Compito di Fisica Matematica, 9/6/2004
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno 4 tra i seguenti quesiti:
(1) Studiare la regione di convergenza della serieP∞
n=−∞3|n|(z − 2i)n. (2) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) = (
1 − cos2(x), |x| ≤ 1;
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(3) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) =
( sin(x), x ∈ [−π2,π2];
0, altrove,
(4) Risolvere l’equazione differenziale 2y00(t) + y0(t) − 6y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la convoluzione (f ? g)(t) delle funzioni f (t) = sin(t) e g(t) = rect(t). Verificare esplicitamente la (f ? g)(t) = (g ? f )(t).
(6) Supponendo che la funzione complessa intera f (z) abbia parte reale u(z) = u(x, y) = sin(x)ey, ricavare la forma di v(z) assumendo inoltre che f (0) = i.
(7) Sviluppare in serie di Laurent nell’intorno del punto z = 0 la funzione f (z) = z2e1/z. Calcolarne poi il residuo in z = 0.
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