PROVE TRIASSIALI
PROVE TRIASSIALI
Tipologie di prova Tipologie di prova
σ1
σ2 σ3
σ1
σ3 σ3
σ1
σ2
σ1
σ1 σ1
σ1 Compressione
triasiale vera
Stato piano di compressione
Compressione isotropa
Compressione cilindrica (triassiale)
Compressione semplice
Tensore della tensione Tensore della tensione
=
=
z y x
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
z y x
j ji i
n n n t
t t
n t
σ τ
τ
τ σ
τ
τ τ
σ σ
y z
x
tr
nr
Tetraedro di Cauchy
Tensioni principali Tensioni principali
σ2
σ3 σ1
Stato tensionale piano Stato tensionale isotropo
Stato tensionale assialsimmetrico
Convenzioni di segno per le tensioni Convenzioni di segno per le tensioni
y z
x
σy τyz τyx τxy τxz σx
τzy σz τzx
y z
x
σy τyz τyx τxy τxz σx
τzy σz τzx
Meccanica dei solidi Meccanica dei terreni
Invarianti del tensore delle tensioni Invarianti del tensore delle tensioni
( ) ( )
[ ]
3 2 1 3
1 3 3
2 2
1 2
2 2
3 2
1 1
det 2 1
σ σ σ σ
σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ σ
σ σ
σ
=
=
+ +
=
−
=
−
=
+ +
=
=
=
I
tr tr
I
tr I
ij ij jj
ii ii
Decomposizione del tensore della tensione Decomposizione del tensore della tensione
−
−
− +
=
p p
p p
p p
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
σ τ
τ
τ σ
τ
τ τ
σ σ
τ τ
τ σ
τ
τ τ
σ
0 0
0 0
0 0
3 3
1 I1 p = σii =
ij ij
ij = pδ + s
σ
tensore della pressione media
deviatore di tensione
Pressione media
Tensione ottaedrica (1) Tensione ottaedrica (1)
( )( )
( )
=
=
3 3 3
3 1
3 1
3 1
0 0
0 0
0 0
3 2 1
3 2
1
σ σ σ σ
σ σ
oct z oct y oct x
t t t
σ2
3 , 1 3 , 1 3 nr 1
σ3
σ1
troct
σoct τoct
(
1 2 3)
3
1 σ σ σ
σoct =troct ⋅nr = + +
2 2 2
oct oct
oct +τ = tr σ
( ) ( ) ( ) ( ) (
3 1)
22 3 2
2 2 1
2 3 2
1 2
3 2
2 2
1 3
1 9
1 3
1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
τoct = + + − + + = − + − + −
Tensione ottaedrica (2) Tensione ottaedrica (2)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
03 1
3 1 3
1
2 2
2
3 2
1
=
− +
− +
−
=
+ +
= +
+
=
p p p
p p
p
p p p
oct oct
τ
σ σ
σ σ
Per il tensore della pressione media:
( ) ( ) ( )
[ ]
(
1 2) (
2 2 3) (
2 3 1)
23 2
1
3 1 3 0 1
σ σ
σ σ
σ σ
τ
σ σ
σ σ
− +
− +
−
=
=
− +
− +
−
=
oct
oct p p p
Per il deviatore delle tensioni:
σoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensione
Tensione ottaedrica (3) Tensione ottaedrica (3)
( )
2 2 1 1
3 3
2 2
2 1 3 2
2 2
1
3 1 2
1
3 3 2 3
2
3 3
1
I I
I
oct oct
−
=
−
−
− +
+
=
= +
+
=
σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
τ
σ σ
σ σ
Le tensioni ottaedriche sono invarianti di tensione
( )
(
1 2) (
2 2 3) (
2 3 1)
23 2
1
2 1 2
3
3 1
σ σ
σ σ
σ σ τ
σ σ
σ σ
− +
− +
−
=
=
+ +
=
=
oct oct
q p
Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:
Stati di tensione assialsimmetrici Stati di tensione assialsimmetrici
q
σ3+∆σ
p’,p σ3+∆σ
σ3+∆σ’
σ’ σ’ +∆σ σ σ +∆σ
uw=cost.
q
σ3
p’,p σ3+∆σ
σ3
σ’ σ’ +∆σ/3 σ σ +∆σ/3 uw=cost.
( )
( )
q q
u p p
p
w
=
−
=
−
=
+
= +
=
+
=
3 1 3 1
3 1
3 1
' ' '
' 3 2
1
' 2 3 '
' 1
σ σ σ
σ
σ σ
σ σ
Cerchio
Cerchio di Mohr di Mohr
σy
τxy σx τyx
y
x σn
τn
(σx,τxy) α
σn τn
(σy,τyx)
(σy,τyx) P=polo
τn positiva se suggerisce rotazione antioraria
α
Stati
Stati tensionali tensionali piani piani
σ’1
σ’3 σ’, σ
τ
σ1 σ3
u
2 2 2
' ' '
2 ' ' '
3 1
3 1
3 1
3 1
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
= −
= +
= −
= +
t s t
s (raggio)
(centro)
' ' t t
u s s
= +
=
t’
s’
Tensore
Tensore della della deformazione deformazione
=
=
z y x s
s s
x s
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
z y x
j ji i
ε γ
γ
γ ε
γ
γ γ
ε ε
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
y z
x
sr xr
Invarianti
Invarianti di di deformazione deformazione
( ) ( )
[ ]
3 2 1 3
1 3 3 2 2 1 2
2 2
3 2 1 1
det 2 1
ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε
ε ε
ε ε
ε
ε ε ε ε
ε
=
=
+ +
=
−
=
−
=
+ +
=
=
=
I
tr tr
I
tr I
ij ij jj ii ii
Decomposizione del tensore della Decomposizione del tensore della
deformazione deformazione
−
−
− +
=
3 2
1 2
1 2
1 3
2
1 2
1 2
1 3
0 3 0
3 0 0
0 3 0
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
z v yz
xz
v zy y xy
zx v yx
x
v v v
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
ε ε γ
γ
ε γ ε γ
γ ε γ
ε ε
ε ε
ε γ
γ
γ ε
γ
γ γ
ε
I1 ii
v =ε =
ε
ij v ij
ij = ε δ + e
ε 3
tensore isotropo deviatore di deformazione (distorsione)
Deformazione volumetrica
Deformazione ottaedrica (1) Deformazione ottaedrica (1)
( )( )
( )
=
=
3 3 3
3 1
3 1
3 1
0 0
0 0
0 0
3 2 1
3 2 1
ε ε ε ε
ε ε
oct z oct y oct x
s s s
ε2
3 , 1 3 , 1 3 nr 1
ε3
ε1
sroct
εoct
(1/2)γoct
(
1 2 3)
3
1⋅εoct = sroct ⋅nr = 1 ε +ε +ε
2 2 2
4 1 1
1 oct oct = sroct
⋅ +
⋅ε γ
( ) ( ) ( ) ( ) (
3 1)
22 3 2 2
2 1 2
3 2 1 2
3 2
2 2
1 3
2 9
1 3
2 1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
γ oct = + + − + + = − + − + −
3 , 1 3 , 1 3 xr 1
Deformazione ottaedrica (2) Deformazione ottaedrica (2)
( )
3 0 3
3 3
3 3
3 2
3 1 3
3 3
3 1
2 2
2
3 2 1
=
−
+
−
+
−
=
+ +
=
+ +
=
v v
v v
v oct v
v v
oct v
ε ε
ε ε
ε γ ε
ε ε ε ε
ε ε ε
Per il tensore della deformazione media:
(
1 2) (
2 2 3) (
2 3 1)
23 2
1
3 2
3 0 3
3 3
1
ε ε ε
ε ε
ε γ
ε ε ε ε
ε ε ε
− +
− +
−
=
=
−
+
−
+
−
=
oct
v v
oct v
Per il deviatore della deformazione:
εoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioni
γoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioni
Deformazione ottaedrica (3) Deformazione ottaedrica (3)
( )
2 2 1 1
3 3 2 2 2 1
3 2
2 2
1 3 1 2 1
3 3 2 2 3
2 2
3 3
1
I I
I
oct oct
−
=
−
−
− +
+
=
= +
+
=
ε ε ε ε ε ε ε
ε ε
γ
ε ε ε ε
Le deformazioni ottaedriche sono invarianti di deformazione
(
1 2) (
2 2 3) (
2 3 1)
23 2 1
3 2 2
1 3
ε ε ε
ε ε
ε γ
ε
ε ε ε ε
ε
− +
− +
−
=
=
+ +
=
=
q oct
oct v
Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:
Lavoro di deformazione (terreno saturo) Lavoro di deformazione (terreno saturo)
F1
F2
F3 a2
a3 a1
( ) ( ) ( ) ( )
v w
w w w
w
V u W
V u V a
a a
a F a
a a
a F a
a a
a F V
W
V u a
F a
F a
F W
δε δε
σ δε σ δε δ σ
δ δ
δ δ
δ
δ δ
δ δ
δ
− +
+
=
−
−
+
−
+
−
=
−
− +
− +
−
=
3 3 2 2 1 1
3 3 2
1 3 2
2 3
1 2 1
1 3
2 1
3 3
2 2
1 1
3 3 2
2 1
1 ' '
' δε σ δε σ δε
δ σ
+ +
V = W
Variabili coniugate (stati di tensione e Variabili coniugate (stati di tensione e
deformazione assialsimmetrici) deformazione assialsimmetrici)
( )
3 1
3 1
' ' '
' 2 3 '
' 1
σ σ
σ σ
−
=
+
= q
p
( 1 3)
3 1
3 2
2 ε ε ε
ε ε
ε
−
= +
=
q v
( ) ( ) ( )
V q W
p δεv δεq σ σ ε + ε + σ −σ ε −ε =σ δε + σ δε = δ
+
=
+ 1 3 1 3 1 3 1 3 '1 1 2 '3 3
3 ' 2 '
3 2 ' 2 ' '
Condizioni al contorno nelle prove di Condizioni al contorno nelle prove di
laboratorio laboratorio
• Controllo/misura degli spostamenti totali
• Controllo/misura delle forze totali
• Controllo/misura delle pressioni dell’acqua interstiziale
• Controllo/misura del volume dell’acqua interstiziale
L L ’ ’ apparecchiatura triassiale apparecchiatura triassiale
σc
F
δ
Volumometro
rubinetto pressione di cella
cella di carico
δV
ua
membrana
trasduttore di spostamento
Prova in condizioni drenate Prova in condizioni drenate
L’acqua può liberamente uscire o entrare dal provino per garantire l’equilibrio con la pressione dell’acqua nella buretta (uw≅0)
I volumi di acqua entranti o uscenti dal provino sono misurati mediante la buretta (la variazione del volume dell’acqua coincide con la variazione del volume totale)
σc
F
δ
APERTO
δV
ua
Prova in condizioni non drenate Prova in condizioni non drenate
σc
F
δ
CHIUSO
δV
ua
Tensioni e deformazioni in Tensioni e deformazioni in
una prova triassiale una prova triassiale
Pressione assiale σa=σc (1-a/A)+F/A
Pressione radiale σr=σc
D + ∆D
Deformazione radiale εr = -∆D/D
H + ∆H
Deformazione assiale εa = -∆H/H
Invarianti di tensione e deformazione Invarianti di tensione e deformazione
( )
3 1
3 1
' ' '
' 2 3 '
' 1
σ σ
σ σ
−
=
+
= q
p ( 1 3)
3 1
3 2
2 ε ε ε
ε ε
ε
−
= +
=
q v
( )
'
' 3 2
1
3 1
3 1
q q
u p
p w
≡
−
=
+
= +
=
σ σ
σ σ
Tensione efficace
Tensione totale
Deformazione
Le condizioni iniziali di un provino triassiale Le condizioni iniziali di un provino triassiale
uw0< 0 σ’r= -uw0 >0 ;
La pressione efficace deve essere positiva perché il provino possa autosostenersi Poiché la pressione totale è nulla, ne consegue che la pressione interstiziale è negativa
uw0< 0 σr=0 ;
σa = 0 σ’a= -uw0 >0 ;
Tensioni totali Tensioni efficaci
Saturazione di un provino triassiale Saturazione di un provino triassiale
uw≅0 σr>0 σa = σr >0
Se ∆σr=∆σa=∆σ ed il campione è saturo:
∆uw=∆σ
Applicazione della pressione isotropa in Applicazione della pressione isotropa in
condizioni drenate condizioni drenate
uw= cost. σr+∆σ
∆σa= ∆σr= ∆σ
La pressione interstiziale assume il valore imposto dalle condizioni al contorno. La variazione di pressione di cella coincide con la variazione di pressione efficace, sia radiale, sia assiale
σa+∆σ
uw= cost.
σ’a+∆σ
σ’r+∆σ
Tensioni totali Tensioni efficaci
Applicazione della pressione isotropa in Applicazione della pressione isotropa in
condizioni non drenate condizioni non drenate
La pressione interstiziale si incrementa di un valore pari al’incremento della pressione uw0. σr+∆σ
σa+∆σ
uw0+∆σ.
σ’a
∆σa= ∆σr= ∆σ
σ’r
Tensioni totali Tensioni efficaci
Applicazione dello sforzo deviatorico in Applicazione dello sforzo deviatorico in
condizioni drenate condizioni drenate
La pressione interstiziale si mantiene sempre costante. La pressione di cella e quindi la pressione efficace radiale σ’r è mantenuta costante e viene incrementata la
pressione assiale σ e quindi q uw= cost. σr
∆σa>0, ∆σr= 0
σa+∆σ
uw= cost.
σ’a+∆σa
σ’r
Tensioni totali Tensioni efficaci
Applicazione dello sforzo deviatorico in Applicazione dello sforzo deviatorico in
condizioni non drenate condizioni non drenate
La pressione interstiziale varia. La pressione efficace radiale σ’r e la pressione efficace uw0. σr
σa+∆σ
uw0+∆uw.
σ’a+∆σa-∆uw
σ’r-∆uw
∆σa>0, ∆σr= 0
Tensioni totali Tensioni efficaci
Prova consolidata drenata (CD) Prova consolidata drenata (CD)
p’,p q,q’
Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. =3
∆
∆ p q Fase di taglio
∆uw=0 3
' =
∆
∆ p
q Efficaci
Totali 1
2 3
Saturazione Consolidazione Taglio
1 2
3
1 3
1 2
3
p’,p q,q’
Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. =3
∆
∆ p q Fase di taglio
∆q ≠ Efficaci
Totali 1
2 3
Saturazione Consolidazione Taglio
1 2
3
1 3
1 2
3
Prova consolidata non drenata (CU)
Prova consolidata non drenata (CU)
p’,p q,q’
Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. =3
∆
∆ p q Fase di taglio
∆uw≠0 3
' ≠
∆
∆ p
q Efficaci
Totali
2 3
Consolidazione Taglio
2
3
1 3
2
3
Prova non consolidata non drenata (UU)
Prova non consolidata non drenata (UU)
Risposta dei terreni ad elevata porosit
Risposta dei terreni ad elevata porosit à à in in condizioni drenate
condizioni drenate
q
εa
εv = ∆V/V
εa
Risposta dei terreni a bassa porosit
Risposta dei terreni a bassa porosit à à in in condizioni drenate
condizioni drenate
q
εa
εv = ∆V/V
εa
La risposta è del tutto simile a quella osservata in prove di taglio diretto, con la varabile q in luogo della variabile τ.
Percorsi nei piani di tensione e di Percorsi nei piani di tensione e di
compressione in prove drenate compressione in prove drenate
p’
q’
1 3
v
Risposta dei terreni a elevata porosit
Risposta dei terreni a elevata porosit à à in in condizioni non drenate
condizioni non drenate
q
εa
uw
εa
Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe a diminuire. Poiché il volume è forzato a
mantenersi costante, l’acqua reagisce quindi incrementando la sua pressione. La pressione
Risposta dei terreni a bassa porosit
Risposta dei terreni a bassa porosit à à in in condizioni non drenate
condizioni non drenate
uw q
εa
εa
Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe ad aumentare. Poiché il volume è forzato a
Percorsi nei piani di tensione e di Percorsi nei piani di tensione e di compressione in prove non drenate compressione in prove non drenate
p’
q’
1 3
v
Stato critico Stato critico
p’
q’
1 3
v
q=Mp’
v=Γ-λ ln p’
Previsione della resistenza ultima Previsione della resistenza ultima
Condizioni drenate q=Mp’
v=Γ-λ ln p’
q=3(p’-p’0)
p’
q’
13
p’
v
p’0
Condizioni non drenate q=Mp’
p’
q’
p’
v
p’0 v=Γ-λ ln p’
v=cost.
Inviluppi di rottura Inviluppi di rottura
(condizioni drenate e non drenate) (condizioni drenate e non drenate)
τ
σ’
resistenza di picco τ
σ’
resistenza ultima
σ’a σ’r
σ’a σ’r
Criterio di resistenza di Mohr
Criterio di resistenza di Mohr - - Coulomb Coulomb
σ’
resistenza di picco
resistenza ultima φ’
φ’
φ’ultimo
c’ c’
τ
τ = σ’ tan φ’ultimo
resistenza ultima:
resistenza di picco τ = c’ + σ’ tan φ’
Previsione della resistenza in Previsione della resistenza in
condizioni non drenate condizioni non drenate
Analisi in termini di pressioni efficaci τ = c’ + (σ−uw0-∆uw) tan φ’
E’ necessario prevedere l’incremento della pressione interstiziale ∆uw
Analisi in termini di pressioni totali τ = cu + σ tan φu
Caratterizzo la resistenza in termini di tensioni totali a condizioni di eseguire prove che rispettinoi il vincolo di
condizione non drenata (volume costante)
Resistenza a taglio in condizioni non drenate Resistenza a taglio in condizioni non drenate
Prove UU applicando differenti pressioni di cella
Inviluppi di rottura in C.N.D.
Inviluppi di rottura in C.N.D.
σ τ
σ’a
σ’r σr σa
cu
Se il terreno è saturo, dopo l’applicazione della pressione di cella, lo stato tensionale
efficace dei tre campioni non cambia. Ne consegue che qualunque sia la pressione di cella σr=σc, il provino si trova sempre nelle stesse condizioni. Lo sforzo deviatorico che determina la rottura è quindi lo stesso qualunque sia la pressione di cella. Questo dà luogo ad un
Criterio di resistenza di Mohr
Criterio di resistenza di Mohr - - Coulomb in Coulomb in termini di tenzioni totali (c.n.d.)
termini di tenzioni totali (c.n.d.)
τ = cu
σ τ
cu
In condizioni non drenate, si assume che la resistenza sia indipendente dalla pressione totale σ.
