Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2006/2007
Matematica 1
Appello del 20 aprile 2007
Nome:.................................
N. matr.:................................. Ancona,20 aprile 2007
Domande elementari.
1. Risolvereladisequazione
jxj lnx<0:
2. Risolverel'equazione
4cos 4
x+3cos 2
x 1=0:
Domande teoriche.
1. Dimostrare con meto digeometricielementariche
lim
x!0 sinx
x
=1 lim
x! =2
cosx
x =2
=1:
Utilizzandoquesti risultati,dimostrare quindiche
lim
x!0 tanx
x
=1; lim
x! =2
cotx
x =2
=1
2. Sianofa
n
gunasuccessione limitataefb
n
gunasuccessionein nitesima. Dimostrare
cheilloropro dottoeunasuccessioneconvergenteechelim
n!1 a
n b
n
=0. Utilizzare
quindiquesto risultato p er calcolareillimite
lim
n!1 (sin
2
n)
sin 1
:
1. Il logaritmo non e de nito p er x < 0, quindi il valore assoluto e sup er uo. Le
soluzionisono semplicementelnx<0, ovvero 0<x<1.
2. Poniamoy=cos 2
x. Deveessere 0y 1. L'equazione diventa
4y 2
+3y 1=0
le cuisoluzionisono y
1
= 1(chescartiamo) edy
2
=1=4. Ritornandoad x,
cos 2
x= 1
4
cosx= 1
2
x=
3
; 2
3
; 4
3
; 5
3
Soluzioni - Domande teoriche.
1.
lim
x!0 tanx
x
= lim
x!0
sinx
x cosx
= lim
x!0 sinx
x 1
cosx
=1
lim
x! =2
cotx
x =2
= lim
x! =2
cosx
(x =2) sinx
= lim
x! =2
cosx
x =2 1
sinx
=1
2. Siccomefa
n
gelimitata,esiste M >0tale cheja
n
j<M p erognin; inoltre,siccome
fb
n
ge in nitesima,p erogni ">0 siha de nitivamentejb
n
j<". Abbiamop ertanto
de nitivamenteja
n b
n
j<M". Perl'arbitrarietadi",seguechelasuccessionefa
n b
n g
e in nitesima. La successione fsin 2
ng e limitata, in quanto sin 2
n 1 p er ogni n,
mentrefsin(1=n)g e in nitesima. Dunque la successione pro dotto e in nitesimaed
1. Calcolare il limite
lim
x!0 sin
2
x+x
sin 2
x x
2. Calcolare il seguente integrale
Z
2
1
(2x 1) p
jx 2
xjdx
3. Studiare lafunzione
f(x)= (
p
x+1)( p
x 2)
p
x 3 :
4. Determinarele radici complessedell'equazionedi secondo grado
x 2
x+1=0:
Calcolarequindiparterealeeparteimmaginariadelloropro dottoedellororapp orto
1.
lim
x!0 sin
2
x+x
sin 2
x x
= lim
x!0 (sin
2
x+x)=x
(sin 2
x x)=x
=lim
x!0
sinx+1
sinx 1
= 1
2. L'argomento dellaradice si annulla p erx=0 edx=1. Dunque:
Z
2
1
(2x 1) p
jx 2
xjdx=
Z
0
1
(2x 1) p
jx 2
xjdx+ Z
1
0
(2x 1) p
jx 2
xjdx+ Z
2
1
(2x 1) p
jx 2
xjdx
= Z
0
1
(2x 1) p
x 2
xdx+ Z
1
0
(2x 1) p
x x
2
dx+ Z
2
1
(2x 1) p
x 2
xdx
Calcoliamo laprimitivaintegrando p er parti:
Z
(2x 1) p
x 2
xdx= 2
3 x
2
x
3=2
Sostituendo neitre contributi all'integrale:
Z
2
1
(2x 1) p
jx 2
xjdx= 2 p
2+0+2 p
2=0
3. Dominio: x0 edx6=9.
Limiti:
lim
x!0
f(x)= 2
3
lim
x!9
f(x)= 1
lim
x!9 +
f(x)=+1
lim
x!+1
f(x)=+1
lim
x!+1 f(x)
x
=0
Dunque c'e solo un asintoto verticalein x =9 e non ci sono asintoti orizzontali o d
obliqui.
Zeri: ( p
x+1)( p
x 2)=0,cioe x=4.
Derivata:
f 0
(x)=
x 6 p
x+5
2 p
x( p
x 3) 2
Punti stazionari:
x 6 p
x+5=0;
p
x!y
y 2
6y+5=0
y
1
=1; y
2
=5
x
1
=1; x
2
=25:
Considerando il segno della derivata prima,si vedechex
1
eun punto dimassimo e
x
2
un punto diminimo,con f(x
1
)=1ed f(x
2 )=9.
x y
0 1 4 9 25
4.
z
1;2
= 1
p
1 4
2
= 1i
p
3
2
z
1 z
2
=1
z
1
z
2
=
1+i p
3
2
1
=
2
=1
1
=
;
2
=
