4 fm

•  I grandi acceleratori sono delle infrastrutture collocate in laboratori che fungono da centri ricerca aperti a più esperimenti.

•  La fisica degli acceleratori è una settore di ricerca ormai completamente autonomo e con applicazioni ben al di là della fisica subatomica.

•  Toccheremo solo alcuni aspetti:

–  L’accelerazione ad alta energia richiede campi elettromagnetici variabili:

ciclotrone e sincrotrone

–  Perché si possa produrre un fascio di particelle è necessario che il meccanismo di accelerazione sia “stabile”:

stabilità di fase e oscillazioni di betatrone

–  Negli esperimenti particelle di un fascio possono venire fatte interagire con un bersaglio o con un altro fascio:

esperimenti a bersaglio fisso o collisori.

–  Concetto di luminosità

Gli esperimenti

sistema tracciante

calorimetro elettromagnetico calorimetro

adronico

RELATIVITÀ

Energia di legame per nucleone

Licensed under Public Domain via Commons.

•  Osservazione:

–  l’energia media di legame è approssimativamente costante:

B/A ~ 8 MeV

–  l’interazione nucleare deve essere

a corto range.

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  Le soluzioni con energia positiva hanno densità:

•  Le soluzioni con energia negativa hanno densità:

•  Nella densità compare anche un termine proporzionale a γ

•  La corrente:

•  Le soluzioni con energia positiva:

•  Le soluzioni con energia negativa:

φ = Ne^{−iEt+ip⋅x}

ρ = i φ^* ∂

∂tφ − φ ∂

∂tφ^*

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = i φ

(

)

(

)

ρ = 2 N ²E

ρ = 2 N ² E_p > 0 ρ = −2 N ² E_p < 0

J = −i φ

(

)

(

)

(

)

J = 2p N ²

J = 2pρ / 2E_p = βρ

J = −2pρ / 2E_p = −βρ β = p / E_p

Sezione d’urto

•  La probabilità di transizione per unità di tempo è quindi:

•  confrontandola con la definizione di sezione d’urto:

•  Troviamo la sezione d’urto differenziale:

P = 2π

! η² V²

(!c)⁶

m²c⁴ + q²c²

( )

VM 2ME (2π!)³ dΩ

P = !c 2π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1 V

2E M

η²M² m²c² + q²

( )

dn

dt = I

n

dσ

v della particella incidente

Il nostro stato ha una sola particella:

dn/dt = P

Una particella, che percorre lo spessore d con velocità v_α: produce un’intensità:

I₀=v/d

Un bersaglio nel volume V:

la densità è: n_T=1/V

dσ = !c 2π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 η²M² m²c² + q²

( )

MECCANICA QUANTISTICA

AL LAVORO

Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio

•  La particella in questione non può venire prodotta realmente:

–  violerebbe conservazione di energia e momento

•  Tuttavia è permessa dal principio di indeterminazione:

–  ΔEΔt>ħ ci dice che per processi di durata Δt non possiamo verificare la conservazione dell’energia a meno di ΔE>ħ/Δt

–  Per scambiare interazioni nucleari il mediatore ha bisogno di coprire almeno una distanza r₀ corrispondente a Δt~r₀/c

–  Quindi è possibile avere masse:

m_Xc²<ħ/Δt=ħc/r₀~200 MeV

•  Una forma usata del potenziale di interazione:

V (r) = g_π²

(

)

3 m

(

)

3R

r + 3R² r²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥e^−r/R r / R

S_1,2 = 3(s₁⋅ r)(^s2⋅ r)

r² − s( 1⋅ s2) R = ! m_Xc

Costante di accoppiamento

Breve range delle forze

Interazione spin-orbita

•  Un nucleone in uno stato con momento orbitale L, genera un momento magnetico:

–  analogamente si può vedere, nel sistema di quiete del nucleone, come il momento generato dal resto del nucleo che orbita attorno al nucleone.

•  Questo interagirà con lo spin del nucleone a dare un termine

energetico:

•  Ogni livello si divide in due

sottolivelle con momento angolare totale:

µL = µ_N ^L

!

U ∝ −L ⋅ s

!²

J = l + s J = l − s

Regole di selezione

•  Se aggiungiamo una perturbazione V, gli autostati di H evolvono nel tempo:

–  Il termine V mescola diverse autofunzioni di H

–  La probabilità che, dato uno stato iniziale |n,l,m〉, si osservi in uno stato finale |n_f,l_f,m_f〉 è data dalla regola d’oro di Fermi:

–  Se sappiamo che V|n,l,m〉 può contenere solo determinati valori dei numeri quantici, abbiamo una regola di selezione che ci dice quali sono le transizioni possibili.

i! ∂ ψ

∂t = (H +V ) ψ i! ∂

∂t n, l, m = E

n, l, m +V n, l, m

n, l, m V

c_n

1,l₁,m₁ n₁, l₁, m₁ + c_n2,l2,m2 n₂, l₂, m₂ +

c_n

3,l₃,m₃ n₃, l₃, m₃ + c_n4,l4,m4 n₄, l₄, m₄ +…

P = 2π

! n

, l

, m

V n, l, m

ρ E (

)

Simmetria di gauge

•  Abbiamo visto diversi tipi di simmetrie:

–  Simmetrie per traslazione (anche temporale), rotazione –  Simmetrie discrete C, P, T

–  Simmetrie nello spazio interno delle variabili (Isospin, SU(3))

•  Simmetrie di gauge

–  Compaiono in maniera naturale nell’elettromagnetismo classico

–  Acquistano un significato più profondo in meccanica quantistica relativistica:

•  Estensione delle simmetrie nello spazio interno delle particelle

•  Introducono in maniera univoca interazioni collegate con queste simmetrie interne

•  Modello Standard

–  3 gruppi di simmetria: U(1)_Y, SU(2)_L, SU(3)_C

–  Con rottura spontanea della simmetria di gauge U(1)_Y, SU(2)_L

•  interazioni elettrodeboli → elettromagnetiche + deboli

Classificazione particelle

Modello di Gamow

•  La probabilità di superare la barriera di potenziale è data da:

–  dove il fattore G è definito da un’integrale sulla zone classicamente proibita

•  Per fissare le idee, consideriamo il decadimento α del ²³²Th (Z=90)

a = roA^1/3 = 1.2A^1/3 fm = 7.4 fm Q = 4.05 MeV

P = e^−2G

G = 2m

!² (V r( )^{− Q})

a

∫

V r( )⁼ (^{Z − 2})^2e2

4πε_o^r

V a( )⁼ (^{Z − 2})^2e2

4πε_oa = 34.2 MeV

b = (Z − 2)^2e2

4πεoQ = 62.5 fm

Evoluzione temporale

•  La struttura dell’evoluzione temporale si può verificare sfruttando decadimenti deboli accessibili ad una particella, ma non alla sua antiparticella.

•  Il primo esempio studiato sperimentalmente è il canale K_e3. Come è facile rendersi conto scrivendo i decadimenti usando i quark componenti:

•  È quindi possibile misurare la frazione di K⁰ che hanno oscillato ad un tempo t tramite l’asimmetria:

e K e e

e

K⁰ →π⁻ + ⁺ +ν ⁰ →π⁺ + ⁻ +ν

N_K0

→π⁻e⁺ν − N

K⁰→π⁺e⁻ν

NK⁰→π⁻e⁺ν + N

K⁰→π⁺e⁻ν

=

K⁰ K⁰

( )

( )

2

K⁰ K⁰

( )

( )

2 = 2e⁻

Γ_s+Γ_L 2 t

cosΔmt e^−Γst + e^−ΓLt

K⁰ K⁰(t) ² = 1 4 e⁻ⁱ

Δm 2 t−ΓS

2t

+ eⁱ

Δm 2 t−ΓL

2t 2

= 1 4 e⁻ⁱ

Δm 2 t−Γ_S

2t

− eⁱ

Δm 2 t−Γ_L

2t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ eⁱ

Δm 2 t−Γ_S

2t

− e⁻ⁱ

Δm 2 t−Γ_L

2t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= 1

4 e^−ΓSt − e^−iΔmt−

ΓL+ΓS

2 t

− e^iΔmt−

ΓL+ΓS

2 t

+ e^−ΓLt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟=

1

4 e^−ΓSt − e⁻

ΓL+ΓS

2 t

e^−iΔmt + e^iΔmt

( )

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

K⁰ K⁰(t) ² = 1

4 e^−ΓSt − 2e⁻

ΓL+ΓS

2 t

cosΔmt + e^−ΓLt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟