Esercizi sulla cinematica dei processi di diffusione

(1)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 1 Paolo Maestro

Esercizi sulla cinematica dei processi di diffusione

1) Una verifica sperimentale delle leggi di trasformazione di massa ed energia fu fatta da Compton, misurando la lunghezza d’onda di raggi X diffusi da un materiale (carbone) in funzione dell’angolo di diffusione. Assumendo l’ipotesi Planck dei quanti di luce (fotoni), il processo si può interpretare come l’urto elastico di un fotone di energia hn su un elettrone inizialmente fermo. Calcolare l’energia e la lunghezza d’onda del fotone dopo l’urto in funzione dell’angolo di diffusione.

2) Un pione di energia 1.5 GeV decade in un muone e un neutrino Calcolare l’impulso del muone nel sistema del centro di massa (SCM).

Calcolare inoltre l’impulso nel sistema del laboratorio (LAB) sapendo che il muone nel SCM è emesso ad un angolo di 20° rispetto alla direzione di moto del pione.

π

⁻ →

µ

⁻+

ν

_µ

(2)

3) Sapendo che la massa a riposo di un elettrone è 9.109×10^-31kg, calcolare l’energia a riposo in J e eV.

Calcolare il momento di un elettrone che ha energia cinetica 1 MeV.

4) Il mesone K⁰ decade a riposo in due p₀. Se la massa a riposo del K⁰ è 498 MeV/c² e quella del p₀ 135 MeV/c², qual è l’energia di ciascun p₀ ?

5) Consideriamo l‘urto di due particelle m₁ e m₂ .Calcolare la massa invariante nei due seguenti casi:

A) La particella m₂ è ferma nel sistema del LAB (collisione a targhetta fissa) B) Le due particelle hanno impulsi uguali e opposti (collisore di particelle)

In entrambi i casi si assuma E₁>>m₁ e m₂ . Considerare come esempio numerico E₁=100 GeV.

6) Calcolare l’energia di soglia delle seguenti reazioni considerando come bersaglio la seconda particella dello stato iniziale

7) Un antiprotone di impulso 0.65 GeV/c collide su una targhetta di idrogeno.

E’ possibile che avvenga la reazione ? Spiegare il motivo.

8) Consideriamo la reazione p+p ® D⁺+p . Che energia deve avere il protone per produrre una D⁺, nel sistema del CM e del LAB? (Massa D+ = 1238±100 MeV/c², massa protone = 938 MeV/c²)

γ + N → e

⁺

+ e

⁻

+ N

π

⁻

+ p → Λ

⁰

+ K

⁰

p + p → p + p + p + p

p + p → Λ + Λ

(3)

9) Il Bevatron di Berkeley è stato progettato per produrre antiprotoni tramite la reazione

Qual è l’energia con cui un protone deve colpire un protone a riposo per creare una coppia protone- antiprotone oltre alle particelle originali?

Se invece i protoni fossero accelerati in un collider, quale sarebbe la loro energia minima per produrre le 4 particelle dello stato finale?

10) BaBar è un detector progettato per studiare i decadimenti del mesone B. Che distanza media L percorrono i mesoni B con momento p = 3 GeV/c nel detector prima di decadere sapendo che la vita media è t_o = 1.54 ps e la massa m_B= 5.28 GeV/c²

11) Calcolare √s per due protoni di energia pari a 300 GeV che collidono ad un angolo di 60° nel sistema di laboratorio. A che velocità si muove il centro di massa ?

12) Si osserva il decadimento di una particella in due fotoni. L'angolo di apertura è 20° e le energie dei due fotoni sono misurate essere 100 MeV e 150 MeV rispettivamente. Determinare la massa della particella originaria e il momento nel sistema del laboratorio prima del decadimento

p + p → p + p + p + p

(4)

Es. 1 Cinematica dell’effetto Compton

Una verifica sperimentale delle leggi di trasformazione di massa ed energia fu fatta da Compton, misurando la lunghezza d’onda di raggi X diffusi da un materiale (carbone) in funzione dell’angolo di diffusione.

Assumendo l’ipotesi Planck dei quanti di luce (fotoni), il processo si può interpretare come l’urto elastico di un fotone di energia hn su un elettrone inizialmente fermo.

Calcolare l’energia e la lunghezza d’onda del fotone dopo l’urto in funzione dell’angolo di diffusione.

Soluzione

Il fotone è una particella a massa nulla, quindi

Per l’elettrone invece vale

E

²_f

− c

²

!

p

_f ²

= 0 h

²

ν

²

− c

²

!

p

_f ²

= 0 ⇒ !

p

_f

= hν c

E

_e²

− !

p

_e ²

= m

_e²

c

²

(5)

P

_f

+ P

_e

= P

_f^'

+ P

_e^'

h ν ^{, c} ^h ν

c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎟ + m ⎠ (

e

c

²

, 0 ) ^{= h} ( ^ν

^'

^{, c} ^p ^!

^'^f

) ^{+ E} (

^e^'

^{, c} ^p ^!

^e^'

)

P

_f

+ P

_e

( )

²

^{= P} (

^f^'

^{+ P}

^e^'

)

²

h ν + m

_e

c

²

( )

²

^{− c}

²

^⎛ _⎝ ^⎜ ^h _c ^ν ^⎞ _⎠ ^⎟

2

= h ( ν

^'

+ E

_e^'

)

²

^{− c}

²

( ^p ^!

^'^f

⁺ ^p ^!

^e^'

)

²

m

_e²

+ 2h ν ^m

_e

= h

²

ν

^{' 2}

+ E

_e^{' 2}

+ 2h ν

^'

^E

_e^'

− !

p

^'_f ²

− !

p

_e^{' 2}

− 2 ! p

^'_f

⋅ !

p

_e^'

Studiamo l’urto nel SR in cui l’elettrone è inizialmente fermo.

Applichiamo la conservazione del quadrimomento

h ν + m

_e

( )

²

^{− h}

²

^ν

²

^{= h} ( ^ν

^'

^{+ E}

^e^'

)

²

⁻ ( ^p ^!

^'^f

⁺ ^p ^!

^e^'

)

²

m

_e²

+ 2h ν ^m

e

= h

²

ν

^{' 2}

+ E

_e^{' 2}

+ 2h ν

^'

^E

e

'

− !

p

^'_f ²

− !

p

_e^{' 2}

− 2 !

p

^'_f

⋅ ! p

_e^'

h ν ^m

_e

= h ν

^'

^E

_e^'

− !

p

^'_f

⋅ ! p

_e^'

p si misura in MeV/c, la massa in MeV/c

²

, l’energia in MeV, pertanto si può assumere con queste unità di misura la convenzione c=1.

Utilizzando la conservazione della quantità di moto

^p^!f

si trova

' + !

p_e^' = ! p_f

p !

^'_f

⋅ !

p

_e^'

= !

p

^'_f

⋅ !

p

_f

− ! p

^'_f

( ) ⁼ ^p ^!

^'^f

^⋅ ^p ^!

^f

⁻ ^p ^!

^{' 2}^f

^{= h} ^ν ^h ^ν

^'

^cos ^φ ^{− h}

²

^ν

^'2

(6)

h ν ^m

e

= h ν

^'

^E

e

'

− h ν ^h ν

^'

^cos φ + h

²

ν

^{' 2}

h ν ^m

e

= h ν

^'

( ^h ν + m

_e

− h ν

^'

) ^{− h} ^ν ^h ^ν

^'

^cos ^φ ^{+ h}

²

^ν

^{' 2}

ν ^m

e

= ν

^'

( ^h ν + m

_e

− h ν ^cos φ )

ν

^'

= ν

1+ h ν

m

_e

( 1− cos φ )

Inoltre utilizzando la conservazione dell’energia

Sostituendo queste due ultime relazioni nell’equazione

E

_e^'

+ h ν

^'

= h ν + m

_e

h ν

^'

= h ν 1+ h ν

m

_e

c

²

( 1− cos φ )

λ

^'

= c

ν

^'

⁼ λ + h

m

_e

c ( 1− cos φ )

h

m c = λ

_C

= 0.242631⋅10

⁻¹⁰

m Lunghezza d’onda Compton dell’elettrone λ

^'

− λ = h

m

_e

c ( 1− cos φ )

(7)

Es. 2 Cinematica del decadimento a due corpi

Un pione di energia 1.5 GeV decade in un muone e un neutrino

Calcolare l’impulso del muone nel sistema del centro di massa (SCM).

Calcolare inoltre l’impulso nel sistema del laboratorio (LAB) sapendo che il muone nel SCM è emesso ad un angolo di 20° rispetto alla direzione di moto del pione.

Soluzione

Il problema rientra nel caso generale della cinematica di un decadimento a due corpi.

Siano M la massa della particella che decade, e m

₁

e m

₂

le masse dei prodotti di decadimento. Indichiamo con p

₁^*

E

₁^*

la quantità di moto e l’energia della particella 1 nel SCM, e analogamente per la particella 2.

Studiamo il decadimento nel SCM, che coincide con il sistema di quiete di M. Nel SCM m

₁

e m

₂

sono emessi con quantità di moto uguali e opposte.

Possiamo scrivere la conservazione del quadrimomento nel SCM

Osserviamo che il decadimento è possibile solo se

π

⁻

→ µ

⁻

+ ν

_µ

P = P

₁

+ P

₂

( M, 0 ) ^{= E} (

¹^*

^, ^p ^!

¹^*

) ^{+ E} (

²^*

^{, −} ^p ^!

¹^*

)

M = E (

₁^*

+ E

₂^*

) ^p ^!

²^*

^{= −} ^p ^!

¹^*

p !

₁^*

M

SCM θ

^*

β ! = p ! E

M ≥ m

₁

+ m

₂

(8)

Usando le relazioni relativistiche che legano energia e impulso

e quadrando la conservazione dell’energia, abbiamo

E con un po’ di passaggi algebrici si ricavano energie e momenti delle particelle nel SCM M

²

= E (

₁^*

+ E

₂^*

)

²

^{= E}

¹^*2

^{+ E}

²^*2

^{+ 2E}

¹^*

^E

²^*

^{= 2E}

¹^*2

^{− m}

¹²

^{+ m}

²²

^{+ 2E}

¹^*

^E

¹^*2

^{− m}

¹²

^{+ m}

²²

E

₁^*2

= p

₁^*2

+ m

₁²

E

₂^*2

= p

₂^*2

+ m

₂²

= p

₁^*2

+ m

₂²

⇒ E

₂^*2

= E

₁^*2

− m

₁²

+ m

₂²

M

²

= E (

₁^*

+ E

₂^*

)

²

^{= E}

¹^*2

^{+ E}

²^*2

^{+ 2E}

¹^*

^E

²^*

^{= 2E}

¹^*2

^{− m}

¹²

^{+ m}

²²

^{+ 2E}

¹^*

^E

¹^*2

^{− m}

¹²

^{+ m}

²²

M

²

− 2E

₁^*2

+ m

₁²

− m

₂²

( )

²

^{= 4E}

¹^*2

( ^E

¹^*2

^{− m}

¹²

^{+ m}

²²

)

M

⁴

+ 4E

₁^*4

+ m (

₁²

− m

₂²

)

²

^{− 4M}

²

^E

¹^*2

^{+ 2M}

²

( ^m

¹²

^{− m}

²²

) ^{− 4E}

¹^*2

( ^m

¹²

^{− m}

²²

) ^{= 4E}

¹^*4

^{− 4E}

¹^*2

( ^m

¹²

^{− m}

²²

)

M

⁴

+ m (

₁²

− m

₂²

)

²

^{− 4M}

²

^E

¹^*2

^{+ 2M}

²

( ^m

¹²

^{− m}

²²

) ^{= 0}

4M

²

E

₁^*2

= M ⎣ ^⎡

²

+ m (

₁²

− m

₂²

) ⎤

⎦

2

E

₁^*

= M

²

+ m

₁²

− m

₂²

2M

E

₂^*

= M

²

− m

₁²

+ m

₂²

2M

p

₁^*

= − p

₂^*

= E

₁^*2

− m

₁²

= M

⁴

+ m (

₁²

− m

₂²

)

²

^{− 2M}

²

( ^m

¹²

^{+ m}

²²

)

4M

²

(9)

Casi particolari:

1) m

₁

=m

₂

=0

2) m

₂

=0 cinematica decadimenti e.m. con emissione fotone o deboli con emissione neutrino

3) m

₁

=m

₂

Fin qui la trattazione generale. Il problema specifico dato, rientra nel caso 2).

Massa pione= 140 MeV/c

²

Massa muone= 105 MeV/c

²

E

₁^*

= M

²

+ m

₁²

2M E

₂^*

= M

²

− m

₁²

2M

E

₁^*

= E

₂^*

= M

2 p

₁^*

= M

²

4 − m

₁²

p

₁^*

= M

²

− m

₁²

2M E

₁^*

= E

₂^*

= M

2 = p

₁^*

π

⁰

→ γ γ

E

_µ^*

= m

_π²

+ m

_µ²

2m

_π

= ( 140 )

²

^{+ 105} ( )

²

2 ⋅140 = 109.375 MeV

p

_µ^*

= m

_π²

− m

_µ²

2m

_π

= ( 140 )

²

^{− 105} ( )

²

2 ⋅140 = 30.625 MeV/c

(10)

Osservazione:

il decadimento a due corpi è monoenergetico perché l’energia dei prodotti può assumere un solo valore.

Non è così per decadimenti a tre o più corpi. L’esistenza del neutrino è stata ipotizzata proprio osservando la distribuzione continua dell’energia dell’elettrone nel decadimento del neutrone

(n → p + e

⁻

+ ν

e

).

(11)

Per calcolare l’impulso del muone nel SLAB, dobbiamo usare le trasformazioni di Lorentz del quadrimpulso dal SCM a SLAB

Per trovare b e g del CM, utilizziamo le trasformazioni inverse (da SLAB a SCM)

e applichiamole al momento del pione

Poiché nel SCM si ricava che la velocità del CM coincide con quella del pione

E p

_||

p

_⊥

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

⁰ β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

^*

p

_||^*

p

_⊥^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

β

_CM

= p

_π

E

_π

= ( ) 1.5

²

^{− 0.140} ( )

²

1.5 = 1.4934

1.5 = 0.9956 γ

_CM

= E

_π

m

_π

= 10.71 E

^*

p

_||^*

p

_⊥^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟ =

γ

_CM

− β

_CM

γ

_CM

⁰

− β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E p

_||

p

_⊥

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

p

_||^*_π

= γ

_CM

( p

_||_π

− β

_CM

γ

_CM

E

_π

)

p

_||^*_π

= 0

p !

_ν^*

= − ! p

_µ^*

p !

_µ^*

m

_π

SCM θ

^*

!

β

_CM

=

p !

_π

E

_π

(12)

Applichiamo ora la trasformazione da SCM a SLAB al caso del muone considerando che q

_µ^*

=20°

E

_µ

p

_||µ

p

_⊥µ

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

=

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

0 β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

_µ^*

p

_||µ^*

p

_⊥µ^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

=

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

0 β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

_µ^*

p

_µ^*

cos θ

_µ^*

p

_µ^*

sin θ

_µ^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

E

_µ

p

_||µ

p

_⊥µ

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

⎟

=

10.71 0.9956 ⋅10.71 0 0.9956 ⋅10.71 10.71 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

109.375 30.625⋅ cos(20°)

30.625⋅sin(20°)

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

=

1478.26 1474.47

10.47 ⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

p !

_ν

p !

_µ

m

_π

LAB

θ

₁

!

p

_π

θ

₂

(13)

E p

_||

p

_⊥

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

⁰ β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

^*

p

_||^*

p

_⊥^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

E pcos θ

psin θ

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

=

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

⁰ β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

^*

p

^*

cos θ

^*

p

^*

sin θ

^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

p !

₂

p !

₁

M

LAB

θ

₁

!

θ

₂

p

è L’impulso trasverso è un invariante di Lorentz

E = γ

_CM

( ^E

^*

+ p

^*

β

_CM

^cos θ

^*

)

p cos θ = γ

_CM

( β

_CM

E

^*

+ p

^*

cos θ

^*

)

psin θ = p

^*

sin θ

^*

tan θ = p

^*

sin θ

^*

γ

_CM

β

_CM

^E

*

p

^*

+ cos θ

^*

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

E’ utile anche la relazione che lega gli angoli nel SLAB a quelli nel SCM

(14)

Es. 3 Massa e energia

Sapendo che la massa a riposo di un elettrone è 9.109×10

^-31

kg, calcolare l’energia a riposo in J e eV.

Calcolare il momento di un elettrone che ha energia cinetica 1 MeV.

E

₀

= m

_e

c

²

= 9.109 ×10

⁻³¹

× 2.99792458 ×10 (

⁸

)

²

= 81.8676 ×10

⁻¹⁵

J E

₀

= 81.8676 ×10

⁻¹⁵

J eV

1.6 ×10

⁻¹⁹

J = 511×10

³

eV = 511 keV E = E

_k

+ m

_e

c

²

= 1.511 MeV

p= E

²

− m

_e²

c

⁴

= 1.422 MeV/c

(15)

Es. 4 Decadimento del K

⁰

Il mesone K

⁰

decade a riposo in due p

₀

. Se la massa a riposo del K

⁰

è 498 MeV/c

²

e quella del p

₀

135 MeV/c

²

, qual è l’energia di ciascun p

₀

?

Soluzione

Il sistema del LAB coincide con SCM

M

_K0

, 0

( ) ^{= E}

¹π⁰

, ! p

₁

( ) ^{+ E}

²π⁰

, − ! p

₂

( )

E

₁

π⁰

= m

_π²⁰

+ ! p

₁ ²

E

₂_π0

= m

_π²⁰

+ !

p

₂ ²

p !

₁

= − !

p

₂

⇒ E

₁_π⁰

= E

₂_π⁰

= E

_π⁰

M

_K0

= 2E

_π⁰

E

_π0

= M

_K0

2 = 249 MeV

(16)

Es. 5 Consideriamo l‘urto di due particelle m

₁

e m

₂

.Calcolare la massa invariante nei due seguenti casi:

A) La particella m

₂

è ferma nel sistema del LAB (collisione a targhetta fissa) B) Le due particelle hanno impulsi uguali e opposti (collisore di particelle)

In entrambi i casi si assuma E

₁

>>m

₁

e m

₂

. Considerare come esempio numerico E

₁

=100 GeV.

Soluzione

A) collisione a targhetta fissa

Es: fascio di protoni da 100 GeV su targhetta H (protoni a riposo)

P

^µ

P

_µ

= E (

₁

+ E

₂

)

²

⁻ ( ^p ^!

¹

⁺ ^p ^!

²

)

²

P

^µ

P

_µ

= E (

₁

+ m

₂

)

²

⁻ ( ) ^p ^!

¹ ²

P

^µ

P

_µ

= s = E

₁²

+ m

₂²

+ 2E

₁

m

₂

− p

₁²

= m

₁²

+ m

₂²

+ 2E

₁

m

₂

≈ 2E

₁

m

₂

s ≈ 2E

₁

m

₂

s = 2E

₁

m

₂

= 200 ≈ 14 GeV

P₁^µ= E₁,! p₁

( )

⎯ ⎯⎯⎯ P →

₂^µ

= m (

₂

, 0 )

(17)

B) p

₁

=-p

₂

=p (collisore di particelle)

P

^µ

P

_µ

= P (

₁^µ

+ P

₂^µ

) ( ^P

^1µ

^{+ P}

^2µ

) ⁼

P

₁^µ

P

_1µ

+ P

₂^µ

P

_2µ

+ 2P

₁^µ

P

_2µ

=

= E

₁²

− p

₁²

+ E

₂²

− p

₂²

+ 2E

₁

E

₂

− 2 ! p

₁

⋅ !

p

₂

=

= m

₁²

+ m

₂²

+ 2E

₁

E

₂

− 2 p

²

cos θ = m

₁²

+ m

₂²

+ 2E

₁

E

₂

+ 2 p

²

E

₁

, E

₂

>> m

₁

, m

₁

⇒ E ≡ E

₁

≈ E

₂

≈ p P

^µ

P

_µ

= s ≈ 4E

²

s ≈ 2E

Es: due fasci di protoni da 100 GeV a collider s = 2E = 200 GeV

P₁^µ= E₁,!

(

p

)

⎯ ⎯⎯⎯ →

_P

2µ= E₂,−!

(

p

)

← ⎯⎯⎯ ⎯

Mentre in un esperimento a targhetta fissa la maggior parte dell’energia della particella

incidente è “sprecata” per fornire impulso al centro di massa del sistema invece di

renderla disponibile per l’interazione, in un esperimento al collider √s è l’energia nel

sistema di riferimento del CM (a impulso nullo); è quindi la quantità di energia disponibile

per l’interazione. E’ quindi la massima energia/massa per una particella prodotta dalla

annichilazione delle due particelle che collidono frontalmente.

(18)

γ + N → e

⁺

+ e

⁻

+ N π

⁻

+ p → Λ

⁰

+ K

⁰

m

_N

=0.938 GeV/c

²

m

_e

=0.511 MeV/c

²

m

_p-

= 140 MeV/c

²

m

_L0

= 1.116 GeV/c

²

m

_K0

= 0.494 GeV/c

²

Es. 6 Energia di soglia

Calcolare l’energia di soglia delle seguenti reazioni considerando come bersaglio la seconda particella dello stato iniziale

p + p → p + p + p + p

T

_s

= ( m

_N

+ 2m

_e

)

²

^{− m} ( )

^N ²

2m

_N

= 4m

_e²

+ 4m

_N

m

_e

2m

_N

= 2m

_e

1+ m

_e

m

_N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≈ 2m

e

= 1.022 MeV

T

_s

= ( 4m

_p

)

²

^{− 2m} (

^p

)

²

2m

_p

= 6m

_p

= 5.628 GeV T

_s

= ( m

_Λ0

+ m

_K⁰

)

²

^{− m} (

^p

^{+ m}

^π

)

²

2m

_p

= 0.76 GeV

Soluzione

Applichiamo la formula dell’energia di soglia nei tre casi

(19)

Es. 7 Urto anelastico

Un antiprotone di impulso 0.65 GeV/c collide su una targhetta di idrogeno.

E’ possibile che avvenga la reazione p + p → Λ + Λ ? Spiegare il motivo.

T

_s

+ m

_p

( )

²

^{= E}

^p²

^{= p}

^p²

^{+ m}

²^p

p

_p

= T

_s²

+ m

_p

T

_s

= 1.42 GeV/c

T

_s

= ( 2m

_Λ

)

²

^{− 2m} (

^p

)

²

2m

_p

= 2 m

_Λ²

− m

_p²

m

_p

= 0.78 GeV Soluzione

La massa di L è 1.116 GeV/c

²

, quella del protone 0.938 GeV/c

²

. Calcoliamo la soglia della reazione

e ricaviamo l’impulso corrispondente a T

_s

Poiché l’impulso dell’antiprotone è <1.42 GeV/c, la reazione non può avvenire.

(20)

Es. 8 Urto anelastico

Consideriamo la reazione p+p ® D

⁺

+p . Che energia deve avere il protone per produrre una D+, nel sistema del CM e del LAB?

Massa D+ = 1238±100 MeV/c

²

, massa del protone = 938 MeV/c

²

Soluzione

Calcoliamo l’energia di soglia dei protoni nel SCM

p !

_i^*

=

i

∑ ^p ^!

^*^f

⁼

f

∑ ⁰

2E

_p^*

= E

_p^{* f}

+ E

_Δ^*

≥ m

_p

+ m

_Δ

2E

_p^*s

= m

_p

+ m

_Δ

E

_p^*s

= m

_p

+ m

_Δ

2 = 1238 + 938

2 = 1088 MeV T

_p^*s

= E

_p^*s

− m

_p

= m

_Δ

− m

_p

2 = 150 MeV

p

^*s_p

= E

_p^*s

− m

_p²

= 551 MeV/c

(21)

L’energia del protone incidente si ricava applicando la trasformazione di Lorentz Alle variabili calcolate nel SCM.

Per ricavare la velocità del CM consideriamo che nel SLAB il protone della targhetta (indichiamolo con 2) è fermo.

E

₁

= γ ( E

_p^*

+ β

^*

p

_p^*

)

E

₁

= γ

^*

( ^E

_p^*

+ β

^*

^p

_p^*

) = 1.16 1088 + 0.506 ⋅ 551 ( ) ^{= 1585 MeV}

T

₁

= E

₁

− m

_p

= 647 MeV

p !

₂

= γ

^*

− !

p

^*_p

+ β

^*

^E

_p^*

( ) ^{= 0}

β

^*

= p !

_p^*

E

_p^*

= 0.506 γ

^*

= 1

1− β

^*2

^{= 1.16}

(22)

Es. 9 Il Bevatron di Berkeley è stato progettato per produrre antiprotoni tramite la reazione

Qual è l’energia con cui un protone deve colpire un protone a riposo per creare una coppia protone-antiprotone oltre alle particelle originali?

Se invece i protoni fossero accelerati in un collider, quale sarebbe la loro energia minima per produrre le 4 particelle dello stato finale?

Soluzione

p + p → p + p + p + p

p

^*^µⁱ

p

_µ^*i

= p

^*^µ^f

p

_µ^{* f}

2E

^*

( )

²

⁼ ^T

^f^*

f =1 4

∑ ^{+ 4m}

^p

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

≥ 4m (

_p

)

²

E

_s^*

= 2m

_p

= 1.876 GeV

Urto protone su targhetta (p fermo) Collisione protone - protone

p

^µⁱ

p

_µⁱ

= p

^µ^f

p

_µ^f

T + 2m

_p

( )

²

⁻ ^p ^!

^p ²

⁼ ^T

^f

f =1 4

∑ ^{+ 4m}

^p

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

− p

_f ²

f =1 4

∑

E + m

_p

( )

²

⁻ ^p ^!

^p ²

^≥ ^T

^f

f =1 4

∑ ^{+ 4m}

^p

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠ ⎟⎟

2

≥ 4m (

_p

)

²

2Em

_p

+ 2m

_p²

≥ 4m (

_p

)

²

E

_s

= ( 4m

_p

)

²

^{− 2m}

^p²

2m

_p

= 7m

_p

= 6.566 GeV

(23)

Es. 10 BaBar è un detector progettato per studiare i decadimenti del mesone B.

Che distanza media L percorrono i mesoni B con momento p = 3 GeV/c nel detector prima di decadere sapendo che la vita media è t

_o

= 1.54 ps e la massa m

_B

= 5.28 GeV/c

²

Soluzione

Calcoliamo il fattore bg del mesone B

La vita media nel sistema del detector si dilata come in quanto il mesone B viaggia con velocità b.

Il cammino percorso dal mesone in media è p = m

_B

γβ ^c

γβ = pc

m

_B

c

²

= 3

5.28 = 0.568

L = c βτ = c βγτ

₀

= 3⋅10

⁸

⋅ 0.568⋅1.54 ⋅10

⁻¹²

= 2.62 ⋅10

⁻⁴

m=262 µ m

τ = γτ

₀

(24)

Es. 11 Calcolare √s per due protoni di energia pari a 300 GeV che collidono ad un angolo di 90° nel sistema di laboratorio. A che velocità si muove il centro di massa ?

Soluzione

s = E (

₁

+ E

₂

)

²

⁻ ( ^p ^!

¹

⁺ ^p ^!

²

)

²

^{= E}

¹²

^{+ E}

²²

^{+ 2E}

¹

^E

²

⁻ ^p ^!

¹²

⁻ ^p ^!

²²

^{− 2} ^p ^!

¹

^⋅ ^p ^!

²

s = 2m

_p²

+ 2E

₁

E

₂

s = 2m

_p²

+ 2E

²

= 2 ⋅ 0.938

²

+ 2 ⋅ 300

²

≈ 2 ⋅ 300 = 424 GeV

β !

_CM

=

p !

₁

+ ! p

₂

E

₁

+ E

₂

E

₁

= E

₂

= E = 300 GeV p !

₁

= !

p

₂

= E

²

− m

_p²

≈ E = 300 GeV/c p !

₁

+ !

p

₂

= 2 !

p

₁

= 424 GeV/c β !

_CM

=

p !

₁

+ ! p

₂

E

₁

+ E

₂

= 2

2 = 0.707

(25)

Es. 12 Si osserva il decadimento di una particella in due fotoni. L'angolo di apertura è 32° e le energie dei due fotoni sono misurate essere 200 MeV e 300 MeV rispettivamente. Determinare la massa della particella originaria e il momento nel sistema del laboratorio prima del decadimento.

Soluzione

s = E (

_γ₁

+ E

_γ₂

)

²

⁻ ( ^p ^!

^γ¹

⁺ ^p ^!

^γ²

)

²

^{= E}

^γ²¹

^{+ E}

^γ²²

^{+ 2E}

^γ¹

^E

^γ²

⁻ ^p ^!

^γ²¹

⁻ ^p ^!

^γ²²

^{− 2} ^p ^!

^γ¹

^⋅ ^p ^!

^γ²

E

_γ²₁

− !

p

_γ²₁

= E

_γ²₂

− !

p

_γ²₂

= 0 s = 2E

_γ₁

E

_γ₂

− 2E

_γ₁

E

_γ₂

cosθ

s = M = 2E

_γ₁

E

_γ₂

( 1− cosθ ) = 2 ⋅ 200 ⋅ 300 1− cos32° ( ) = 135 MeV/c

²

Calcoliamo la massa invariante del decadimento

Dalla conservazione dell’energia si ricava l’energia della particella e quindi il suo momento

Esercizi sulla cinematica dei processi di diffusione