Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari

Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari

Calcolo di autovettori e autovalori

Anna M. Bigatti 12 marzo 2013

Esercizio 1. Calcolare autovalori e autovettori degli omomorfismi R²−→R² associati alle matrici A =

 1 3 3 1

 , B =

 1 −1

3 2

 e C =

 1 1 0 1



Soluzione

(a) det(λI − A) = (λ − 1)²− 9 = λ²− 2λ − 8 = (λ − 4)(λ + 2) Risolvo (4I − A)x = 0 e (−2I − A)x = 0 (...)

(b) det(λI − B) = λ²− 3λ + 5 . Il discriminante `e negativo, quindi non ci sono autovalori (reali) per B .

(c) det(λI − C) = λ² − 2λ + 1 . Quindi λ1 = 1 `e autovalore di molteplicit`a 2 per C . (I − C)x = 0 .

u t

Esercizio 2. Calcolare autovalori e autovettori di A =





1 1 0

3 −2 3 4 −1 3





Soluzione

R ::= QQ[x,y,z, L, r,s,t];

Use R;

A := Mat(R, [[1, 1, 0], [3, -2, 3], [4, -1, 3]]);

D := Det(L * IdentityMat(R,3) - A); D; --> -L^3 + 2L^2 + 5L Factor(D); -- trova solo i FATTORI RAZIONALI

--> [Exponents := [1, 1], Factors := [L, L^2 -2*L -5], RemainingFactor := -1]

Quindi λ1= 0 , mentre λ2 e λ3 sono le radici del polinomio λ²− 2λ − 5 , cio`e 1 +√

6 e 1 −√ 6 .

u t In particolare osserviamo che, se la dimensione della matrice `e dispari, il polinomio caratteri- stico ha almeno una radice e quindi esiste almeno un autovalore (e un autovettore!).

1

1 Similitudini

G

R^{n id}−→R^{Fn ϕ}−→R^{Fn id}−→R^Gn

Date una trasformazione lineare ϕ : Rⁿ−→Rⁿ e due basi F e G di Rⁿ sappiamo che:

M_ϕ(G)^G = M_{id(F )}^G · M_{ϕ(F )}^F · M_id(G)^F = M_F^G· M_{ϕ(F )}^F · M_G^F

allora le due matrici B := M_ϕ(G)^G e A := M_{ϕ(F )}^F sono legate da una relazione di similitudine ( P matrice invertibile)

B = P⁻¹· A · P Esercizio 3. Dire se la matrice A =

 1 3

−2 6



`

e diagonalizzabile (esiste base di autovalori) e mostrare la relazione di similitudine.

Soluzione

Calcolo gli autovalori:

det(A − x · I) = det(

 1 − x 3

−2 6 − x



) = (1 − x) · (6 − x) + 6 = x²− 7x + 12 .

Quindi ci sono due autovalori, 3 e 4 , di molteplicit`a 1 , quindi i loro autospazi hanno dimensione esattamente 1 .

Calcolo l’autospazio di 3 :

 1 − 3 3

−2 6 − 3



·

 x y



=

 0 0



risolvo e trovo v1 = (3, 2) autovettore per 3 (base dell’autospazio V3).

Verifico: M_ϕ(v^E

1)= A · M_v^E₁=9 6



= 3 · M_v^E₁. Calcolo l’autospazio di 4 :

 1 − 4 3

−2 6 − 4



·

 x y



=

 0 0



risolvo e trovo v2= (1, 1) autovettore per 4 (base di V4).

Verifico: M_ϕ(v^E

2)= A · M_v^E₂=4 4



= 4 · M_v^E₂.

Definisco G = (v1, v2) la base di autovettori e sostituisco in M_ϕ(G)^G = M_E^G· M_ϕ(E)^E · M_G^E:

 3 0 0 4



= P⁻¹AP con P =

 3 1 2 1

 . Verifico: (...)

u t Esercizio 4. Dire se A =

 1 3 0 6



`e diagonalizzabile e mostrare la relazione di similitudine.

Esercizio 5. Dire se A =

 1 1

−1 1



`

e diagonalizzabile e mostrare la relazione di similitudine.

Esercizio 6. Dire se A =

 1 3 0 1



`e diagonalizzabile e mostrare la relazione di similitudine.

2

Esercizio 7 (Numeri di Fibonacci). Dire se M =

 0 1 1 1



`

e diagonalizzabile e mostrare la relazione di similitudine M = P⁻¹DP .

Sia M_{F (E)}^E = M , allora F (x, y) = (y, x + y) , quindi F (1, 0) = (0, 1) ; F²(1, 0) = (1, 1) ; F³(1, 0) = (1, 2) ; F⁴(1, 0) = (2, 3) ; F⁵(1, 0) = (3, 5) ; F⁶(1, 0) = (5, 8) ; F⁷(1, 0) = (8, 13) . La prima coordinata di Fⁿ(1, 0) `e l’ n -mo numero di Fibonacci!!

Quindi, invece di fare tutti i conti, basta calcolare Mⁿ·0 1



.... ma `e ugualmente noioso..

Conoscendo la relazione di similitudine possiamo invece calcolare (P⁻¹DP )ⁿ·0

1



= P⁻¹DⁿP ·0 1



che `e molto pi`u immediato!!

3