Compito di Fisica Matematica, 11/1/2013
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Sia A un operatore limitato ed invertibile sullo spazio di Hilbert H, e sia foun suo autovet- tore, con autovalore 7i: A fo= 7i fo. Verificare se la mappa << f, g >>:=< Af, Ag > definisce un prodotto scalare in H.
(2) Risolvere l’equazione differenziale 2y′′+y′−6y = 3etcon le condizioni iniziali y(0) = y′(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(3) Calcolare ∫ ∞
0
cos(2αx)dx x4+ 1 , considerando separatamente i casi α > 0 ed α < 0.
(4) Dopo avere verificato di poterlo fare, applicare la procedura di Gram-Schmidt alle funzioni f1(x) = ex, f2(x) = x ed f3(x) = 1 inL2(0, 1).
(5) Per gli studenti degli anni precedenti: Data la funzione f (x) = N|x| e−π1x2, deter- minare N in modo che f (x) sia una densit`a di probabilit`a. Determinare i suoi primi tre momenti.
(6) Studiare la regione di convergenza della serie∑∞
n=−∞(z−2i)n
7|n|+1 e calcolarne la somma.
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = sinh2(t)u(t− e).
(8) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = {
e2x, x∈ [−2π3 ,2π3];
0, altrove,
e mostrare che i coefficenti dell’espansione sono a quadrato sommabile.
(9) Calcolare il seguente integrale
I =
∫ ∞
−∞
x dx x3+ 8 i
1
