Esercizi di Algebra Lineare Riduzione di Gauss
Anna M. Bigatti 8-12 novembre 2012
Esercizio 1. Sia data la matrice A =
1 1 0 3 1 1 1 2 1 1 2 4 2 7 1 1
∈ Mat4(Q) .
Trasformare A in forma triangolare superiore tramite operazioni elementari.
Soluzione
Richiamiamo queste funzioni dal file FunzioniSMID.cocoa5:
• Esc(I, i, j) la matrice elementare di scambio Eij
• Epr(I, i, α) la matrice elementare di prodotto Ei(α)
• Eso(I, i, j, α) la matrice elementare di somma Eij(α)
dove I `e la matrice identit`a IdentityMat(K,n), a entrate in K di dimensione n × n . A := Mat(QQ,[
[1/3,1/3, 0, 1], [1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 4], [2, 7, 1, 1]]);
A;
I := IdentityMat(QQ,4);
---- riduco la prima colonna E0 := Epr(I,1,3); E0 * A;
E1 := Eso(I,2,1,-1); E1 * E0 * A;
E2 := Eso(I,3,1,-1); E2 * E1 * E0 * A;
E3 := Eso(I,4,1,-2); E3 * E2 * E1 * E0 * A;
/* ottengo:
[1, 1, 0, 3], [0, 0, 1, -1], [0, 0, 2, 1], [0, 5, 1, -5] */
---- riduco la seconda colonna
E4 := Esc(I,4,2); E4 * E3 * E2 * E1 * E0 * A;
/* ottengo:
[1, 1, 0, 3], [0, 5, 1, -5], [0, 0, 2, 1],
[0, 0, 1, -1] */
---- riduco la terza colonna
E5 := Eso(I, 4,3,-1/2); E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * E0 * A;
/* ottengo la matrice triangolare superiore:
[1, 1, 0, 3], [0, 5, 1, -5], [0, 0, 2, 1], [0, 0, 0, -3/2] */
u t
Esercizio 2. Sia data la matrice A =
2 2 0 1 1 1 2 7 1
. Risolvere il sistema A · x =
0 1 0
Soluzione
[Primo metodo: usando matrici elementari di prodotto]
C := Mat(QQ,[
[2, 2, 0, 0], [1, 1, 1, 1],
[2, 7, 1, 0] ]); C;
I := IdentityMat(QQ,3);
---- riduco la prima colonna E0 := Epr(I,1,1/2); E0 * C;
E1 := Eso(I,2,1,-1); E1 * E0 * C;
E2 := Eso(I,3,1,-2); E2 * E1 * E0 * C;
-- [[1, 1, 0, 0], -- [0, 0, 1, 1], -- [0, 5, 1, 0]]
---- riduco la seconda colonna -- scambio le righe 2 e 3
E3 := Esc(I,2,3); E3 * E2 * E1 * E0 * C;
-- [1, 1, 0, 0], -- [0, 5, 1, 0], -- [0, 0, 1, 1]
Quindi il sistema `e equivalente a
x1 +x2 = 0
5x2 +x3 = 0 x3 = 1
Posso concludere con la “sostituzione all’indietro” (a mano) o continuare con CoCoA:
E4 := Eso(I,2,3,-1); E4*E3*E2*E1*E0*C;
E5 := Epr(I,2,1/5); E5*E4*E3*E2*E1*E0*C;
E6 := Eso(I,1,2,-1); E6*E5*E4*E3*E2*E1*E0*C;
-- [1, 0, 0, 1/5], -- [0, 1, 0, -1/5], -- [0, 0, 1, 1]
Quindi il sistema `e equivalente a
x1 = 1/5
x2 = −1/5
x3 = 1 da cui segue che la soluzione `e (1/5, −1/5, 1) .
-- verifico
A := submat(C, [1,2,3], [1,2,3]); -- 1a,2a,3a riga e 1a,2a,3a colonna di C B := submat(C, [1,2,3], [4]); -- 1a,2a,3a riga e 4a colonna di C A; B;
Sol := ColMat(QQ,[1/5, -1/5, 1]);
A * Sol; B;
u t Soluzione
[Altro metodo: senza usare matrici elementari di prodotto]
C := Mat(QQ, [
[2, 2, 0, 0], [1, 1, 1, 1],
[2, 7, 1, 0] ]); C;
I := IdentityMat(QQ,3);
---- riduco la prima colonna E1 := Eso(I,2,1,-1/2); E1 * C;
E2 := Eso(I,3,1,-1); E2 * E1 * C;
-- [[2, 2, 0, 0], -- [0, 0, 1, 1], -- [0, 5, 1, 0]]
---- riduco la seconda colonna -- scambio le righe 2 e 3
E3 := Esc(I,2,3); E3 * E2 * E1 * C;
-- [2, 2, 0, 0], -- [0, 5, 1, 0], -- [0, 0, 1, 1]
Quindi il sistema `e equivalente a
2x1 +2x2 = 0
5x2 +x3 = 0 x3 = 1 Continuo la riduzione con CoCoA:
E4 := Eso(I,2,3,-1); E4*E3*E2*E1*C;
E5 := Eso(I,1,2,-2/5); E5*E4*E3*E2*E1*C;
-- [2, 0, 0, 2/5], -- [0, 5, 0, -1], -- [0, 0, 1, 1]
Quindi il sistema `e equivalente a
2x1 = 2/5
5x2 = −1
x3 = 1
da cui segue che la soluzione `e (1/5, −1/5, 1) . (Verifico:...) ut Esercizio 3. Sia data la seguente matrice:
A := Mat(QQ, [[3, 1/2, 0], [4/5, 3, -1], [2, 7, 1/7] ]);
Calcolare, se esiste, l’inversa di A . Soluzione
Costruisco la matrice M = (A | I) . I := IdentityMat(QQ,3);
M := ConcatHor(A, I); M;
---- riduco la prima colonna E1 := Epr(I,1,1/3); E1*M;
E2 := Eso(I,2,1,-4/5); E2*E1*M;
E3 := Eso(I,3,1,-2); E3*E2*E1*M;
-- [[1, 1/6, 0, 1/3, 0, 0], -- [0, 43/15, -1, -4/15, 1, 0], -- [0, 20/3, 1/7, -2/3, 0, 1]]
---- riduco la seconda colonna
E4 := Epr(I,2,15/43); E4*E3*E2*E1*M;
E5 := Eso(I,3,2,-20/3); E5*E4*E3*E2*E1*M;
-- [[1, 1/6, 0, 1/3, 0, 0],
-- [0, 1, -15/43, -4/43, 15/43, 0], -- [0, 0, 743/301, -2/43, -100/43, 1]]
---- riduco la terza colonna
E6 := Epr(I,3,301/743); E6*E5*E4*E3*E2*E1*M;
/* ottengo la matrice triangolare superiore:
[1, 1/6, 0, 1/3, 0, 0],
[0, 1, -15/43, -4/43, 15/43, 0],
[0, 0, 1, -14/743, -700/743, 301/743] */
Continuo la riduzione:
E7 := Eso(I,2,3,15/43); E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*M;
E8 := Eso(I,1,2,-1/6); E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*M;
-- [1, 0, 0, 260/743, -5/1486, -35/1486], -- [0, 1, 0, -74/743, 15/743, 105/743], -- [0, 0, 1, -14/743, -700/743, 301/743]
Quindi l’inversa `e
260/743 −5/1486 −35/1486
−74/743 15/743 105/743
−14/743 −700/743 301/743
-- verifico
InvA := submat(E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*M, [1,2,3], [4,5,6]); InvA;
-- [260/743, -5/1486, -35/1486], -- [-74/743, 15/743, 105/743], -- [-14/743, -700/743, 301/743]
InvA * A;
-- [1, 0, 0], -- [0, 1, 0],
-- [0, 0, 1]
u t Osservazione: Notiamo che E8· . . . · E1· A = I , quindi che E8· . . . · E1 `e l’inversa di A . Quindi tenere traccia delle matrici elementari usate per trasformare la matrice A in forma totalmente ridotta (senza costruire (A|I) ) `e un altro modo per impostare il calcolo della inversa di A .
**IMPORTANTE PER IL COMPITINO E PER L’ESAME**
se la risposta `e sbagliata e ...
(a) .. non avete fatto la verifica l’esercizio vale 0 punti!
(b) .. la verifica vi dice che la soluzione `e sbagliata e non ve ne accorgete (succede!), l’esercizio vale 0 punti!
(c) .. la verifica vi dice che la soluzione `e sbagliata, ma non avete tempo di correggere l’esercizio, scrivetelo sul foglio, possibilmente segnalando dove pensate che sia l’errore, in questo modo l’esercizio vale qualche punto
Esercizi proposti
Esercizio 4. Determinare le soluzioni reali del sistema Ax = b e calcolare, se esiste, l’inversa di A .
A := Mat(QQ, [ [ 4, 1, -1], [-3/5, 5/4, 0], [ 2/5, -1, -2] ]);
B := ColMat(QQ, [1/3, 0, 2/5]);
Esercizio 5. Data A =
0 1 0 1 1 0 0 4 0 7 1 0 0 0 3 1
calcolare le soluzioni del sistema Ax =
0 1 0 3
Esercizio 6. Data la matrice A =
1/10 7/5 −1 −1/2 3/4 4 1/2 −1/8 3/4 4 1/2 −1/7 9 −5/4 −2/5 4/5
calcolare le soluzioni reali
dei sistemi Ax = ( 0 1 0 3 )tr e Ax = ( 1 2 1 −2 )tr
Esercizio 7. Siano dati il piano π : −3x + 2y + z + 6 = 0 e la retta r : x = 1 − 2y + 5z =
−3 + 4y + 2z . Il punto P (13, 3, 2) sta su π ? sta su r ? Determinare π ∩ r (e verificare).
