CALCOLO DELLE PROBABILIT µA E STATISTICA Corso di Laurea in Scienze dell'Informazione febbraio 1994

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CALCOLO DELLE PROBABILIT µ A E STATISTICA Corso di Laurea in Scienze dell'Informazione

febbraio 1994

ESERCIZIO 1

Si sa che ciascun pezzo meccanico di un certo lotto ¶e difettoso con probabilit¶a p=0.25. I pezzi vengono venduti in scatole da 5. La procedura di controllo di ogni scatola ¶e la seguente : si veri¯cano tre pezzi estratti a caso e ,se tutti e tre sono non difettosi, la scatola viene accettata per la vendita. In caso contrario no.

Si indichi con X il numero di pezzi difettosi in una generica scatola, con Y il numero di pezzi trovati difettosi al controllo.

1. Calcolare la densita' condizionale di Y sapendo che X=1.

2. Nell'ipotesi che la scatola contenga almeno un pezzo difettoso, quanto vale la probabilita' che venga accettata per la vendita ?

ESERCIZIO 2

Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti , entrambe di legge N(0; 1) e z un numero reale.

1. Calcolare la densit¶a congiunta della coppia di v.a.

( X

q (1 + z ² ) ; zY p 1 + z ² ) .

2. Calcolare la legge della v.a.

U = X + zY p 1 + z ² .

3. Sia Z una v.a. indipendente dal vettore (X,Y), con densit¶a discreta

f X (x) =

8 >

<

> : 1

3 x = 1

2 3 x = 2 0 altrove

Determinare la funzione di ripartizione della v.a.V = ^X+ZY ^p _1+Z

₂

. 4. Quale ¶e la legge di V ?

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ESERCIZIO 3

In un concorso pubblico, la prova scritta consiste in un test composto da 5 do- mande su 5 argomenti diversi (una per ogni argomento) : per ciascuna di esse il test richiede al concorrente di scegliere tra 5 risposte suggerite, delle quali una sola e' quella corretta.

La valutazione viene fatta attribuendo punteggio 1 ad ogni risposta esatta e -1/4 ad ogni risposta errata.

1. Calcolare la probabilita' che un concorrente che risponde a caso ottenga 2.5 punti.

2. Un concorrenteche risponde a caso quale punteggio otterra' in media ?

3. Dare una valutazione della probabilita' che, per 100 concorrenti che rispondono a caso, il totale delle risposte esatte non sia compreso tra 96 e 104.

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CALCOLO DELLE PROBABILIT µA E STATISTICA Corso di Laurea in Scienze dell'Informazione febbraio 1994

CALCOLO DELLE PROBABILIT µ A E STATISTICA Corso di Laurea in Scienze dell'Informazione

febbraio 1994

ESERCIZIO 1

Si indichi con X il numero di pezzi difettosi in una generica scatola, con Y il numero di pezzi trovati difettosi al controllo.

1. Calcolare la densita' condizionale di Y sapendo che X=1.

2. Nell'ipotesi che la scatola contenga almeno un pezzo difettoso, quanto vale la probabilita' che venga accettata per la vendita ?

ESERCIZIO 2

Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti , entrambe di legge N(0; 1) e z un numero reale.

1. Calcolare la densit¶a congiunta della coppia di v.a.

( X

q (1 + z 2 ) ; zY p 1 + z 2 ) .

2. Calcolare la legge della v.a.

U = X + zY p 1 + z 2 .

3. Sia Z una v.a. indipendente dal vettore (X,Y), con densit¶a discreta

f X (x) =

8 >

<

> : 1

3 x = 1

2

3 x = 2 0 altrove

Determinare la funzione di ripartizione della v.a.V = X+ZY p 1+Z

. 4. Quale ¶e la legge di V ?

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ESERCIZIO 3

In un concorso pubblico, la prova scritta consiste in un test composto da 5 do- mande su 5 argomenti diversi (una per ogni argomento) : per ciascuna di esse il test richiede al concorrente di scegliere tra 5 risposte suggerite, delle quali una sola e' quella corretta.

La valutazione viene fatta attribuendo punteggio 1 ad ogni risposta esatta e -1/4 ad ogni risposta errata.

1. Calcolare la probabilita' che un concorrente che risponde a caso ottenga 2.5 punti.

2. Un concorrenteche risponde a caso quale punteggio otterra' in media ?

3. Dare una valutazione della probabilita' che, per 100 concorrenti che rispondono a caso, il totale delle risposte esatte non sia compreso tra 96 e 104.

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q (1 + z ² ) ; zY p 1 + z ² ) .

U = X + zY p 1 + z ² .

Determinare la funzione di ripartizione della v.a.V = ^X+ZY ^p _1+Z