1. Stabilire se il seguente sistema lineare `e compatibile ed in caso affermativo determinarne l’insieme delle soluzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esami di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2006-07 10 luglio 2007

1. Stabilire se il seguente sistema lineare `e compatibile ed in caso affermativo determinarne l’insieme delle soluzioni

 



x − y + 2z + t = 1 y + 2z + t = 0 2x + y − z − 2t = 1.

2. Determinare la decomposizione in fattori lineari e quadratici reali del polinomio p(x) = x ⁵ + x.

3. Stabilire se la seguente funzione `e differenziabile nel punto (0, 0)

f (x, y) =

 



 

(x ² + y ² ) sin ³

1 x

+y

´

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

4. Osservato che per ogni a ∈ R la funzione sin ² x + cos ² y + 2axy ha un punto stazionario nell’origine O = (0, 0), determinare per quali valori di a il punto O

`e, rispettivamente, di massimo, di minimo e di sella.

5. Calcolare il volume della regione di spazio delimitata dall’insieme

C = {(x, y, 0) ∈ R ³ : x ² + y ² ≤ 1}

e dalla superficie di equazione z = (x ² + y ² ) e ^−x

^−y

.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy

 



y ⁰ = −1 − e ^x+y

y(0) = 0 .