Geometria delle masse

(1)

Marco Modugno

Dipartimento di Matematica Applicata “G. Sansone”

Via S. Marta 3, Firenze, Italia email: marco.modugno@unifi.it

Appunti per gli studenti dei Corsi di Laurea in

“Ingegneria per l’Ambiente, le Risorse ed il Territorio”

“Ingegneria Edile”

Le illustrazioni grafiche sono state eseguite da D. Canarutto

Versione del 2012.09.20. - 12.25.

(2)

INDICE

1 Trasformazioni dello spazio 4

1.1 Trasformazioni . . . . 5

1.2 Applicazioni involutive . . . . 5

1.3 Applicazioni affini . . . . 5

1.4 Riflessioni . . . . 6

1.5 Trasformazioni ortogonali . . . . 9

1.5.1 Definizione e caratterizzazione . . . . 9

1.5.2 Determinante ed autovalori . . . . 9

1.5.3 Classificazione . . . . 10

1.6 Trasformazioni rigide . . . . 13

1.6.1 Definizione e caratterizzazione . . . . 13

1.6.2 Rotazioni . . . . 13

1.7 Simmetrie . . . . 15

2 Sistemi di masse 17 2.1 Sistemi di masse . . . . 18

2.1.1 Sistemi discreti di masse . . . . 18

2.1.2 Sistemi continui di masse . . . . 19

2.2 Invarianza dei sistemi di masse . . . . 20

2.3 Massa totale . . . . 23

3 Centro di massa 24 3.1 Definizione di centro di massa . . . . 25

3.2 Propriet`a del centro di massa . . . . 28

3.2.1 Propriet`a distributiva del centro di massa . . . . 28

3.2.2 Propriet`a di convessit`a del centro di massa . . . . 29

3.2.3 Propriet`a di invarianza del centro di massa . . . . 30

3.3 Esempi di centro di massa . . . . 31

4 Tensore d’inerzia 36 4.1 Definizioni basilari . . . . 37

4.2 Propriet`a fondamentali . . . . 41

4.3 Rappresentazione matriciale . . . . 44 2

(3)

4.3.1 Rappresentazione in una base ortonormale . . . . 44

4.3.2 Cambiamento di base . . . . 48

4.3.3 Invarianti . . . . 51

4.4 Autovalori ed autovettori . . . . 53

4.4.1 Definizioni basilari . . . . 53

4.4.2 Ricerca degli autovalori ed autovettori . . . . 56

4.5 Rappresentazione grafica . . . . 60

4.6 Spostamento del polo . . . . 64

4.7 Propriet`a di invarianza . . . . 67

4.7.1 Assi principali ed invarianza rispetto a simmetrie . . . . 67

4.7.2 Assi principali ed invarianza rispetto a rotazioni . . . . 68

4.8 Tensore d’inerzia di sistemi piani . . . . 72

4.9 Confronto tra i tensori delle tensioni e d’inerzia . . . . 76

4.10 Esempi di tensori d’inerzia . . . . 79

(4)

CAPITOLO 1

TRASFORMAZIONI DELLO SPAZIO

L’ambiente in cui studiamo la geometria delle masse `e lo spazio affine euclideo P della fisica classica.

Indichiamo lo spazio dei vettori liberi di P con ¯P .

Ci riferiremo ad un sistema di coordinate cartesiano (x¹, x², x³) = (x, y, z) , di centro o ∈ P , generato dalla base ortonormale (¯e₁,e¯₂,e¯₃) = (¯e_x,e¯_y,¯e_z) ⊂ ¯P .

In vista dello studio delle propriet`a di invarianza dei sistemi di masse, introduciamo preliminarmente la nozione di trasformazione dello spazio P , con particolare attenzione alle riflessioni, alle trasformazioni rigide ed alle simmetrie.

4

(5)

1.1 Trasformazioni

Introduciamo la nozione di trasformazione dello spazio dei punti e del relativo sottinsieme invariante.

1.1.1 Definizione. Un’applicazione f : P → P `e detta una trasformazione se `e invertibile.

1.1.2 Definizione. Data una trasformazione f : P → P , definiamo il sottinsieme I ⊂ P dei punti invarianti rispetto all’azione di f

I := {p ∈ P | f (p) = p} .

1.2 Applicazioni involutive

In vista del concetto di “riflessione”, introduciamo le trasformazioni involutive.

1.2.1 Definizione. Un’applicazione f : P → P `e detta involutiva se, per ogni p ∈ P , f (p) = q ⇒ f (q) = p .

1.2.2 Proposizione. Un’applicazione involutiva f : P → P `e invertibile e la sua inversa `e

f⁻¹ = f .

Dimostrazione. Infatti, per ogni p ∈ P , abbiamo f f(p) = p . QED

1.3 Applicazioni affini

Introduciamo ora la nozione di trasformazione affine.

1.3.1 Definizione. Un’applicazione f : P → P `e detta affine se, per ogni p ∈ P ed

¯h ∈ ¯P , vale l’uguaglianza

f (p + ¯h) = f (p) + Df (¯h) , dove l’applicazione

Df : ¯P → ¯P : ¯h 7→ Df (¯h) ,

detta la “derivata” di f , `e un’applicazione lineare, ossia tale che, per ogni ¯h, ¯k ∈ ¯P e per ogni r ∈ IR , valgono le uguaglianze

Df (¯h + ¯k) = Df (¯h) + Df (¯k) e Df (r ¯h) = r Df (¯h) .

(6)

6 1.4 Riflessioni

1.3.2 Proposizione. Se f : P → P è un’applicazione affine invertibile, allora anche l’inversa f⁻¹ : P → P è affine. Inoltre, la sua derivata Df : ¯P → ¯P è invertibile e

(Df )⁻¹ = D(f⁻¹) .

Dimostrazione. Segue facilmente dalla regola della catena per le derivate. QED

1.4 Riflessioni

Poi studiamo le riflessioni dello spazio P rispetto ad un piano, o ad una retta, o ad un punto.

Al primo impatto gli aspetti formali di questo argomento possono apparire astratti e difficili, ma le illustrazioni grafiche ne mostrano gli aspetti semplici ed intuitivi.

1.4.1 Definizione. Definiamo riflessione un’applicazione involutiva ed affine f : P → P .

Vedi Figura 1.4.6.

1.4.2 Definizione. Data una riflessione f : P → P , definiamo (oltre al sottinsieme I ⊂ P dei punti invarianti rispetto all’azione di f ) il sottinsieme ¯S ⊂ ¯P dei vettori separatori, che separano ciascun punto dalla sua immagine rispetto all’azione di f

S := {¯¯ v ∈ ¯P | ¯v = f (p) − p , p ∈ P } .

1.4.3 Proposizione. Data una riflessione f : P → P , valgono i seguenti fatti.

1) Il sottinsieme I ⊂ P `e un sottospazio affine (cio`e, tutto lo spazio, o un piano, o una retta, o un punto).

2) Il sottinsieme ¯S ⊂ ¯P `e un sottospazio vettoriale.

3) Lo spazio affine P si decompone nella somma diretta P = I ⊕ ¯S ;

cioè, ogni punto p ∈ P si può scrivere in uno ed in solo modo come una somma del tipo p =p + ¯ô p , con p ∈ I ,ô p ∈ ¯¯ S .

Pi`u esplicitamente, per ogni p ∈ P , abbiamo p = p +o ¹₂ f (p) − p

e p =¯ ¹₂ p − f (p) .

4) Per ogni p ∈ P , il punto p `^o e il punto medio del segmento p, f (p) ed `e il punto d’intersezione di tale segmento con il sottospazio I ⊂ P .

Masse-2012-09-20.tex; [stampa 2012-09-20; 12:27]; p.6

(7)

Dimostrazione. [Facoltativa.]

1) Il sottinsieme I `e il nucleo dell’applicazione affine f − id : P → ¯P : p 7→ f (p) − p . 2) Il sottinsieme ¯S `e l’immagine dell’applicazione affine f − id : P → ¯P : p 7→ f (p) − p . 3) Sia p ∈ P .

a) Abbiamo^op:= p +¹₂ f(p) − p ∈ I . Infatti, f(p) = f (p) +^o ¹₂Df f(p) − p

= f (p) +¹₂ f(f (p)) − f (p)

= f (p) +¹₂ p − f(p)

= f (p) + p − f (p) +¹₂ p − f(p) − p − f (p)

= p + ¹₂ f(p) − p .

b) Abbiamo ¯p:=¹₂ f(p) − p ∈ ¯S ,perch´e f (p) − p ∈ ¯S . c) Abbiamo

op+ ¯p= p +¹₂ f(p) − p +¹₂ p − f(p) = p .

d) Siano p + ¯h= q + ¯k ,con p, q ∈ I e ¯h, ∈ ¯S .Dimostriamo che p = q e ¯h= ¯k . L’uguaglianza p + ¯h= q + ¯kimplica p − q = ¯k − ¯he quindi Df (p − q) = Df (¯k − ¯h) .

D’altra parte, per definizione di ¯S , possiamo scrivere ¯h= f (a) − a e ¯k = f (b) − b ed abbiamo le uguaglianze

Df(p − q) = f (p) − f (q)

= p − q

Df(¯k − ¯h) = Df f (b) − b − Df f (a) − a

= f (f (b)) − f (b) − f (f(a) − f(a)

= b − f (b) − a − f (a)

= −(¯k − ¯h) .

Perci`o, l’uguaglianza Df (p − q) = Df (¯k − ¯h) implica p − q = −(¯k − ¯h) .

Allora, l’ipotesi p − q = ¯k − ¯he l’uguaglianza p − q = −(¯k − ¯h) implicano p = q e ¯h= ¯k . 4) Il puntoôpè il punto medio del segmento p, f (p) perchép − pô =¹₂ f(p) − p .

Inoltre, per dimostrare che p^o `e il punto d’intersezione di tale segmento con il sottospazio I ⊂ P , parametriziamo i punti c(λ) del segmento f (p) − p mediante l’uguaglianza

c(λ) = p + λ f (p) − p , con 0 ≤ λ ≤ 1 .

Allora, il punto d’intersezione `e il punto c(λ) tale che f c(λ) = c(λ) , cio`e tale che f

p+ λ f (p) − p

= p + λ f (p) − p , cio`e tale che

f(p) + λ Df f (p) − p = p + λ f(p) − p , cio`e tale che

f(p) + λ f (f (p)) − f (p) = p + λ f(p) − p , cio`e tale che

f(p) + λ p − f (p) = p + λ f(p) − p , cio`e tale che

p − f(p) = 2 λ (p − f (p)) ,

(8)

8 1.4 Riflessioni

cio`e tale che

λ= 1/2 . QED

1.4.4 Corollario. Un sottospazio affine I ⊂ P ed un sottospazio vettoriale ¯S ⊂ ¯P , tali che

P = I ⊕ ¯S , determinano univocamente la riflessione

f : P ' I ⊕ ¯S → P : p ' (p, ¯^o p) 7→ p + 2 ¯p .

Ovviamente, i due sottospazi dati I ed ¯S risultano essere il sottospazio dei punti invarianti ed il sottospazio dei vettori separatori della riflessione f definita qu`ı sopra.

1.4.5 Corollario. Possiamo avere i seguenti casi di riflessioni.

1) Riflessione rispetto ad un punto o : in tal caso I = {o} ed ¯S = ¯P .

2) Riflessione rispetto ad una retta r , “trasversalmente” ad un piano π : in tal caso, I = r ed ¯S = π .

3) Riflessione rispetto ad un piano π , “trasversalmente” ad una retta r : in tal caso, I = π ed ¯S = r .

4) Riflessione rispetto a tutto lo spazio P : in tal caso banale, la riflessione f `e l’identit`a ed inoltre I = P ed ¯S = {¯0} .

I

S¯

p₁ f (p₁)

p₂ f (p₂)

1.4.6 Figura. Illustrazione di una riflessione.

(9)

1.5 Trasformazioni ortogonali

Ora studiamo le trasformazioni ortogonali dello spazio vettoriale ¯P .

1.5.1 Definizione e caratterizzazione

1.5.1 Definizione. Un’applicazione

f : ¯b P → ¯P : ¯h 7→ bf (¯h)

`e detta ortogonale se conserva i prodotti scalari, ossia se, per ogni ¯h, ¯k ∈ ¯P , vale l’uguaglianza

f (¯bh) · bf (¯k) = ¯h · ¯k .

1.5.2 Teorema. Un’applicazione ortogonale bf : ¯P → ¯P `e lineare.

Dimostrazione. [Omessa].

Per la dimostrazione rimandiamo al capitolo di algebra lineare delle dispense sui sistemi continui. QED

1.5.3 Proposizione. Un’applicazione bf : ¯P → ¯P è ortogonale se e solo se è invertibile e la sua inversa è uguale alla trasposta

f ◦ bb f^t = bid .

Dimostrazione. [Omessa].

1.5.2 Determinante ed autovalori

1.5.4 Corollario. Il determinante di un’applicazione ortogonale bf : ¯P → ¯P `e det bf = ±1 .

Dimostrazione. L’uguaglianza bid = bf ◦ bf^timplica

1 = det bid = (det bf) (det bf^t) = (det bf) (det bf) = (det bf)², da cui otteniamo

det bf = ±1 . QED

1.5.5 Proposizione. Un’applicazione ortogonale bf : ¯P → ¯P ha almeno un autovettore ¯u ed il suo autovalore `e

λ = ±1 .

(10)

10 1.5 Trasformazioni ortogonali

Dimostrazione. Lo spazio ¯P ha dimensione dispari 3. Perci`o, per il teorema fondamentale dell’algebra, il polinomio caratteristico di bf ha almeno una radice reale λ . Perci`o, esiste almeno un autovettore

¯

ucon autovalore λ .

Allora, le uguaglianze bf(¯u) = λ ¯ued bf(¯u) · bf(¯u) = ¯u ·u¯implicano λ²= λ²(¯u ·u) = b¯ f(¯u) · bf(¯u) = ¯u ·u¯= 1 , da cui otteniamo

λ= ±1 . QED

1.5.3 Classificazione

Possiamo classificare tutte le applicazioni ortogonali nel seguente modo.

1.5.6 Lemma. Consideriamo un’applicazione ortogonale bf : ¯P → ¯P ed un autovettore ¯u . Allora, l’applicazione bf manda vettori ortogonali ad ¯u in vettori ortogonali ad ¯u . Quindi possiamo considerare la restrizione di bf al piano ¯P^⊥_u_¯ ⊂ ¯P ortogonale ad ¯u

fb_u_¯^⊥ : ¯P^⊥_u_¯ → ¯P^⊥_u_¯ ,

Ovviamente, tale applicazione bf_u_¯^⊥ risulta, a sua volta, ortogonale.

Dimostrazione. Per la Proposizione 1.5.5, abbiamo bf(¯u) = ±¯u . Pertanto, se ¯v `e un vettore ortogonale ad ¯u ,allora abbiamo

fb(¯v) · ¯u= bf(¯v) · ± bf(¯u) = ¯v · (± ¯u) = 0 , per cui bf(¯v) risulta ortogonale ad ¯u .

Infine, se bf conserva tutti i prodotti scalari, allora, in particolare, conserva i prodotti scalari del piano P¯^⊥_u_¯ ⊂ ¯P .QED

1.5.7 Teorema. Consideriamo un’applicazione ortogonale bf : ¯P → ¯P ed un autovettore ¯u .

Inoltre, consideriamo una base ortonormale (¯e₁, ¯e₂, ¯e₃) , tale che ¯e₃ = ¯u . Allora, la matrice di bf in tale base `e di uno dei seguenti quattro tipi:

(f_jⁱ)₁ =





cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ 0

0 0 1



 , (f_jⁱ)₂ =





cos φ sin φ 0 sin φ − cos φ 0

0 0 −1



 ,

(f_jⁱ)₃ =





0 0 −1



 , (f_jⁱ)₄ =





0 0 1



 ,

dove 0 ≤ φ < 2 π .

(11)

Abbiamo

det(f_jⁱ)₁ = det(f_jⁱ)₂ = 1 e det(f_jⁱ)₃ = det(f_jⁱ)₄ = −1 .

Dimostrazione. [Facolativa.]

Per ipotesi, ¯e₃`e un autovettore di bf con autovalore λ = ±1 . Perci`o, abbiamo f₃³= ±1 .

Inoltre, per il Lemma 1.5.6, la matrice (f_jⁱ) `e una matrice a “blocchi”, di due matrici, rispettivamente 2 × 2 ed 1 × 1 .

La matrice 2 × 2 rappresenta l’applicazione ortogonale bf_u_¯^⊥ ristretta al piano ¯P^⊥_u_¯ ortogonale ad ¯e3. Per la Proposizione 1.5.3, questa matrice `e la matrice di un’applicazione ortogonale se e solo se soddisfa l’uguaglianza

f₁¹ f₂¹ f₁² f₂²

f₁¹ f₁² f₂¹ f₂²

=1 0 0 1

.

Questa condizione `e equivalente al sistema di tre equazioni non lineari nelle 4 incognite f1¹, f₂¹, f₁², f₂²

(f₁¹)²+ (f₂¹)²= 1 , f₁¹f₁²+ f₂²f₂¹= 0 , (f₂²)²+ (f₁²)²= 1 .

Mediante il metodo di sostituzione, si pu`o vedere che le soluzioni di questo sistema sono di uno dei seguenti due tipi

(fjⁱ) =cos φ − sin φ sin φ cos φ

, (fjⁱ) =cos φ sin φ sin φ − cos φ

, con 1 ≤ i, j ≤ 2

dove 0 ≤ φ < 2 π . QED

1.5.8 Teorema. Se bf : ¯P → ¯P `e una trasformazione ortogonale tale che det bf = 1 , allora esiste un autovettore con autovalore 1 .

Dimostrazione. Tenendo conto della Proposizione 1.5.5, sia ¯uun autovettore di bf con autovalore λ= ±1 .

1) Se λ = 1 , allora l’enunciato della Proposizione è vero, perché ¯uè un autovettore con autovalore λ= 1 .

2) Se λ = −1 , allora, per l’ipotesi det bf = 1 e per il Teorema 1.5.7, la matrice di bf in una base adattata ad ¯u`e del tipo

(f_jⁱ)2=





0 0 −1



. a) Se φ = 0 , allora

¯ u⁰ = ¯e₁

`e un autovettore il cui autovalore `e λ = 1 .

b) Se φ 6= 0 , allora un semplice calcolo algebrico di ricerca di autovettori mostra che il vettore

¯

u⁰= ¯e1+1 − cos φ sin φ e¯2

`e un autovettore il cui autovalore `e λ = 1 . QED

Il precedente risultato permette di semplificare la classificazione ottenuta nel precedente Teorema 1.5.7, scegliendo una base ortonormale opportuna.

(12)

12 1.5 Trasformazioni ortogonali

1.5.9 Corollario. Se bf : ¯P → ¯P `e un’applicazione ortogonale, allora esiste una base ortonormale (¯e₁, ¯e₂, ¯e₃) , tale che la matrice di bf `e di uno dei seguenti due tipi:

(f_jⁱ)₊ =





0 0 1



 , (f_jⁱ)− =





0 0 1



, dove 0 ≤ φ < 2 π .

Abbiamo

det(f_jⁱ)₊= 1 e det(f_jⁱ)− = −1 .

Dimostrazione. Sia ¯u l’autovettore con autovalore λ = 1 . Se scegliamo una base ortonormale (¯e1,¯e2,e¯3) tale che ¯e3= ¯u/kuk ,¯ allora, per il Teorema 1.5.7, abbiamo i seguenti due casi:

- se det bf = +1 , allora (f_jⁱ) = (f_jⁱ)1

- se det bf = −1 , allora (f_jⁱ) = (f_jⁱ)4.QED

(13)

1.6 Trasformazioni rigide

Successivamente, studiamo le trasformazioni rigide dello spazio P .

In pratica le trasformazioni rigide sono rotazioni attorno ad una retta, o riflessioni, o composizioni di esse.

1.6.1 Definizione e caratterizzazione

1.6.1 Definizione. Definiamo trasformazione rigida un’applicazione f : P → P

che mantiene inalterate le distanze tra i punti di P , ossia un’applicazione che soddisfa la seguente propriet`a, per ogni p, q ∈ P ,

kf (p) − f (q)k = kp − qk .

1.6.2 Teorema. Un’applicazione f : P → P `e una trasformazione rigida se e solo se

`e affine e la sua derivata `e un operatore ortogonale, ossia se e solo se, per ogni p ∈ P ed

¯h ∈ ¯P , vale l’uguaglianza

f (p + ¯h) = f (p) + Df (¯h) , dove Df : ¯P → ¯P `e un’applicazione ortogonale.

Dimostrazione. [Omessa.]

1.6.2 Rotazioni

1.6.3 Definizione. Definiamo rotazione attorno ad una retta r una trasformazione rigida f : P → P tale che

1) ∀p ∈ r , f (p) = p ,

2) det Df = 1 .

Vale il seguente importante risultato.

1.6.4 Teorema. [Eulero.] Ogni trasformazione rigida f : P → P tale che det Df = 1

`e una rotazione attorno ad una certa retta r .

Dimostrazione. Segue immediatamente dal Teorema 1.5.8. QED

1.6.5 Proposizione. Consideriamo una rotazione f : P → P attorno ad una retta r . Scegliamo inoltre un sistema di coordinate cartesiano adattato alla retta r , ossia con

(14)

14 1.6 Trasformazioni rigide

il polo o ∈ r ed il versore ¯e₃ parallelo ad r . Allora, l’espressione in coordinate di f `e del tipo



 f¹ f² f³



=





0 0 1







 x¹ x² x³



 , con 0 ≤ φ < 2 π .

Dimostrazione. Per il Teorema 1.6.2, e per l’ipotesi f (o) = o , abbiamo f(p) = f (o) + Df (p − o) = o + Df (p − o) . Allora, per il sistema di coordinate scelto, abbiamo



 f¹ f² f³



=





Df₁¹ Df₂¹ Df₃¹ Df₁² Df₂² Df₃² Df₁³ Df₂³ Df₃³







 x¹ x² x³



. Infine, per il Teorema 1.5.7, e per la definizione di rotazione, abbiamo





Df₁¹ Df₂¹ Df₃¹ Df₁² Df₂² Df₃² Df₁³ Df₂³ Df₃³



=





0 0 1



 .QED

(15)

1.7 Simmetrie

Infine, studiamo le simmetrie di P rispetto ad un piano, o ad una retta, o ad un punto.

1.7.1 Definizione. Definiamo simmetria una trasformazione rigida ed involutiva f : P → P .

Vedi Figura 1.7.6.

1.7.2 Proposizione. Una trasformazione rigida f : P → P `e una simmetria se e solo se `e una riflessione.

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla Definizione di applicazione involutiva 1.2.1, dalla Definizione di riflessione 1.4.1 e dal Teorema teorema sulle trasformazioni rigide. QED

1.7.3 Proposizione. Se f : P → P `e una simmetria, allora I e ¯S sono ortogonali.

Dimostrazione. [Facoltativa.]

Se p, q ∈ I e ¯h:= f (a) − a ∈ ¯S ,allora abbiamo

(q − p) · ¯h= f (q) − f (p) · f (a) − a

= f (q) − f (p) · f (a) − f(f(a))

= −Df (q − p) · Df f (a) − a

= −Df (q − p) · Df (¯h)

= −(q − p) · ¯h , che implica (q − p) · ¯h= 0 . QED

1.7.4 Corollario. Un sottospazio affine I ⊂ P determina univocamente la simmetria f : P → P : p 7→ p + 2 (p − p) ,^o

dovep ∈ I `^o e la proiezione ortogonale del punto p sul sottospazio affine I . 1.7.5 Corollario. Possiamo avere i seguenti casi di simmetrie.

1) Simmetria rispetto ad un punto o . 2) Simmetria rispetto ad una retta r . 3) Simmetria rispetto ad un piano π .

4) Simmetria rispetto a tutto lo spazio P : in tal caso banale, la simmetria f `e l’identit`a.

(16)

16 1.7 Simmetrie

I

S¯

p₁ f (p₁)

p₂ f (p₂)

1.7.6 Figura. Illustrazione di una simmetria.

(17)

SISTEMI DI MASSE

Consideriamo sistemi di masse discreti e continui.

Vedremo che molti concetti e risultati possono essere espressi in modo più elementare per i sistemi discreti, anche se in pratica siamo più interessati ad esempi concreti di sistemi continui. Quindi studiamo i sistemi discreti principalmente per motivi pedago- gici. In pratica, il passaggio dai sistemi discreti ai sistemi continui può essere effettuato sostituendo degli integrali al posto di sommatorie.

Da un punto di vista teorico formale, ci sarebbe anche la possibilit`a di trattare il caso discreto ed il caso continuo in un unico contesto, usando un metodo adeguato di integrazione.

(18)

18 2.1 Sistemi di masse

2.1 Sistemi di masse

Innanzitutto introduciamo i sistemi di masse.

Distinguiamo due casi: sistemi discreti e sistemi continui. Presentiamo i due casi in modo da evidenziare le oro differenze ed analogie.

In pratica, i sistemi discreti sono meno interessanti dal punto di vista applicativo, ma sono più adatti ad introdurre l’argomento in modo elementare. È facile trasporre al caso continuo le nozioni ed i risultati validi per il caso discreto, sostituendo la massa finita con la densità di massa e le somme con integrali.

2.1.1 Sistemi discreti di masse

Dunque, introduciamo innanzitutto il concetto di sistema discreto di masse.

2.1.1 Definizione. Un sistema discreto di masse `e definito da una coppia Σ := (D, m) ,

dove

D := (p₁, . . . , p_i, . . . , p_n) ⊂ P

`e un sottinsieme discreto di P costituito da n punti, con n ≥ 1 , ed m : D → IR⁺ : p_i 7→ m_i:= m(pi)

`e una funzione strettamente positiva.

Usiamo la seguente terminologia:

- il sottinsieme discreto D ⊂ P `e detto il dominio del sistema, - i punti p_i ∈ D sono detti i punti materiali del sistema,

- per ogni i , con 1 ≤ i ≤ n , il numero positivo m_i:= m(pi) ∈ IR⁺ `e detto la massa del punto materiale p_i.

In altre parole, un sistema discreto di masse è costituitio da un insieme di n coppie (p₁, m₁), . . . , (p_i, m_i), . . . , (p_n, m_n) , con p_i ∈ P , m_i ∈ IR⁺, n ≥ 1 . Dunque, un sistema discreto di masse è costituito da un sistema discreto di punti, a ciascuno dei quali è attribuita una massa.

Diciamo che un sistema discreto di masse `e piano, o rettilineo, se i suoi punti appar- tengono ad un piano, o ad una retta.

Diciamo che il sitema di masse `e non degenere se n > 2 e se i suoi punti non sono allineati.

Se la funzione m `e costante, ossia se m_i = m_j, per ogni 1 ≤ i, j ≤ n , allora diciamo che il sistema `e omogeneo.

(19)

2.1.2 Sistemi continui di masse

Introduciamo poi il concetto di sistema continuo di masse.

2.1.2 Definizione. Definiamo sistema continuo di masse, una coppia Σ := (D, µ) ,

dove

D ⊂ P

`e un sottinsieme aperto di P e

µ : D → IR⁺: p 7→ µ(p)

`e una funzione strettamente positiva.

Usiamo la seguente terminologia:

- il sottinsieme aperto D ⊂ P è detto il dominio del sistema, - i punti p ∈ D sono detti i punti materiali del sistema, - la funzione µ : D → IR⁺ è detta la densità di massa.

In altre parole, un sistema continuo di masse `e costituito da un insieme di ∞ coppie p, µ(p) , con p ∈ D ⊂ P , µ(p) ∈ IR⁺,

dove D ⊂ P `e un sottinsieme aperto.

In pratica, occorrer`a che D e µ abbiano una “sufficiente regolarit`a”, in modo tale che abbiano senso e siano convergenti gli integrali che incontreremo in seguito.

La nozione di sistema continuo di masse pu`o anche essere facilmente introdotta, in modo analogo, per sistemi bidimensionali (in particolare, piani) e per sistemi unidimensionali (in particolare, rettilinei).

Diciamo che il sitema di masse `e non degenere se D non `e contenuto in una retta.

Se la funzione µ `e costante, allora diciamo che il sistema `e omogeneo.

(20)

20 2.2 Invarianza dei sistemi di masse

2.2 Invarianza dei sistemi di masse

Studiamo l’invarianza dei sistemi di masse rispetto alle trasformazioni dello spazio.

2.2.1 Proposizione. Consideriamo un sistema discreto di masse Σ := (D, m) , o un sistema continuo di masse Σ := (D, µ) , ed una trasformazione f : P → P .

Allora, f determina un nuovo sistema discreto di masse, o continuo di masse, Σ⁰:= (D⁰, m⁰) , o Σ⁰:= (D⁰, µ⁰) ,

dove

D⁰:= f (D) ⊂ P e

m⁰:= m ◦ f⁻¹ : D⁰ → IR⁺, o µ⁰:= µ ◦ f⁻¹ : D⁰ → IR⁺. In altre parole,

1) nel caso discreto, Σ⁰ `e costituito dalle coppie f (p_i), m_i , 2) nel caso continuo, Σ⁰ `e costituito dalle coppie f (p), µ(p) .

2.2.2 Definizione. Consideriamo un sistema discreto di masse Σ := (D, m) , o un sistema continuo di masse Σ := (D, µ) , ed una trasformazione f : P → P .

Diciamo che il sistema di masse `e invariante rispetto ad f se, Σ⁰ = Σ ,

ossia, pi`u esplicitamente, se

∀ p_i ∈ D , ∃ p_j ∈ D , tale che f (p_i) = p_j, o

∀ p ∈ D , ∃ q ∈ D , tale che f (p) = q , ed inoltre

m_j = m_i, o µ f (p) = µ(p) .

Nelle sezioni seguenti vedremo che se il sistema di masse `e invariante rispetto ad una riflessione, o ad una trasformazione rigida, o ad una simmetria, allora esso gode di interessanti propriet`a.

2.2.3 Esempio. Consideriamo un sistema continuo bidimensionale omogeneo costituito da un triangolo.

1) Il sistema `e invariante rispetto alla riflessione f la cui retta dei punti invarianti I

`e la mediana di un lato e la cui retta dei vettori separatori ¯S `e parallela a tale lato.

(21)

Nel caso particolare in cui il triangolo è isoscele e tale lato è la sua base, questa riflessione f è una simmetria.

2) Naturalmente, considerazioni analoghe valgono per gli altri due lati.

2.2.4 Esempio. Consideriamo un sistema continuo bidimensionale omogeneo costituito da un parallelogrammo.

1) Il sistema è invariante rispetto alla riflessione f la cui retta dei punti invarianti I è l’asse relativo a due lati paralleli e la cui retta dei vettori separatori ¯S è parallela a tali due lati.

Nel caso particolare in cui il parallelogrammo `e un rettangolo, questa riflessione f `e una simmetria.

2) Naturalmente, considerazioni analoghe valgono per gli altri due lati.

2.2.5 Esempio. Consideriamo un sistema continuo bidimensionale omogeneo costituito da un disco il cui centro `e o .

Allora, il disco `e invariante rispetto alla simmetria il cui sottospazio dei punti invarianti I `e costituito dal punto o .

Vedi Figura 2.2.8.

2.2.6 Esempio. Consideriamo un sistema continuo tridimensionale omogeneo costituito da un cilindro circolare obliquo il cui asse `e la retta r .

Allora, il cilindro è invariante rispetto alla riflessione il cui sottospazio dei punti invarianti I è costituito dalla retta r ed il cui spazio dei vettori separatori è il piano parallelo alla base del cilindro.

Nel caso particolare in cui il cilindro `e retto, questa riflessione f `e una simmetria.

2.2.7 Esempio. Consideriamo un sistema continuo bidimensionale costituito da un disco il cui centro è o e la cui funzione densità µ(p) dipenda solo dalla distanza kp − ok . Allora, il disco è invariante rispetto alla simmetria il cui sottospazio dei punti invarianti I è costituito dal punto o .

Inoltre, il sistema di masse `e invariante rispetto a qualunque rotazione rigida f attorno all’asse ortogonale al disco e passante per o .

Vedi Figura 3.2.7.

(22)

22 2.2 Invarianza dei sistemi di masse

o

2.2.8 Figura. Illustrazione dell’invarianza rispetto ad una simmetria.

o

φ

2.2.9 Figura. Illustrazione dell’invarianza rispetto ad una rotazione.

(23)

2.3 Massa totale

Consideriamo un sistema di masse discreto o continuo.

2.3.1 Definizione. La massa totale del sistema `e il numero reale positivo 1) nel caso discreto,

m₀:=X

i

m_i ∈ IR⁺ 2) nel caso continuo,

m₀:=

Z

D

µ dV ∈ IR⁺. 2.3.2 Definizione. Definiamo i seguenti rapporti:

1) nel caso discreto, le masse relative sono i numeri reali positivi ρ_i:= m_i/m₀ ∈ IR⁺,

2) nel caso continuo, le densit`a di massa relativa `e la funzione ρ := µ/m₀ : D → IR⁺.

2.3.3 Proposizione. Abbiamo le seguenti identit`a:

1) nel caso discreto,

X

i

ρ_i = 1 , 2) nel caso continuo,

Z

D

ρ dV = 1 .

(24)

CAPITOLO 3

CENTRO DI MASSA

Il centro di massa di un sistema di masse `e il punto “medio pesato” di tale sistema. Esso gode di varie propriet`a interessanti.

24

(25)

3.1 Definizione di centro di massa

Innanzitutto, introduciamo il centro di massa mediante la sua propriet`a carat- teristica e poi lo troviamo esplicitamente mediante la scelta di un polo arbitrario.

Consideriamo un sistema di masse discreto.

3.1.1 Lemma. Esiste un unico punto p₀ ∈ P tale che

(3.1.1) X

i

ρ_i(p_i− p₀) = ¯0 .

Scelto un qualunque “polo” o ∈ P , il punto p₀ che soddisfa la precedente identit`a `e espresso dalla seguente formula esplicita:

(3.1.2) p₀ = o +X

i

ρ_i(p_i− o) ,

ossia, in un sistema di coordinate cartesiane con centro nel polo,

(3.1.3) x^j(p₀) = X

i

ρ_ix^j(p_i) .

Dimostrazione. Unicit`a. Se p0 e p⁰₀ soddisfano la formula 3.1.1, allora essi coincidono. Infatti, abbiamo

¯0 = ¯0 − ¯0 =X

i

ρi(pi− p0) −X

i

ρi(pi− p⁰₀) = (X

i

ρi) (p⁰0− p0) = (p⁰0− p0) , da cui deduciamo

p⁰₀− p₀.

Esistenza.Il punto p0 definito esplicitamente dalla formula 3.1.2 soddisfa l’equazione 3.1.1. Infatti, abbiamo

X

i

ρi

pi− o +X

j

ρj(pj− o)

=X

i

ρi(pi− o) − (X

i

ρi) X

j

ρj(pj− o)

=X

i

ρi(pi− o) −X

j

ρj(pj− o)

= 0 . QED

3.1.2 Definizione. Definiamo centro di massa del sistema l’unico punto p₀ ∈ P che soddisfa la condizione 3.1.1.

Dunque, il centro di massa `e il punto “medio” dei punti del sistema “pesati” tramite il “peso” ρ_i.

La formula 3.1.1 caratterizza il centro di massa mediante la sua propriet`a fondamentale; ma, questa formula non fornisce un’espressione esplicita del centro di massa. La

(26)

26 3.1 Definizione di centro di massa

formula 3.1.2 fornisce un’espressione esplicita del centro di massa; ma non conviene usare questa per definire il centro di massa, perch´e essa usa un polo che non `e un elemento essenziale nel concetto di centro di massa.

3.1.3 Nota. Se nella formula 3.1.2 usiamo un differente polo o⁰, otteniamo lo stesso centro di massa p₀. Questo fatto segue immediatamente dall’unicit`a del centro di massa;

ma pu`o anche essere verificato direttamente nel modo seguente:

o⁰+X

i

ρ_i(p_i− o⁰) = o + (o⁰− o) +X

i

ρ_i

p_i− o + (o⁰− o)

= o + (o⁰− o) +X

i

ρ_i(p_i− o) − (X

i

ρ_i) (o⁰− o)

= o + (o⁰− o) +X

i

ρ_i(p_i− o) + (o⁰− o)

= o +X

i

ρ_i(p_i− o) .

Osserviamo che il centro di massa pu`o non essere un punto del sistema.

3.1.4 Esempio. Consideriamo un sistema costituito da due punti materiali.

Vedi Figura 3.1.5.

Scegliendo come polo, rispettivamente, i punti o := p₁, oppure o := p₂, la formula 3.1.2 diventa

p₀ = p₁+ ρ₂(p₂− p₁) , (3.1.4)

p₀ = p₂+ ρ₁(p₁− p₂) . (3.1.5)

Dunque, il centro di massa `e un punto interno del segmento (p₁, p₂) ed `e situato ad una distanza dagli estremi data da

p₁− p₀ = ρ₂(p₁− p₂) e p₂− p₀ = ρ₁(p₂− p₁) .

Nel caso particolare in cui m1 = m2, il centro di massa `e il punto medio del segmento (p₁, p₂) .

Se le due masse sono diverse, il centro di massa è più vicino alla massa più grande.

Per controllo, possiamo verificare la formula 3.1.1, usando le due espressioni 3.1.4 e 3.1.5 del centro di massa:

ρ1(p1− p0) + ρ2(p2− p0) =

= ρ₁

p₁− p₂+ ρ₂(p₂− p₁)

+ ρ₂

p₂− p₁+ ρ₁(p₁− p₂)

= ρ1(p1− p1) − ρ1ρ2(p2− p1) + ρ2(p2 − p2) − ρ2ρ1(p1− p2)

= 0 .

(27)

� � �

� � � �

�

1

p₁ p₀ p₂

m₂ = 2m₁

3.1.5 Figura. Illustrazione del centro di massa di un sistema di due punti.

Consideriamo poi un sistema di masse continuo.

La definizione di centro di massa, la sua costruzione esplicita e le altre propriet`a possono essere ottenute in modo analogo al caso discreto.

Ci limitiamo ad enunciare il seguente Lemma e la conseguente Definizione, lasciando allo studente il compito di completare la discussione del caso continuo.

3.1.6 Lemma. Esiste un unico punto p₀ ∈ P tale che (3.1.6)

Z

D

ρ ¯r0dV = ¯0 ,

dove ¯r₀ `e il campo vettoriale definito da ¯r₀ : D → ¯P : p 7→ (p − p₀) .

Scelto un qualunque “polo” o ∈ P , il punto p0 che soddisfa la precedente identit`a `e espresso dalla seguente formula esplicita:

(3.1.7) p0 = o +

Z

D

ρ ¯rodV ,

dove ¯r_o `e il campo vettoriale definito da ¯r_o : D → ¯P : p 7→ (p − o) , ossia, in un sistema di coordinate cartesiane con centro nel polo,

(3.1.8) x^j(p₀) =

Z

D

ρ x^jdV .

3.1.7 Definizione. Definiamo centro di massa del sistema l’unico punto p₀ ∈ P che soddisfa la condizione 3.1.6.