SERIE NUMERICHE

SERIE NUMERICHE

Serie numerica

Definizione. Sia ak : N → R una successione definita per k ≥ k⁰. La sommatoria (di infiniti addendi)

∞

X

k=k0

ak `e detta serie ditermine generale ak.

Oss. 1.

∞

X

k=k₀

ak `e la somma di tutti i termini ak della successione.

Oss. 2. Assegnata la successione a_k si vuole capire se la somma di tutti i suoi addendi

∞

X

k=k0

ak (sono in numero infinito) `e un valore finito, o `e infinito, o `e un qualcosa di indeterminato.

Esempio. ak = 1 2^k.

∞

X

k=0

1 2^k = 1

2⁰+ 1 2¹+ 1

2² + 1 2³+ 1

2⁴ + 1 2⁵+ . . .

Cos’`e la somma di tutti gli addendi? Un valore finito? Infinito?

Successione delle somme parziali (o delle ridotte)

La succ. a_k con k ≥ k₀ `e nota (prendiamo per ora k₀ = 0) e costruiamo una nuova successiones_n detta successione delle somme parzialio delle ridotte:

s₀ = a₀ s1 = a0+ a1

s2 = a0+ a1+ a2

. . . = . . .

sn = a0+ . . . + an=

n

X

k=0

ak

. . . = . . .

=⇒ s_n=

n

X

k=0

a_k

Osserviamo che s_n= s_n−1+ a_n, infatti:

s =

n

Xa =

n−1

Xa +a = s + a

Analisi del comportamento della serie

Data a_k, abbiamo costruito la successione delle ridotte s_n=

n

X

k=k0

a_k (k0 `e il primo naturale per cui `e definita la successione ak) e osserviamo che

s =

∞

X

k=k0

a_k = lim

n→∞

n

X

k=k0

a_k

| {z }

sn

= lim

n→∞s_n

cio`e s =

∞

X

k=k0

a_k = lim

n→∞s_n

La somma della serie coincide con il limite della successione sn (se questo esiste).

Caratterizzazione di una serie

Def. Data {a_k}_k≥k0 e s_n =

n

X

k=k0

a_k,

- se esiste lim

n→∞s_n= s ∈ R, si dice che la serie

∞

X

k=k0

a_k convergee

il valore reale s =

∞

X

k=k0

a_k `e detto somma della serie

- se esiste lim

n→∞s_n= ∞, si dice che la serie

∞

X

k=k0

a_k diverge

- se NON esiste lim

n→∞sn, si dice che la serie

∞

X

k=k0

ak `e indeterminata Oss. L’obiettivo principale sar`a quello di stabilire il comportamento della serie. Qualora la serie converga, solo in pochi casi si riesce a

a

= 1

n , s

=

n

X

k=1

1 k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

n La successione a

n

a 1

a

2 a

3 a

4 a

5 a

6 a

7 a

8 a

9 a

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

n La successione s

n

s 1

s 2

s 3

s 4

s 5

s 6

s 7

s8 s

9 s10

s₁₀ = a₁+ . . . + a₁₀

=

10

X

k=1

a_k

Esempio. a_k = 1

k, per k ≥ 1. Abbiamo:

s1 = a1= 1

s₂ = s₁+ a₂= 1 + 1/2 = 3/2 s₃ = s₂+ a₃= 3/2 + 1/3 = 11/6 s4 = s3+ a4= 11/6 + 1/4 = 25/12 . . . = . . .

s_n = s_n−1+ a_n= a₁+ . . . + a_n =

n

X

k=1

a_k=

n

X

k=1

1 k

∞

X

k=1

1

k `e detta serie armonica, dimostreremo che diverge.

a

= 1

2

, s

=

n

X

k=1

1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

n La successione a

n

a 1

a 2

a

3 a

4 a

5 a

6 a

7 a

8 a

9 a

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

n La successione s

n

s 1

s 2

s 3

s4 s

5 s

6 s

7 s

8 s

9 s

10

Esempio. a_k = 1

2^k, per k ≥ 0. Abbiamo:

s0 = a0= 1

s1 = s0+ a1= 1 + 1/2 = 3/2 s₂ = s₁+ a₂= 3/2 + 1/4 = 7/4 s₃ = s₂+ a₃= 7/4 + 1/8 = 15/8 . . . = . . .

s_n = s_n−1+ a_n= a₀+ . . . + a_n=

n

X

k=0

a_k=

n

X

k=0

1 2^k

∞

X

k=0

1

2^k `e un esempio di serie geometrica, dimostreremo che questa particolare serie converge.

Esempi di serie convergenti, divergenti, indeterminate

Esempio 1.

∞

X

k=0

1

2^k `e convergente e s = 2 ( serie geometrica, qualche pagina pi`u avanti).

Esempio 2.

∞

X

k=0

k `e divergente. In particolare si ha

sn=

n

X

k=0

k = n(n + 1) 2 e lim

n→∞sn= ∞.

(dimostrare con il principio di induzione che

n

X

k=0

k = n(n + 1) 2 , Gauss intu`ı questa formula all’et`a di 10 anni...)

Esempio 3.

∞

X

k=0

(−1)^k `e indeterminata. Si ha

s_n=

 1 se n `e pari

0 se n `e dispari Quindi 6 ∃ lim

n→∞s_n.

Proposizione. Il comportamento di una serie non cambia se si aggiunge o toglie o modifica un numero finito di termini.

Osservazione. Se la serie `e convergente e si aggiunge (o toglie o modifica) un numero finito di termini, cambia la somma della serie.

Esempio

∞

X

k=1

1 2^k =

∞

X

k=0

1

2^k − a₀ = 2 − 1 = 1

SERIE TELESCOPICHE

Definizione Una serie

∞

X

k=k0

ak si dicetelescopicase esiste una successione bk

tale che

a_k = b_k+1− b_k. In tal caso si ha:

sn =

n

X

k=k0

ak = (bk0+1− b_k0) + (bk0+2− b_k0+1) + · · · + (bn+1− b_n)

= b_n+1− b_k0

e _∞

X

k=k0

a_k = lim

n→∞s_n=

n→∞lim b_n+1

− b_k0

Una serie telescopica

∞

X

k=1

log

 1 + 1

k



∞

X

k=1

log

 1 + 1

k



=

∞

X

k=1

log k + 1 k



=

∞

X

k=1





log(k + 1)

| {z }

bk+1

− log k

| {z }

bk





 Quindi:

∞

X

k=1

log

 1 +1

k



= lim

n→∞(b_n+1− b₁) =

= lim

n→∞log(n + 1) − log 1 = +∞

Un’altra serie telescopica: la serie di Mengoli

∞

X

k=1

1 (k + 1)k

a_k = 1

(k + 1)k = 1 k − 1

k + 1 =



− 1 k + 1



| {z }

bk+1

−



−1 k



| {z }

bk

∞

X

k=1

a_k = lim

n→∞(b_n+1− b₁) = lim

n→∞



− 1 n + 1



+ 1 = 1 La serie di Mengoli `e convergente e la sua somma `e 1

Condizione necessaria per le serie convergenti

Prop. Sia

∞

X

k=k0

a_k una serie convergente. Allora lim

k→∞a_k = 0.

Dim. Sia s = lim

n→∞s_n= lim

n→∞

n

X

k=k0

a_k. Per definizione di somma parziale sk, si ha sk = sk−1+ ak, ovvero ak = sk − s_k−1. Calcolo

k→∞lim a_k = lim

k→∞(s_k− s_k−1) = s − s = 0.

Osservazione. Attenzione, il viceversa NON `e vero.

Si consideri la serie

∞

X

k=1

log

 1 + 1

k

 . ak = log

 1 + 1

k



. lim

k→∞log

 1 + 1

k



= 0 eppure abbiamo visto

∞

X

Teorema di linearit` a.

Siano

∞

X

k=k0

a_k e

∞

X

k=k0

b_k due serie e α, β ∈ R. Allora

∞

X

k=k0

(αak+ βbk) = α

∞

X

k=k0

ak + β

∞

X

k=k0

bk

Esempio.

∞

X

k=1

 3

k(k + 1)− 5 2^k



= 3

∞

X

k=1

1

k(k + 1)− 5

∞

X

k=1

1 2^k

La serie geometrica

ProposizioneSia q ∈ R fissato. Si ha:

∞

X

k=0

q^k =











converge a 1

1 − q se |q| < 1 diverge a + ∞ se q ≥ 1

`e indeterminata se q ≤ −1 Dim. Se q 6= 1 vale l’identit`a

1 + q + q²+ . . . + qⁿ= 1 − qⁿ⁺¹ 1 − q .

|q| < 1. sn=

n

X

k=0

q^k = 1 + q + q²+ . . . + qⁿ= 1 − qⁿ⁺¹ 1 − q lim s_n= lim 1 − qⁿ⁺¹

= 1

q = 1. s_n=

n

X

k=0

q^k = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 = (n + 1)

n→∞lim sn= lim

n→∞(n + 1) = +∞

q > 1. Vale ancora s_n=

n

X

k=0

q^k = 1 + q + q²+ . . . + qⁿ= 1 − qⁿ⁺¹ 1 − q Stavolta lim

n→∞qⁿ= ∞(succ. geometrica per q > 1 diverge) quindi

n→∞lim s_n= 1 − ∞

1 − q = +∞.

q ≤ −1. 6 ∃ lim

n→∞qⁿ, quindi 6 ∃ lim

n→∞

1 − qⁿ⁺¹

1 − q , ovvero la serie `e indeterminata.

SERIE A TERMINI POSITIVI

Def. Una serie

∞

X

k=k0

ak si dice a termini positivi (t.p.) se ak ≥ 0,

∀k ≥ k₀.

Proposizione. Sia

∞

X

k=k0

a_k una serie a t.p.. Allora essa converge o diverge (non pu`o essere indeterminata).

Dim. Abbiamo s_n+1=

n+1

X

k=k0

a_k = s_n+ a_n+1≥ s_n per ogni n ≥ k₀, poich`e a_k ≥ 0.

Allora la succ. sn `e monotona crescente e per il teorema delle successioni monotonone, sn converge oppure diverge.

Criterio del confronto

Siano

∞

X

k=k0

a_k e

∞

X

k=k0

b_k due serie a t.p. e sia

0 ≤ a_k ≤ b_k ∀k ≥ k₀. Allora:

1) se

∞

X

k=k0

b_k converge ⇒

∞

X

k=k0

a_k converge e

∞

X

k=k0

a_k ≤

∞

X

k=k0

b_k

2) se

∞

X

k=k0

a_k diverge ⇒

∞

X

k=k0

b_k diverge.

Dim. Basta applicare il teorema del confronto per successioni alle successione delle ridotte: sn =

n

X

k=k0

a_k e tn=

n

X

k=k0

b_k.

Criterio del confronto asintotico

Siano

∞

X

k=k0

a_k e

∞

X

k=k0

b_k due serie a t.p., con b_k > 0 ed esista

` ∈ (0, +∞) tale che a<sub>k</sub> ∼ `b_k per k → ∞ (cio`e a_k e b_k hanno lo stesso comportamento asintotico quando k → ∞).

Allora le corrispodenti serie hanno lo stesso comportamento:

∞

X

k=k0

a_k conv ⇔

∞

X

k=k0

b_k conv

La serie armonica

∞

X

k=1

1

k diverge

Dim. Applichiamo il criterio del confronto asintotico alle serie

∞

X

k=1

1 k e

∞

X

k=1

log

 1 +1

k



. Sono entrambe a termini positivi.

a_k = _k¹ ∼ log 1 +_k¹
= b_k per k → ∞

⇓

∞

X

k=1

1

k ∼

∞

X

k=1

log

 1 + 1

k



diverge ⇐ diverge Quindi: la serie armonica diverge.

La serie

∞

X

k=1

1

k

converge

Dim. Applichiamo il criterio del confronto asintotico alle serie

∞

X

k=1

1 k² e

∞

X

k=1

1

k(k + 1) (la serie di Mengoli). Sono entrambe a termini positivi.

a_k = _k¹2 ∼ _k(k+1)¹ = b_k per k → ∞

⇓

∞

X

k=1

1 k² ∼

∞

X

k=1

1 k²+ k converge ⇐ converge

Serie armonica generalizzata

`E la serie

∞

X

n=1

1

n^λ, con λ ∈ R :

 converge se λ > 1 diverge se λ ≤ 1

se λ = 1:

∞

X

n=1

1

n `e divergente.

se λ = 2:

∞

X

n=1

1

n² `e convergente.

se λ = 1/2:

∞

X

n=1

√1

n `e divergente.

se λ = 3/2:

∞

X

n=1

√1

n³ `e convergente.

se λ = −2:

∞

X

n=1

1 n⁻² =

∞

X

n=1

n² `e divergente.

3 esempi di serie Armonica generalizzata

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n La successione an=1

n^λ λ = 1 λ = 2 λ = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 1 2 3 4 5

n La successione sn=

Xn k=1

1 kλ

λ = 1 λ = 2 λ = 0.5

La successione sn delle ridotte converge per λ > 1 e diverge per λ ≤ 1, pur essendo le successioni a_n tutte infinitesime.

Affinch`e la successione delle ridotte converga (e quindi anche la serie corrispondente),la successione an deve andare a zero

SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO

Sono serie del tipo

∞

X

k=k0

(−1)^kb_k

| {z }

ak

, con b_k > 0, ∀k ≥ k₀

Criterio di Leibniz. Sia

∞

X

k=k0

(−1)^kbk una serie a termini alterni.

Se 1) lim

k→∞b_k = 0 e

2) b_k `e monotona decrescente, allora

∞

X

k=k0

(−1)^kbk `e convergente.

Inoltre, denotando cons la somma della seriee conrn= |s − sn|il resto n-simo della serie, vale

r_n= |s − s_n| ≤ b_n+1 ∀n ≥ k₀.

Esempio

La serie

∞

X

k=1

(−1)^k1

k soddisfa le ipotesi del Criterio di Leibniz (b_k = 1/k), quindi converge.

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

−0.5 0 0.5 1 1.5

n La successione b

n

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

−1.5

−1

−0.5 0 0.5

n La successione s

n

SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALSIASI

Def. Si dice che la serie

∞

X

k=k0

a_k converge assolutamente se `e

convergente la serie

∞

X

k=k0

|a_k|.

Esempio. La serie

∞

X

k=1

(−1)^k 1

k² converge assolutamente.

La serie

∞

X

k=1

(−1)^k1

k converge, ma NON converge assolutamente.

Def. Se una serie

∞

X

k=k0

a_k converge, ma non converge assolutamente, si dice che essaconverge semplicemente.

∞

X

k=1

(−1)^k1

k converge semplicemente.

Criterio di convergenza assoluta

Se

∞

X

k=k0

a_k converge assolutamente, allora

∞

X

k=k0

a_k converge e

∞

X

k=k0

a_k      

≤

∞

X

k=k0

|a_k|.

Oss. Il viceversa non `e vero, si veda

∞

X

k=1

(−1)^k1 k.

∞

X

k=1

(−1)^k1

k `e detta serie armonica a segni alterni.

Riferimenti bibliograficiCanuto Tabacco: cap. 5.5 Esercizi: vedere

paola-gervasio.unibs.it/Analisi1/serie.pdf paola-gervasio.unibs.it/Analisi1/esercizi3.pdf

calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi2/materiale.html