CAPITOLO 3
Fenomeni ondulatori
I fenomeni ondulatori sono perturbazioni prodotte da una sorgente e caratterizzate da propagazione nel mezzo di energia meccanica e quantità di moto senza un reale trasferimento di materia.
Esempi di onde sono: il suono, la luce, le onde radio, ecc . Una prima classificazione prevede la distinzione in:
▪ Fenomeni ondulatori
(di natura meccanica, si propagano solo in un mezzo materiale)
▪ onde elettromagnetiche
(di natura elettromagnetica, possono propagarsi anche nel vuoto)
Fenomeni ondulatori Introduzione
• onde trasversali : moto oscillatorio delle particelle normale alla direzione di propagazione dell’onda.
• onde longitudinali: moto oscillatorio delle particelle concorde alla direzione di propagazione dell’onda.
Le onde si distinguono anche in:
vibrazione propagazione
vibrazione
propagazione
Fenomeni ondulatori Introduzione
• onde tridimensionali (onde sferiche e cilindriche): la propagazione avviene in tre direzioni spaziali (come le Fenomeni ondulatori e luminose).
A seconda del sistema di riferimento del moto, le onde si classificano in:
• onde unidimensionali: la propagazione avviene in un’unica direzione spaziale (ad esempio onde che si propagano lungo una corda);
• onde bidimensionali: la propagazione avviene in due direzioni spaziali (come le onde di superficie);
Fenomeni ondulatori Introduzione
) cos '
(cos α α
∑ F
x= T −
Se un’onda si propaga lungo una corda, l’oscillazione che ne deriva è dovuta ad una variazione delle forze di tensione. L’equazione relativa si ricava applicando le leggi della dinamica ad un elementino di corda.
( α α )
α
ξ
= sin α ' − sin = sin ' − sin
∑ F T T T
α α
α ≅ tan ≅ sin
α' α'
α' ≅ tan ≅ sin
1 cos
cos α ≅ α' ≅
Considerando un piccolo spostamento dell’elementino, si ha:
Fenomeni ondulatori Onde su una corda
ξ
dξ
∑ F x = 0
di conseguenza:
∑ F ξ = T (tan α ʹ − tan α )
dx d / tan α = ξ Poiché
x dx T
x dx T
F ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
∂
= ∂
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
∑
2)
2(tan α ξ
ξ
Essendo la massa dell’elemento, dove ρ l è la densità lineare della corda, avremo:
2 2 2
2
dx t x dx
T a
dm
F
l∂
= ∂
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
∂
⇒ ∂
⋅
∑
ξ= ξ ρ ξ
2 2 2
2
x T
t
l∂
= ∂
∂
∂ ξ
ρ
da cui: ξ (Equazione di D’Alambert per la corda)
Fenomeni ondulatori Onde su una corda
si avrà:
l
v T
= ρ
ξ
dξ
2 2 2
2 2
v x
t ∂
= ∂
∂
∂ ξ ξ
Applicando una forza F diretta parallelamente all’asse di una sbarra cilindrica, si generano nel materiale onde di compressione.
Fenomeni ondulatori Onde su una sbarra
d ξ
La deformazione varia lungo la sbarra come
∂ x
∂ξ
Legge di Young Σ
E x F x
∂ Σ ∂
= ξ
“E” modulo di Young
) ( )
( dx
x x F
F dx
x F dF x
∂
= ∂
− +
= dx
E x x dx
dF x F 2
2
∂ Σ ∂
∂ =
= ∂ ξ
x dx E
dF x 2
2
∂ Σ ∂
= ξ
Fenomeni ondulatori Onde su una sbarra
2 2
dx t dF x
∂ Σ ∂
= ξ
ρ
x dx E
dF x 2
2
∂ Σ ∂
= ξ
a dm dF x = ⋅
Ma
x dx t E
dx 2
2 2
2
∂ Σ ∂
∂ =
Σ ∂ ξ ξ
ρ 2
2 2
2
x E
t ∂
= ∂
∂
∂ ξ
ρ ξ
2 2 2 2
2
v x
t ∂
= ∂
∂
∂ ξ ξ
ρ v = E
(Equazione di D’Alambert per la sbarra)
Fenomeni ondulatori Onde nel gas
Consideriamo un tubo contenente gas ed un pistone che si muove al suo interno.
Tale movimento genera in seno al fluido dei moti di compressione ed espansione del fluido stesso, che si propagano lungo il tubo. Si genera, cioè, un’onda longitudinale di equazione:
2 2
0 2
2
x p t
p
∂
= ∂
∂
∂
ρ β
β = modulo di compressibilità del gas ρ 0 = densità iniziale del gas
ρ 0
= β v
ρ ρ
β d
dp dV
V dp =
−
=
2 2 2 2
2
x v p
t p
∂
= ∂
∂
∂
Fenomeni ondulatori Onde nel gas
2 2
0 2
2
x p t
p
∂
= ∂
∂
∂
ρ
β
Tutti i fenomeni ondulatori obbediscono alla stessa equazione differenziale, l’equazione di D’Alambert. Nel caso unidimensionale questa equazione è:
ove ξ è la perturbazione del punto materiale dalla posizione di equilibrio e è la velocità di propagazione dell’onda nel mezzo.
Fenomeni ondulatori Equazione d’Alambert
2 2 2
2 2
t x
v ξ ξ
∂
= ∂
∂
∂ v
Si dimostra che è unica soluzione dell’equazione di D’Alambert la funzione d’onda
) ( x ± vt ξ
)
( x ± vt
ξ
Onda progressiva.
Fenomeni ondulatori Equazione d’Alambert
) -
( 0
0 v t t
x x = +
) ( x − vt ξ
) -
( 0
0 v t t
x
x = −
) ( x + vt ξ
Onda regressiva
Fenomeni ondulatori Equazione d’Alambert
Le onde piane sono caratterizzate dal fatto che ad un dato istante, l’argomento della funzione d’onda è costante su tutto il piano perpendicolare alla direzione di propagazione
Direzione di propagazione
Fenomeni ondulatori Onde piane
) ( x ± vt
Piano del “fronte d’onda”
2 2 2 2
2
t x
v ξ ξ
∂
= ∂
∂
∂
) ( x − vt
ξ x
velocità di fase dell’onda
velocità di oscillazione
v t
∂
= ∂ ξ
ξ
velocità di propagazione dell’onda.
velocità di oscillazione delle particelle del mezzo.
dt
v
x= dx
Ogni fenomeno ondulatorio può essere visto come una sovrapposizione di un’onda progressiva ed una regressiva.
Fenomeni ondulatori Principio di sovrapposizione
Per la linearità del sistema anche una loro combinazione lineare (con a e b costanti) e soluzione :
) , ( )
, ( )
,
( x t a ξ 1 x t b ξ 2 x t
ξ = +
2 2 2
2 2
∂
∂
∂
∂
v x t
ξ ξ =
ξ 1 (x,t) ξ 2 (x,t)
k λ 2 π
=
2 π T =
Lunghezza d’onda λ [m]
Distanza esistente tra due creste d’onda adiacenti
Tempo necessario a compiere un ciclo completo d’oscillazione.
Fenomeni ondulatori Onde piane armoniche
) (
sin )
,
( x t = ξ 0 k x ± vt
Onda piana armonica ξ
La costante k è necessaria perché l’argomento
della funzione seno deve essere in radianti [ ] ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
m k rad
) sin(
) ,
( x t ξ 0 kx ω t
ξ = ±
v ω k
=
Periodo T [s]
Il numero d’onda k dipende dal mezzo nel quale l’onda si propaga
La pulsazione ω dipende invece dalla sorgente d’onda
Fenomeni ondulatori Onde armoniche
2 λ
= π k
2
T ω = π
La lunghezza d’onda è quindi lo spazio percorso dalla perturbazione in un tempo pari al periodo d’oscillazione del fenomeno
ove con f si indica la frequenza d’oscillazione dell’onda, espressa in Hertz [Hz].
T λ v π
π 2
2 = λ = vT
π f
ω = 2 v = λ f
= kv ω
Inoltre
Fenomeni ondulatori Pacchetti d’onda
T x
t
t=cost
x=cost Onda armonica
Pacchetti d'onda
Per definizione un’onda armonica ha durata e lunghezza infinite.
In realtà una perturbazione armonica ha lunghezza ∆x e durata ∆t finite.
pacchetto d’onda In un pacchetto d’onda:
2 π
= Δ
Δ k x Δ ω Δ t = 2 π
Mentre un’onda armonica ha lunghezza d’onda e pulsazione ben definita e
costante, un pacchetto d’onda è costituito da fenomeni ondulatori appartenenti
ad una banda di frequenza ∆f (centrata sulla frequenza fondamentale) e ad un
intervallo di numeri d’onda ∆k (nell’intorno del numero d’onda fondamentale)
Fenomeni ondulatori Pacchetti d’onda
Nel caso in cui il fenomeno ondulatorio sia esprimibile mediante una funzione d’onda non armonica f(t), ma comunque periodica, lo studio di tale perturbazione può essere ricondotto allo studio di un’onda armonica mediante il Teorema di Fourier.
) cos
sin (
) (
1
0
∑
∞=
+ +
=
m
m
m
m t b m t
a a
t
f ω ω
) cos
sin (
) (
1
0 ∑
∞
=
+ +
=
m
m
m m t b m t
a a
t
f ω ω
Se f(t) è una generica funzione periodica (di periodo T)
ω=2π/T è la pulsazione della componente fondamentale; a 0 è il valor medio della funzione nel periodo ed i parametri a m e b m sono calcolati in questo modo:
∫
=
Tm
f t m tdt
a T
0
( ) sin
2 ω b
m= T 2 ∫
0Tf ( t ) cos m ω tdt
Un’onda piana periodica può essere espressa come risultante di onde armoniche caratterizzate da frequenze multiple intere della fondamentale (definite frequenze armoniche).
Fenomeni ondulatori Pacchetti d’onda
Analisi di Fourier
Fenomeni ondulatori Pacchetti d’onda
https://phet.colorado.edu/it/simulation/fourier
Propagazione in mezzo non disperdente. In questo caso tutte le componenti del pacchetto hanno uguale velocità di propagazione, pari alla velocità di fase delle singole componenti.
Inoltre la forma d’onda non cambia durante la propagazione.
Fenomeni ondulatori Pacchetti d’onda
v ω k
=
Velocità di fase
Propagazione in un mezzo disperdente. In questo caso la velocità di propagazione delle singole componenti del pacchetto è funzione della frequenza d’oscillazione; esse quindi si muovono a velocità differenti. La forma d’onda, quindi, varia durante la propagazione.
La velocità dell’intero pacchetto d’onda si
chiama velocità di gruppo dk
d
v g ω k ω
Δ =
= Δ
Consideriamo un’onda armonica in propagazione su corda, avente funzione d’onda:
) sin(
) ,
( x t ξ 0 kx ω t
ξ = −
Un elemento di corda di massa dm oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio ad una velocità:
)
0 cos( kx t
v ξ t ωξ ω
ξ = − −
∂
= ∂
Fenomeni ondulatori Propagazione dell’energia
Trasferimento di energia e
potenza
Fenomeni ondulatori Propagazione dell’energia
tg x
sen ∂
= ∂
= ξ
α α
t T x
P ∂
∂
∂
− ∂
= ξ ξ
) (
cos 2
2
0 k kx t
T
P = ξ ω − ω
l onda
v T
= ρ
v
P m l
2
1 2 2
0 ω ξ
ρ
=
L a p o t e n z a m e d i a d i p e n d e d a l q u a d r a t o dell’ampiezza.
Inoltre onde ad alta frequenza trasmettono un maggior quantitativo di energia.
ξ P Tsen t
∂
− ∂
= ξ
( α )
(α )
− Tsen
∂ t
∂ξ
Il lavoro esterno fornito per muovere la corda è immagazzinato sotto forma di energia cinetica e potenziale. Considerando un istante in cui tutta l’energia di dm sia cinetica, avremo:
2 0 2 2
max
, ( )
2 1 2
1 ⋅ ξ = ρ ⋅ ω ξ
= dm v dx
dE l
Fenomeni ondulatori Propagazione dell’energia
La densità lineare di energia [J/m] è definita come:
2 0 2 2
0 2
2 1 2
1 ω ξ ρ l ω ξ
l dx
dm dx
w = dE = =
v w P m = l
Possiamo anche scrivere la
potenza media come
Σ
Fenomeni ondulatori Propagazione dell’energis
∂ t
∂ξ
F t
P ∂
− ∂
= ξ
Σ
= v
P m
2
1 2 2
0 ω ρξ
Legge di Young
E x
F ∂
Σ ∂
= ξ
t E x
P ∂
∂
∂ Σ ∂
−
= ξ ξ
Si ottiene Densità volumetrica di energia
Σ
= w v P m vol
) superficie (
onda) (velocità
energia) densità
(
Potenza = ⋅ ⋅
Fenomeni ondulatori Propagazione dell’energia
Σ
= w v P m vol
Possiamo anche scrivere la potenza media come
v p
P m = Δ 0 2 Σ / 2 ρ
) sin(
) ,
( x t p 0 kx t
p = Δ − ω
Δ
Onde di pressione
2 2
0 / 2 v p
w vol = Δ ρ
Potenza media Densità volumetrica di energia
) superficie (
onda) (velocità
energia) densità
(
Potenza = ⋅ ⋅
Ap pr ofon
di me nto
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ < >
= Σ
dt I 1 dE
= P Σ m
I [W/m 2 ]
Fenomeni ondulatori Intensità
Valor medio dell’energia che passa attraverso una sezione ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda nell’unità di tempo e per unità di superficie Σ.
Intensità
Si definisce INTENSITA’
v w
I = vol
onda) (velocità
energia) densità
(
Intensità = ⋅
Generalizziamo lo studio al caso di onde che si propagano in più dimensioni spaziali.
Il fronte d’onda è il luogo dei punti del mezzo caratterizzati da medesimo stato di vibrazione (uguale fase).
k è il vettore di propagazione sempre parallelo al vettore velocità:
x
k 2 ˆ
λ
= π
!
Possiamo scrivere in generale ( vale per tutti i punti del piano):
Fenomeni ondulatori Onde a più dimensioni
kx r
k ! ⋅ ! =
v!
Per ogni punto del piano definito dal raggio vettore r
) sin(
) ,
( x t ξ 0 k r ω t
ξ = ! ⋅ ! − k !
Indichiamo con u v il versore direzione di propagazione, sempre perpendicolare al fronte d’onda, e con k il vettore di propagazione sempre parallelo al vettore velocità:
sarà indipendente dal generico sistema di riferimento prescelto
z z y
y x
x u k u k u
k
k ! = ˆ + ˆ + ˆ
Fenomeni ondulatori Onde a più dimensioni
v!
Propagazione del fronte d’onda in una direzione generica n
k !
z y
x y u z u
u x
r ! = ˆ + ˆ + ˆ
) (
) ,
( r t ξ 0 sen k r ω t ξ ! = ! ⋅ ! ±
∂ )
∂
∂
∂
∂ ( ∂
∂
∂
2 2 2
2 2
2 2 2
2
z y
v x t
ξ ξ
ξ
ξ = + +
Equazione D’Alambert in tre dimensioni
)
∂ (
∂ 2 2
2 2
ξ ξ
∇
t = v
Fenomeni ondulatori Onde sferiche
La velocità di propagazione della perturbazione è la stessa in tutte le direzioni. I fronti d’onda sono superfici sferiche. La funzione d’onda ad essa associata è:
) sin(
) ( )
,
( r t ξ 0 r kr ω t
ξ = −
(v)
r è la distanza di un punto materiale dalla sorgente
La potenza irradiata dipende dalla sorgente ed è la stessa in qualunque punto. L’intensità deve dunque variare al variare di r.
Ricordiamo che I ∝ ξ 0 2 ( r )
Fenomeni ondulatori Onde sferiche
r r ) /
( 0
0 ξ
ξ =
) sin(
) ,
( 0 kr t
t r
r ξ ω
ξ = −
2
1 I ∝ r
2 2
0 ( r ) 4 r I
P m = ⋅ Σ ∝ ξ ⋅ π ξ 0 2 ( r ∝ ) 1 / r 2
2 0
2
0 ( r ) ξ / r
ξ =
Fenomeni ondulatori Onde cilindriche
rh r
I
P m = ⋅ Σ ∝ ξ 0 2 ( ) ⋅ 2 π
Attraverso una superficie cilindrica coassiale, di raggio r ed altezza h (Σ = 2πrh) la potenza media che attraversa tale superficie è:
Poiché la potenza trasmessa sarà invariante con la distanza dalla sorgente, la funzione d’onda di un’onda cilindrica armonica è:
) sin(
) ,
( 0 kr t
t r
r ξ ω
ξ = ±
I r 1
∝
Onde sonore
La vibrazione si propaga perché il mezzo è interessato da compressioni/rarefazioni progressive
Fenomeni ondulatori
ρ
= β
v s β = modulo di compressione [Pa]
ρ = densità volumica [Kg/m 3 ]
In aria
v s = 330 ÷ 340 m/s
La velocità dipende dal mezzo e dalla sua temperatura
20Hz 20.000 Hz
Infrasuoni Ultrasuoni
Fenomeni ondulatori Onde sonore
L’orecchio non è un recettore lineare. La sensazione sonora cresce secondo il logaritmo dell’intensità dell’onda sonora incidente (Legge di Fechner-Weber).
Definiamo Intensità di riferimento I 0 la soglia di udibilità dell’orecchio umano per la frequenza di 1.000 Hz.
2 12
0 = 10 − W/m I
[ decibel ] 10 log
0 10 I dB = ⋅ I
60 10
log 10
10 log 10
10 log
10
6 10
12 6 10
0 10
=
⋅
=
⋅
=
⋅
= −
−
dB
I dB I
Se I = 10 -6 W/m 2
Fenomeni ondulatori
Suono Intensità (W/m
2) Livello Sonoro (dB)
Soglia di udibilità 10-12 0
Frusciare di foglie 10-11 10
Conversazione normale (a 1m.) 10-6 60
Martello Pneumatico (a 1 m.) 10-3 90
Concerto Rock 10-1 110
Soglia del Dolore 1 120
Motore di un Jet (a 50 m.) 10 130
Il livello sonoro, essendo un rapporto di intensità, non dipende dalla frequenza
Onde sonore
La frequenza determina invece se il suono
è acuto o grave
Sovrapposizione di Onde Sovrapposizione di onde
Due onde armoniche di uguale ampiezza ξ 0 in propagazione alla stessa velocità nello stesso verso di percorrenza.
) sin(
) ,
( 0
1 x t ξ kx ω t
ξ = −
) sin(
) ,
( 0
2 ξ ω δ
ξ x t = kx − t +
L’onda risultante in un determinato punto P di ascissa x, in accordo con il principio di sovrapposizione, sarà :
) sin(
) ,
( ξ ω ψ
ξ x t = somma kx − t +
Essa ha la stessa frequenza e velocità di propagazione delle onde componenti
δ ξ
ξ ξ
ξ somma = 0 2 + 0 2 + 2 0 2 cos
ξ 0
ξ 0
somma
ξ
δ ξ
ξ
δ ψ ξ
0 cos
0 0
= + sen
tg x
ωt
ωt + δ
Sovrapposizione di Onde Sovrapposizione di onde
δ ξ
ξ ξ
ξ somma = 0 2 + 0 2 + 2 2 cos
Se δ = 2m π , m = 0,1,2,... l’ampiezza dell’onda risultante è:
Se δ = (2m+1) π , m = 0,1,2,... l’ampiezza dell’onda risultante è:
2ξ 0
ξ somma =
= 0
somma
ξ
4I 0
I somma =
= 0
somma
I
2 2
0
0 e I I
Poichè ∝ ξ ∝ ξ somma
Se δ = 2m π , m = 0,1,2,...
Se δ = (2m+1) π , m = 0,1,2,... :
Sovrapposizione di Onde Sovrapposizione di onde
Approccio alternativo
) sin(
) ,
( 0
1 x t ξ kx ω t
ξ = − ξ 2 ( x , t ) = ξ 0 sin( kx − ω t + δ )
Calcoliamo
2 ) cos(
2 ) (
2 α β α β
β
α + −
=
+ sen sen sen
Utilizzando
L’onda risultante è un’onda armonica e ha la stessa frequenza e velocità di propagazione delle onde componenti ed un’ampiezza funzione della differenza di fase δ delle onde componenti.
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
sin 2 cos 2
2 )
,
( 0 δ
δ ω ξ
ξ x t kx t
) , ( )
, ( )
,
( x t ξ 1 x t ξ 2 x t
ξ = +
Ap pr ofon
di me nto
Sovrapposizione di Onde Sovrapposizione di onde
Verifichiamo che (a) e (b) sono equivalenti )
sin(
) ,
( ξ
'ω ψ
ξ x t = kx − t +
2 cos
1
0 cos
0
0 δ
δ δ δ
ξ ξ
δ
ψ ξ sen sen tg
tg =
= +
= +
cos 2 2
) cos 1
(
2 0 2 0
' δ
ξ δ
ξ
ξ = + =
cos 2
0 02 0 2 0
'
ξ ξ ξ ξ δ
ξ = + + ψ ξ ξ ξ cos δ δ
0 0
0
= + sen tg
2 ) 2 sin(
cos 2
) ,
(
0δ
δ ω ξ
ξ x t = kx − t +
) (a
)
(b
Sovrapposizione di Onde Interferenza spaziale
) sin(
) ,
( 0 1
1 r t ξ kr ω t
ξ = − ξ 2 ( r , t ) = ξ 0 sin( kr 2 − ω t )
Sorgenti di stessa pulsazione in fase
) 2 (
) (
) (
1 2
1 2
1 2
r r
r r
k t
kr t
kr
−
=
−
= +
−
−
=
λ δ π
ω ω
δ
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + −
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= k r r k r r t
t
x ξ ω
ξ 2
) sin (
2 ) cos (
2 )
,
( 0 1 2 1 2
( kr t )
t
x δ ω
ξ
ξ ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ sin
cos 2 2
) ,
( 0
2
1 r
r ≈
Sovrapposizione di Onde Interferenza spaziale
Ampiezza massima
(interferenza costruttiva) λ
π δ
m r
r
m
=
−
=
) (
2
2 1
Ampiezza nulla
(interferenza distruttiva)
) 2 1 2
( )
(
) 1 2
(
2 1
λ π
δ
+
=
−
+
=
m r
r
m 2 0
) ,
( ξ
ξ x t =
0 )
,
( x t = ξ
( kr t )
t
x δ ω
ξ
ξ ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ sin
cos 2 2
) ,
( 0
Sovrapposizione di Onde Interferenza temporale
) sin(
)
( 0 1 1
1 t ξ k x ω t
ξ = −
) sin(
)
( 0 2 2
1 t ξ k x ω t
ξ = −
) sin(
) sin(
)
( t ξ 0 k 1 x ω 1 t ξ 0 k 2 x ω 2 t
ξ = − + −
Ponendo
2 k 2
2 m 1
2 m 1
2 1
2 1
ω ω ω
ω ω
ω
= +
= +
−
= Δ
−
= Δ
k k
k k
k
Si ottiene ) sin( )
2 cos( 2
2 )
( 0 k x t k x t
t ω m ω m
ξ
ξ Δ −
Δ −
=
Sovrapposizione di Onde Interferenza temporale: battimenti
) sin(
2 ) cos( 2
2 )
( 0 k x t k x t
t ω m ω m
ξ
ξ Δ −
Δ −
=
La variazione dell’ampiezza si propaga anch’essa come un’onda di velocità
v g k
Δ
= Δ ω
Velocità con cui si muove il pacchetto
Sovrapposizione di Onde Cancellazione attiva del rumore
Le cuffie con cancellazione attiva del rumore sono dotate di un microfono interno e di un processore audio che percepiscono i suoni esterni e producono a loro volta un suono opposto per cancellarli.
Cancellazione attiva del rumore nelle autovetture
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
Applicando il principio di sovrapposizione avremo:
[ kx ] ( ) t
t
x ξ ω
ξ ( , ) = 2 0 sin( ) cos
) sin(
) ,
( 0
1 x t ξ kx ω t
ξ = −
) sin(
) ,
( 0
2 x t ξ kx ω t
ξ = +
Onda stazionaria
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
) sin(
2 ξ 0 kx
Oscillazioni armoniche di ampiezza 2 )
sin(
2 0 x
λ ξ π
Massima ampiezza
) 2 1 2
2 ( ,
1 2 )
sin( π
λ π λ
π x = x = m +
,...
2 , 1 , 0
4 , ) 1 2
(
x = m + λ m =
Ventri
Massima ampiezza per
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
) sin(
2 ξ 0 kx
Oscillazioni armoniche di ampiezza
2 ) sin(
2 0 x
λ ξ π
Minima ampiezza
λ π π λ
π x = 2 x = m
, 0 2 )
sin(
,...
2 , 1 , 0
2 ,
x = m λ m =
Minima ampiezza per
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
Distanza fra due ventri λ/2 Distanza fra due nodi λ/2
Distanza fra un nodo e un ventre λ/4
,...
2 , 1 , 0
2 ,
x = m λ m =
Nodi
,...
2 , 1 , 0
4 , ) 1 2
(
x = m + λ m =
Minima ampiezza per
Massima ampiezza per
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
Supponiamo che entrambi gli estremi della corda siano fissi
L x
I due estremi della corda devono essere dei nodi
,...
2 , 1 , 0
2 ,
x = m λ m =
2 , 1
se λ
=
= L
m
In generale
,...
2 , 1 2 ,
2 ,
= = m =
m m L
L λ λ
0 )
0 ( x = =
ξ ξ ( x = L ) = 0
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
,...
2 , 1 2 ,
= m =
m
λ L
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
La frequenza d’oscillazione corrispondente è chiamata frequenza fondamentale dell’onda stazionaria ed è:
1
1 λ
f = v
l
T f L
2 ρ 1
1 =
Le altre frequenze permesse risultano multiple della fondamentale e si chiamano frequenze armoniche del sistema oscillante.
mf 1
f n =
con m = 1,2,3,4,…
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
Corda con una estremità libera
Si genererà una figura d’onda stazionaria, ma l’estremità libera adesso è un ventre dell’onda stazionaria
,...
2 , 1 , 0
4 , ) 1 2
(
x = m + λ m =
L x
,...
2 , 1 , 0
4 , ) 1 2
(
L = m + λ m =
,...
2 , 1 , 0 1
2
4 =
= + m
m λ L
Condizione di massimo
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie su corda
l
T f L
4 ρ 1
1 = Frequenza fondamentale dell’onda stazionaria
f 1
m
f n = ʹ con m’ = 1,3,5,…
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie in colonna d’aria
Onda sonora in un tubo d’aria (ad esempio una canna d’organo). Si producono onde longitudinali stazionarie di pressione che si propagano in direzioni opposte
) (
) ,
1 ( x t p kx t
p = Δ m − ω p 2 ( x , t ) = Δ p m ( kx + ω t )
Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l’onda risultante in un punto di osservazione P sarà:
) cos(
)]
sin(
2 [ )
,
( x t p kx t
p = Δ m ω
Il volumetto d'aria interessato da un'onda
sonora stazionaria oscilla avanti e indietro
contraendosi ed espandendosi. L'aria si
riscalda durante una condensazione (colori
caldi nell'animazione) e si raffredda durante
una rarefazione (colori freddi)
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie in colonna d’aria
Tubo aperto ad ambo le estremità
Gli estremi sono dei nodi, in quanto la pressione è fissata a quella esterna
) 0
0
( p
p = p ( L ) = p 0
( F r e q u e n z a fondamentale)
0 1
1
2
1
ρ β
λ L
f = v =
,...
2 , 1
2 ,
2 ,
= = m =
m m L
L λ λ
mf 1
f n = con m = 1,2,3,4,…
Minima ampiezza per
Ap pr ofon
di me nto
Sovrapposizione di Onde Onde Stazionarie in colonna d’aria
Tubo chiuso ad una estremità
Supponiamo che l’estremità chiusa del tubo si abbia per x=L. Questa estremità corrisponde ad un ventre di
pressione. La condizione di vincolo, quindi, sarà: m
p L
p ( ) = 2 ± Δ
,...
2 , 1 , 0 1
2
4 =
= + m
m λ L
0
1 4
1
ρ β
f = L f m = m ʹ f 1 con m’ = 1,3,5,…
1
1 λ
f = v
Ap pr ofon
di me nto
Sovrapposizione di Onde Vibrazioni di membrane
http://fisicaondemusica.unimore.it/
Ap pr ofon
di me nto
Sovrapposizione di Onde Vibrazioni di membrane
Modo (0,1). Non ha diametri nodali, ed ha u n s o l o c e r c h i o nodale (al bordo della membrana).
Modo (1,1). Oltre al cerchio nodale al bordo, ha un diametro nodale. Il punto di i m p a t t o d e l l a m a z z a , ovviamente non può cadere sul diametro.
Modo (2,1). Oltre al cerchio nodale al bordo, ha due diametri nodali perpendicolari.
Ap pr ofon
di me nto
Fenomeni ondulatori Effetto doppler
L’effetto Doppler consiste in un’apparente variazione della frequenza di un’onda percepita da un osservatore che si trovi in moto relativo rispetto ad una sorgente emittente. Sia v onda la velocità dell’onda:
Sorgente di frequenza f sg in quiete
Osservatore in quiete rivela la frequenza f sg
Sorgente di frequenza f sg in moto con velocità v sg
Osservatore in quiete rivela una frequenza f’ sg > f sg
Fenomeni ondulatori Effetto doppler
E quindi
Sorgente di frequenza f sg in moto di avvicinamento all’osservatore con velocità v sg
L’osservatore percepisce la lunghezza d’onda
f v v
f v f
T v
v sg onda sg ( onda sg )
' −
=
−
=
−
= λ λ
' '
λ v onda
f =
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
= ⎛
) /
( - 1
'
1
onda sg
