Vogliamo generare X variabile aleatoria con distribuzione F (x

Sia disponibile R variabile aleatoria generata a caso in modo uniforme fra 0 e 1. Vogliamo generare X variabile aleatoria con distribuzione F (x) = Pr{X ≤ x}.

Si ha

Pr{R ≤ y} = y (0≤ y ≤ 1)

Se F (x) `e strettamente monotona crescente, anche F<sup>−1</sup>(y) `e strettamente monotona crescente, quindi y = Pr{R ≤ y} = Pr

F⁻¹(R)≤ F⁻¹(y)

(infatti R ≤ y se e solo se F⁻¹(R) ≤ F⁻¹(y) e quindi le probabilit`a coincidono). Sia X := F⁻¹(R) e x := F⁻¹(y), ovvero y = F (x). Allora abbiamo

F (x) = y = Pr{R ≤ y} = Pr

F⁻¹(R)≤ F⁻¹(y)

= Pr{X ≤ x}

cio`e X ha distribuzione F (x).

Esempio X variabile di Poisson con distribuzione F (x) = 1− e^{−λ x}. Si ottiene

y = 1− e^{−λ x} =⇒ e^{−λ x}= 1− y =⇒ x = −ln(1− y) λ

da cui

X =−ln(1− R) λ o equivalentemente

X =−ln R λ

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