Geometria 1A – Algebra Lineare 17 Luglio 2008
1. Siano M (n × n, R) lo spazio vettoriale delle matrici n × n reali, V =A ∈ M (n × n, R) tali che A + At= 0 e
W =A ∈ M (n × n, R) tali che A − At= 0 (a) Dimostrare che V e W sono sottospazi vettoriali di M (n × n, R).
(b) Sia f : M (n × n, R) → M (n × n, R) l’applicazione definita da:
f (A) = A − At Mostrare che `e lineare.
(c) Dimostrare che ker f = W e Im f = V.
(d) Verificare il teorema delle dimensioni.
2. Fissata in R3 la base (e1, e2, e3) e l’applicazione lineare data da:
f (e1) = 9e1+ e3 f (e2) = 9e2 f (e3) = 9e1+ 9e3 (a) Trovare f−1(e1).
(b) Mostrare che l’applicazione `e diagonalizzabile e darne una forma diagonale.
3. Sia A la matrice:
A =
1
2 0 12√ 3
0 1 0
1 2
√3 0 −12
(a) Mostrare che A `e una matrice ortogonale.
(b) Mostrare che (A + A−1)2 = 4I
Cenno alle soluzioni di alcuni esercizi
1. La verifica che sono sottospazi `e immediata, contenendo la matrice nulla e essendo chiusi rispetto alla somma e alla moltiplicazione per un numero reale. Il nucleo di f `e l’insieme delle matrici tali che f (A) = A − At = 0 ne consegue subito che A = At quindi che ker f ⊆ W, viceversa, se A − At = 0, A ∈ ker f. L’immagine `e l’insieme delle matrici B tali che B = f (A) = A − At ne segue subito che B + Bt = 0, cio`e B ∈ V e quindi Im f ⊆ V, viceversa, se B ∈ V , allora B = −Bt e quindi B sta anche nell’immagine, perch`e si verifica subito che B = f (12B). Si ha:
dim M (n × n, R) = n2 dim V = n(n − 1)
2 dim W = n(n + 1)
2 e quindi: n2 = dim W + dim V = dim ker f + dim Im f.
2.
9 0 9 0 9 0 1 0 9
, con autovettori e autovalori:
−3 0 1
↔ 6,
0 1 0
↔ 9,
3 0 1
↔ 12.
Per trovare f−1(e1) basta osservare che:
9f (e1) = 81e1+ 9e3 f (e3) = 9e1+ 9e3 Da cui:
1
8f (e1) − 1
72f (e3) = e1 e quindi: f−1(e1) = 18e1−721e3.
