Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[…] Ho provato a svolgere gli altri esercizi che lei mi aveva inviato e volevo chiederle se era possibile controllarne la correttezza…
Ecco il testo dei 6 esercizi, accanto ad ognuno è indicato il punteggio in trentesimi. La soluzione è riportata in nero, in blu e con l’evidenziatore giallo le correzioni.
1. (4.5pt) Sia f : Z × Z −> Z × Z definita da f(z,w) = (z + w, 3z + 6w) a) dire se f é iniettiva
b) dire se f è surgettiva.
2. (4.5pt) Siano z0, z1, z2, z3, z4, le 5 soluzioni complesse dell’equazione z5 − 1 = 0, provare che il prodotto z0 · z1 · z2 · z3 · z4 vale 1.
3. (4.5pt) Data in IR2 la corrispondenza (x, y) ~ (z,w) ⇔ 2(x − z) = 4(y − w)
a) verificare che ~ è una relazione di equivalenza b) determinare la classe di (1, 0).
4. (5.5pt) a) Usando l’algoritmo euclideo, calcolare il massimo comun divisore di 86 e 34.
b) Stabilire se l’equazione 86x + 34y = 12 ha soluzioni intere e, se si, determinarle tutte.
5. (5.5pt) Utilizzando il teorema di Fermat si calcoli il resto della divisione tra 468 e 23.
6. (5.5pt) Usando il principio di induzione provare che per ogni numero naturale n ≥1 si ha
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 +3 · 4 · 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = (n(n + 1)(n + 2)(n +3))/4 II COLLEZIONE DI ESERCIZI IN PREPARAZIONE DEL COMPITO D’ ESAME -FEBBRAIO 2008
1. (4pt) Sia f : Z × Z −> Z × Z definita da f(z,w) = (z + w, 3z + 6w) a) dire se f é iniettiva
b) dire se f è surgettiva
a) f(z,w) =f(a,b)↔ (z,w) =f(a,b) f è iniettiva se : f(z,w) =f(a,b)⇒ (z,w) = (a,b) (z + w, 3z + 6w)= (a + b, 3a + 6b)
z + w=a+b z + w=a+b z + w=a+b z+b=a+b 3z + 6w=3a + 6b z + 2w=a + 2b w=b w=b
z=a (z,w)=(a,b)
f: z×z −>z iniettiva w=b
b) Esiste f(z,w)=(a,b) per ogni (a,b) ∈ Z × Z
espressione corretta : f è surgettiva se per ogni (a,b)∈ Z×Z (codominio) esiste (z,w)∈Z×Z (dominio) t.c. f(z,w)=(a,b)
f(z,w)=f(a,b)
(z+w,3z+6w)=(a,b)
z+w=a z=a-w z=a-w z=a-w z=a-w 3z+6w=b 3a-3w+6w=b 3w=b-3a 3w=b-3a w=b/3-a = (b-3a)/3
z=-b/3+2a = (6a-b)/3 Non è una coppia di interi per ogni (a,b) ∈ Z×Z w=b/3-a = (b-3a)/3 ciò succede se b e –b non sono multipli di 3 ciò succede se 6a-b o b-3a non sono multipli di 3, ad es. se (a,b)= ( 0,1), la controimmagine di (a,b) è vuota e quindi f Non è surgettiva
sottraendo la I eq.
dalla II esatto !
SOLUZIONE CORRETTA
2. (4pt) Siano z0, z1, z2, z3, z4, le 5 soluzioni complesse dell’equazione z5 − 1 = 0, provare che il prodotto z0 · z1 · z2 · z3 · z4 vale 1.
Z0,Z1,Z2,Z3,Z4 soluzioni di Z5-1=0 Prodotto Z0*Z1*Z2*Z3*Z4 = 1
Z5-1=0
Z0*Z1*Z2*Z3*Z4 =(-1)n*a0 (a0 termine noto) Z0*Z1*Z2*Z3*Z4 =(-1)5*(-1)=1 esatto !
3. (4pt) Data in IR2 la corrispondenza (x, y) ~ (z,w) ⇔2(x − z) = 4(y − w)
a) verificare che ~ è una relazione di equivalenza b) determinare la classe di (1, 0).
a)
RIFLESSIVA
(x,y) ~(x,y) ↔2(x–x)=4(y-y) 0 = 0
SIMMETRICA
(x,y) ~(z,w) ⇒ (z,w) ~(x,y) 2(x − z) = 4(y − w) ⇒ 2(z − x) = 4(w − y)
cambiando il segno a 2(x − z) = 4(y − w) si ha :
-2(x − z) = 4(y − w) -2(x − z) = -4(y − w) 2(z − x) = 4(w − y) c.v.d.
TRANSITIVA Ipotesi:
(x,y) ~(z,w) (1) (z,w) ~(a,b) (2) 2(x − z) = 4(y − w) 2(z − a) = 4(w − b)
Tesi:
(x,y) ~(a,b) 2(x − a) = 4(y − b)
(1)+(2)
2x -2z = 4y-4w +
2x -2a= 4w-4b = errore di trascrizione : 2z -2a= 4w-4b
2(x-a) = 4(y-b) c.v.d.
b) La classe di (1,0) : (x,y) ~ (1,0) 2(x-1)=4(y-0)
2x-4y=2 x-2y=1
{(x,y) ∈ R2 tali che x-2y=1}
{(2y+1,y) ,al variare di y in R2} esatto !
4. (5pt) a) Usando l’algoritmo euclideo, calcolare il massimo comun divisore di 86 e 34.
b) Stabilire se l’equazione 86x + 34y = 12 ha soluzioni intere e, se si, determinarle tutte.
MCD(86,34)
86=34*2+18 18=86-34*2 34=18*1+16 16=34-18*1 18=16*1+2 2=18-16*1
16=2*8+0 2 è il M.C.D. (86,34) : OK !
2 =18-16*1
=18-[34-18(1)]*1 =18-34(1)+18(1) =18(2)-34(1)=
=(86-34(2))*2-34(1) =86(2)-34(4)-34(1) =86(2)+34(-5)
86x + 34y = 12 86(2)+34(-5)=2 86(12)+34(-30)=12 86x + 34y =0 43x + 17y=0 (17t;-43t)
(17t+12;-43t-30) al variare di t in Z : esatto !
5. (5pt) Utilizzando il teorema di Fermat si calcoli il resto della divisione tra 468 e 23.
¯422=¯1 (¯422)3 *¯42= (¯1)3 *¯42=
¯1* ¯16 = ¯16 16 < 23 ⇒ 16 è il resto cercato ! OK !
6. (5pt) Usando il principio di induzione provare che per ogni numero naturale n ≥ 1 si ha
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 +3 · 4 · 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = (n(n + 1)(n + 2)(n +3))/4 n=1 6=6
n+1 La tesi è :
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 +3 · 4 · 5 + ... + n(n + 1)(n + 2)+ (n+1)(n + 2)(n + 3) = ((n+1) (n+2)(n +3)(n+4))/4
In virtù dell’ipotesi induttiva:
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 +3 · 4 · 5 + ... + n(n + 1)(n + 2)+ (n+1)(n + 2)(n + 3) = (n(n + 1)(n + 2)(n +3))/4 + (n+1)(n + 2)(n + 3)
[ n(n + 1)(n + 2)(n +3) + 4((n+1)(n + 2)(n + 3)) ] /4
(n + 1)(n + 2)(n +3)(n+4) /4 c.v.d. esatto !
