CALCOLO DELLE PROBABILIT µA E STATISTICA Corso di Laurea in Scienze dell'Informazione ottobre 1993

CALCOLO DELLE PROBABILIT µ A E STATISTICA Corso di Laurea in Scienze dell'Informazione

ottobre 1993

ESERCIZIO 1

Tre giocatori lanciano una moneta equilibrata; il primo due volte, il sec- ondo tre volte e il terzo cinque volte. Identi¯cando "testa" con "successo", provare che se si indica con :

² P 1 = la probabilita' che il numero di successi del primo giocatore risulti uguale al numero di insuccessi del secondo giocatore

² P 2 = la probabilit che il numero di successi del terzo giocatore risulti uguale al numero di lanci e®ettuati dal primo giocatore

si ha che P 1 = P 2.

E' sempre valida l'uguaglianza scritta sopra nel caso i tre giocatori es- eguano rispettivamente n; men + m lanci ?

ESERCIZIO 2

Una compagnia di assicurazioni ha stipulato 10.000 polizze di assicu- razione sulla vita ad altrettante persone tutte della stessa et. La durata di queste polizze di un anno. La probabilit che una di queste persone muoia durante l'anno vale 0.006. Il primo gennaio ogni persona deposita 12 dol- lari sulla sua polizza e se essa muore gli eredi ricevono 1000 dollari dalla compagnia di assicurazioni. Calcolare la probabilit che alla ¯ne dell'anno :

1. la compagnia subisca una qualche perdita;

2. la compagnia guadagni almeno 40.000; 60.000 ; 80.000 dollari.

ESERCIZIO 3

Il vettore aleatorio (X; Y ) rappresenti le coordinate cartesiane di un punto scelto a caso e secondo la distribuzione uniforme dall'insieme D 2 IR

D = f(x; y)t:c:0 < x < 1e ¡ x < y < 2 ¡ xg 1. Calcolare le densit marginali di X e Y e E[X].

2. Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti ?

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3. Posto V=X e Z=X+Y calcolare la densit congiunta del vettore (V,Z).

4. Le variabili aleatorie V e Z sono indipendenti ? 5. Calcolare P(Z>1-V).

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