Analisi 2 - Sucessioni e serie di funzioni
Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com
October 9, 2010
Ciao a tutti, ecco i miei riassunti, ovviamente non posso garantire la correttezza (anzi garantisco la non totale correttezza) quindi se per caso trovate un errore se me le segnalate mi fate un favore.
Buono studio Andrea
{fn(x)}n∈Nfunzioni e ¯x∈∩
n∈ND(fn), consideriamo fn(¯x) = an una successione numerica
1 Convergenza puntuale
Def Def. fn(x) → f (x) converge puntualmente in A se ∀x0∈ A
fn(x0) → f (x0) n → ∞
La serie converge puntualmente in x0 se la distanza (quindi l’errore) di f da fn`e 0 Possiamo dotare X di una metrica e studiare la rispettiva convergenza.
Oss.
Oss. Si consideri la serie di f : fn(x) =Pn j=0gj(x) Fissiamo x a ¯x allora
Sn= fn(¯x) =
n
X
j=0
bj
con bj = gj(¯x) ovvero `e una serie numerica
Quindi la convergenza puntuale di una serie equivale alla convergenza di una serie numerica al variare del paramentro x
2 Convergenza uniforme
Def Def.
fn→ f n → ∞ converge uniformemente se
Sup x ∈ A
|fn(x) − f (x)| → 0 n → +∞
l’errore (o distaznza) peggiore tende a 0 con n che tende all’infinito, ovvero fn tende a sovrapporsi con f
Th.
Th. se fn∈ C0[a, b] tale che fn → f uniformemente, allora f ∈ C0[a, b]
Oss.
Oss. per n → ∞
Supx
g(x) −
n
X
j=0
gj(x)
→ 0
allora
Supx
∞
X
j=n+1
gj(x)
→ 0
Oss. convergenza uniforme → convergenza puntuale Oss.
3 Convergenza totale serie
Def
Def. ∞
X
j=0
gj(x) converge totalmente se
∞
X
j=0
Supx|gj(x)|
converge
3.1 Crierio di Weiestrass
SiaP∞
j=0gj(x) e |gj(x)| 6 aj ∀x, j, se:
∞
X
j=0
aj< ∞ alloraP∞
j=0gj(x) converge totalmente
4 Teorema di integrazione per serie
Th.
Th. Sia g(x) =P∞
j=0gj(x) convergente uniformemente allora:
Z b a
∞
X
j=0
gj(x)dx =
∞
X
j=0
Z b a
gj(x)dx Dim. Vogliamo dimostrare Dim.
Z b a
∞
X
j=0
gj(x)dx =
∞
X
j=0
Z b a
gj(x)dx ovvero
Z b a
g(x)dx −
n
X
j=0
Z b a
gj(x)dx
→ 0, n → 0
=
Z b a
∞
X
j=n+1
gj(x)dx
6 Z b
a
∞
X
j=n+1
Supx|gj(x)|
| {z }
bj indipendente da x dx =
∞
X
j=n+1
bj
Z b
a
dx =
∞
X
j=n+1
bj
| {z }
→0per ipotesi (b−a)
5 Teorema di derivazione per serie
Th.
Th. Sia g(x) =P∞
j=0gj(x) convergente puntualmente per x ∈ [a, b]
Inoltre se le gj(x) sono derivabili ∀j ∈ N, ∀x ∈ [a, b]
e G(x) =P gj0(x) converge uniformemente Allora G(x) = g0(x)
6 Serie di potenze
+∞
X
n=0
an(z − z0
|{z}
centro
)n, an, z0, z ∈ C supporre z0= 0 non fa perdere generalit`a, `e sufficiente traslare tutto.
Prop. Raggio di convergenza Prop.
1
R := lim
n→∞
an+1
an
⇒ raggio di convergenza
La serie
∞
X
n=0
anzn
conv. totalemente per |z| ≤ r < R non converge per |z| > R z = R necessita di ulteriore analisi Dim. Dim.
|z| ≤ r < R uso il criterio del rapporto
n→∞lim
an+1zn+1 anzn
= |z|
R ⇒ < 1 conv. totale
> 1 non conv.
Propriet`a Propriet`a
1. La somma `e continua per |z| < R
2. Ogni serie di potenze `e integrabile termine a termine per |z| < R 3. Per |z| < R `e infinitamente derivabile termine a termine
Dim.
Dim. 3. Dimostriamo la propriet`a di derivazione
+∞
X
n=0
(anxn)0=
+∞
X
n=1
nanzn−1 n−1=j=
+∞
X
j=0
(j + 1)aj+1zj
⇒ R0 = lim
j→∞
(j + 2)aj+2 (j + 1)aj+1
= R
6.1 Criterio di Abel
Se esiste
˜
z ∈ ∂Cconvergenza
| {z }
bordo
(C, |˜z| = R)
tale che
∞
X
n=0
anz˜n < ∞
allora c’`e convergenza uniforme sul raggio O ˜Z
7 Serie di Taylor
Consideriamo f ∈ C∞(R)
f (x) =
k
X
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n+ o(x − x0)n per x → x0
Le funzioni analitiche sono le funzioni f ∈ C∞(R) tale che:
f (x) =
+∞
X
n=0
f(n)(x0)
n! xn, x ∈ I(x0)
| {z } nell’intorno dix0
Esempi
ex:=
+∞
X
n=0
xn x!
sin x :=
+∞
X
n=0
(−1)nx2n+1 (2n + 1)!
cos x :=
+∞
X
n=0
(−1)nx2n (2n)!
Controesempio f non analitica f (x) =
e−1/x2, x 6= 0 0, x = 0
⇒ f ∈ C∞(R) ma f(n)(0) = 0 ⇒ non analitica
