Fisica Generale LA Prof. Nicola Semprini Cesari
Prova Scritta del 11 Febbraio 2015
Meccanica
Q1) Un corpo di massa m è appeso ad un filo fissato allo specchio retrovisore esterno di un’automobile. Calcolare l’angolo che il filo forma con la perpendicolare al suolo nel caso in cui l’automobile percorra una curva di raggio r=40m con velocità di modulo costante v=20 m/s.
Q4) Enunciare e dimostrare il teorema di Huygens-Steiner.
Q5) Scrivere e commentare l’espressione delle forze inerziali.
Q6) Scrivere e risolvere l’equazione del moto del pendolo.
Termodinamica
F T
12T
23M
1M
2M
3Q2)
Le tre masse indicate in figura sono appoggiate su di un piano orizzontale privo di attrito. Alla prima di esse viene applicata una forza F di modulo e direzione costanti. Esprimere le tensioni T12 e T23 in funzione delle masse e di F.Q1)
Calcolare la variazione di entropia di un gas perfetto che subisce una trasformazione isoterma reversibile in funzione del volume e poi della pressione.Q2)
Commentare le scale di temperatura Celsius, Kelvin e assoluta.Problema)
Due blocchi materiali di massa m1 e m2 e capacità termica c1 e c2 rispettivamente, si trovano isolati alla temperatura iniziale T1 e T2. Successivamente vengono posti in contatto termico fino al raggiungimento dell’equilibrio. Calcolare la temperatura di equilibrio servendosi del primo e secondo principio della termodinamica i) nel caso in cui le masse e le capacità termiche sono identiche; ii) nel caso in cui le masse e le capacità termiche sono diverse.
Q3)
Un punto materiale di massa m, in moto lungo l’asse x di un riferimento Oxy, è soggetto all’azione di una forzaf x
2. Fornire l’espressione della velocità in funzione del tempo nella ipotesi chev
0 sia il suo valore al tempo t=0.Soluzioni Meccanica
Q1)
Nel riferimento solidale a terra l’equazione del moto della massa m è la seguente
T P ma
Assumendo un sistema di versori cilindrico con l’origine al centro della curva otteniamo le espressioni
2
sin ˆ
r cos ˆ ˆ v ˆ
rT ı T k mgk m ı
R
2
sin cos T mv
R
T mg
da cui otteniamo l’angolo del filo rispetto alla verticale
2
v
tg gR
2
( v ) arctg
gR
20
29 81 40 45 6
( ) .
arctg . Q2)
1 2 3 12 2 3 23 3
1 2 3
2 3
12 2 3
1 2 3
3
23 3
1 2 3
1
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
f m a
F M M M a T M M a T M a
a F
M M M
M M
T M M a F
M M M
T M a M F
M M M
Q3)
0 0
2 2 2
( )
( )
2 2
0 0
0
0
1 1 1
[ ] ( )
( )
1 1 1
( ) 1 ( )
x
t v t
v t v v
f ma f mx x mx x v v mv v mdv
dt
dv dv
dt m dt m t m t m
v v v v v t
t v t
v t v m t
v m
0 0
( ) mv
v t m v t
Soluzioni Termodinamica
Q1)
dQ dU dL pdV dV
dS nR
T T T V
2 2
1 1
2 1
ln( )
S V
S V
V dS nR dV nR
V V
da cui 2 1 2
1
ln( V )
S S nR V
2 1
1 1 2 2
1 2
V P
PV nRT PV P V
V P
da cui 2 1 1
2
ln( P )
S S nR P
Problema)
Svolgiamo solo i calcoli nel caso generale.
Richiamiamo il primo e secondo principio della termodinamica
0 0
dQ dS
Dato che il sistema termodinamico si compone di due blocchi e tenendo conto della espressione del calore scambiato in funzione della capacità termica per unità di massa, abbiamo
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
0 0
dQ dQ dQ m c dT m c dT
dQ dQ dT dT
dS m c m c
T T T T
integrando otteniamo
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 2
0
0
' '
' '
T T
T T
T T
T T
m c dT m c dT
dT dT
m c m c
T T
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
0 0
( ' ) ( ' )
' '
ln( ) ln( )
m c T T m c T T
T T
m c m c
T T
Dalla prima di queste otteniamo
1 1
2 2 1 1
2 2
' m c ( ' )
T T T T
m c
da cui, sostituendo nella seconda
1 1 1 1
1
1 1 2 2
1 2 2 2
1 0
( ' )
ln( T ' ) ln( m c T T )
m c m c
T m c T
Dato che la trasformazione è irreversibile avremo la massima variazione di entropia del sistema che si ottiene annullando la derivata prima della espressione stessa
1 1
1 1 2 2
1 1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
1 1 1
0 1
( )
( ' ) '
m c m c m c
m c T T
T m c T
m c T Con qualche passaggio
2 2
2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1
1 2 2 2 1 1 1 1
1 0 0 0
( ' ) ' ' '
' ( ' )
m c m c T m c T T m c T m c T m c T m c T m c T T m c T m c T T
otteniamo infine la temperatura di equilibrio 1 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
