[…] Ho provato a svolgere gli esercizi che lei mi aveva inviato e volevo chiederle se era possibile controllarne la correttezza…

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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] Ho provato a svolgere gli esercizi che lei mi aveva inviato e volevo chiederle se era possibile controllarne la correttezza…

Ecco il testo dei 6 esercizi, accanto ad ognuno è indicato il punteggio in trentesimi. La soluzione è riportata in nero, in blu le correzioni.

1. (4,5) Sia f : R × R −> R definita da f(z,w) = z

+ w

. a) Dire se f è iniettiva

b) Dire se f è surgettiva

2. (4,5) Calcolare modulo e argomento del numero complesso (1 + i)

(1 − i)

3. (5,5) Data in R la corrispondenza x ~y ↔x - y Є Z

a) verificare che ~ è una relazione di equivalenza b) determinare la classe di π

4. (5,5) a) Usando l’algoritmo euclideo, calcolare il massimo comun divisore di 42 e 138

b) Stabilire se l’equazione 42x + 138y = 48 ha soluzioni intere e, se, si, determinarle tutte

5. (5,5) Utilizzando il teorema di Fermat si calcoli il resto della divisione tra 7

e 17.

6. (4,5) Usando il principio di induzione provare che per ogni n >= 1 si ha:

1

+ 3

+ 5

+ ... + (2n − 1)

= n(4n

− 1) 3

C OLLEZIONI DI ESERCIZI IN PREPARAZIONE DEL COMPITO D ’ ESAME – GENNAIO 2008

2 1. (4pt) Sia f : R × R −> R definita da f(z,w) = z

+ w

.

a) Dire se f è iniettiva b) Dire se f è surgettiva

a) f(1,0) = f(0,1) ma (1,0)≠ (0,1) f non è iniettiva

b) f è suriettiva se per ogni a ∈ R esiste (z,w) Є R × R tale che z

+w

=a se z=0

w

=a w=±√a se a<0 w

=a non ha soluzioni se w=0

z

=a z=

√a −> esiste (0,

√a) Є R × R tale che f(0,

√a)=a f è surgettiva

Dalle sue considerazioni sembrerebbe f Non surgettiva, ha sbagliato, anche se non è andata molto lontana dal procedimento corretto!

Infatti per ogni a ∈ R esiste (z,w) ∈ R × R tale che z

+w

=a ed è (z,w)= (

√a ,0) .

2. (4pt) Calcolare modulo e argomento del numero complesso (1 + i)

(1 − i)

2

(cos(3π/2)+isen(3π/2)) = 2

(cos(π/4)+isen(π/4)) = 2√2((√2/2)+i(√2/2)) = 2

(cos(-3π/4)+isen(3π/4))

=2+2i

il passaggio evidenziato in giallo è inutile Modulo: 2√2 esatto !

Argomento: π/4 esatto !

3. (5pt) Data in R la corrispondenza x ~y ↔x - y ∈ Z

a) verificare che ~ è una relazione di equivalenza b) determinare la classe di π

a)

RIFLESSIVA x ~x ↔x–x ∈ Z x – x= 0 ∈ Z

S OLUZIONE CORRETTA

3 SIMMETRICA

x ~y y ~x x–y ∈ Z y–x ∈ Z tesi x–y=n n ∈ Z

y–x=-n -n ∈ Z c.v.d. esatto !

TRANSITIVA Ipotesi:

x ~y (1) y ~z (2) x–y =n n ∈ Z y–z =k k ∈ Z

Tesi:

x ~z x–z ∈ Z

(1)+(2)

x+y-y-z=n+k trascrizione erronea dei segni. E’ x-y+y-z =x-z x-z=n+k n+k ∈ Z c.v.d. esatto !

b) {x ∈ Z tali che x– π ∈ Z } {x ∈ Z tali che x– π =n n∈Z }

{x ∈ Z tali che x= π +n n ∈ Z } esatto !

4. (5pt) a) Usando l’algoritmo euclideo, calcolare il massimo comun divisore di 42 e 138

b) Stabilire se l’equazione 42x + 138y = 48 ha soluzioni intere e, se, si, determinarle tutte

MCD(138,42)

138=42*3+12 12=138-42*3 42=12*3+6 6=42-12*3

12=6*2+0 OK ! 6 è il M.C.D. cercato !

6=42-12*3

42-[138-42(3)]*3=

42-138(3)+42(9)=

42(10)+138(-3) 42(10)+138(-3)=6 42(80)+138(-24)=48 42x + 138y=0

7x + 23y=0 (23t;-7t)

(23t+80;-7t-24) al variare di t in Z esatto !

4 5. (5pt) Utilizzando il teorema di Fermat si calcoli il resto della divisione

tra 7

e 17.

¯7

=¯1 (¯7

)

*¯7

= (¯1)

*¯7

¯7

¯3 3 è il resto cercato! esatto !

6. (4pt) Usando il principio di induzione provare che per ogni n >= 1 si ha:

1

+ 3

+ 5

+ ... + (2n − 1)

= n(4n

− 1) 3 n=1 (2-1)

= 1(4 − 1),

3

1=1

n+1

1

+ 3

+ 5

+ ... + (2n − 1)

+(2n+1)

= (n+1)(4n

+8n+3) questa è la tesi 3

n(4n

− 1) +(2n+1)

3

4n

− n+12n

+3+12n 3

4n

+12n

+11n+3 c.v.d. è meglio ancora un passaggio che 3 giustifichi :

4n

+12n

+11n+3 = (n+1)(4n

+8n+3)