Meccanica 5

Meccanica 5

31 marzo 2011

Lavoro. Principio di sovrapposizione Potenza. Energia cinetica

Energia potenziale

Lavoro della forza d’attrito Forze conservative

Energia meccanica e sua conservazione Momento angolare

Momento di forza

Momento dell’impulso

Lavoro

• Supponiamo di avere un punto materiale P di massa m, soggetto ad una forza F

• Supponiamo di spostarlo da un punto dello spazio A ad un punto B

• Il lavoro svolto dalla forza F nello

spostamento di P da A a B è una grandezza meccanica scalare definita come

s d F W

B

A

AB  





A P B

ds

Lavoro

• Le dimensioni fisiche del lavoro sono

• E l’unità di misura è il newton metro

• che prende il nome di joule (J)

   

 

u   

3

Principio di sovrapposizione

• Se la forza è la risultante di n forze

• Si può applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il lavoro

• Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma





F  

F _k

k1,...n



  _

 

 

 

















 



 



 







 



 





n k

k n

k

B

A k

B

A k n

k B

A k n

k B

A AB

W s

d F

s d F s

d F

s d F W

,...

1 ,...

1

,...

1 ,...

1

 

 

 

 

Potenza

• La potenza media è una grandezza

meccanica scalare definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo impiegato

• Grandezza importante per caratterizzare le prestazioni di una macchina

• Accanto alla potenza media è definita la potenza istantanea

t P  W

dt P  dW

5

Potenza

• Le dimensioni fisiche della potenza sono

• E l’unità di misura è il joule al secondo

• che prende il nome di watt (W)

   



u P

 

Potenza

• Dall’espressione infinitesima del lavoro, possiamo scrivere la potenza come

v dt F

s F d

dt s d F dt

P dW      







 





7

Energia cinetica

• Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo usando la 2^a legge

• Per trovare il valore del prodotto scalare

differenziamo i due membri dell’identita` seguente

• Da cui

v d v dt m

s p d

d s

dt d p s d

d F

dW   



 

 

















    ^v

^{d v}

d  

  ^{v d}  ^{v v}  ^{v d v}

d 

     2    ^d   ^v

^{ 2 vdv}

 

1 d v v

d

v    

Energia cinetica

• Abbiamo infine

• Per una variazione finita dobbiamo integrare tra il punto iniziale e il punto finale

• La quantità prende il nome di energia cinetica



 



 



 ²

2

1 mv d

v d v m

dW  

9 2

2 2

2 1 2

1 2

1

A B

B

A B

A

mv mv

mv d

dW

W   



 



 



 



K  1

2 mv²

Teorema dell’energia cinetica

• Il teorema appena dimostrato è detto teorema dell’energia cinetica: il lavoro fatto dalla forza sul punto materiale è uguale alla variazione di energia

cinetica del corpo stesso

Energia cinetica

• Vediamo cosa succede geometricamente

• Scomponiamo i due vettori secondo la

direzione tangente e normale localmente alla traiettoria

• Otteniamo

• siccome v_t=v, possiamo concludere

v dv

dv_t

dv_n

11





v  d v  v_tdv_t

vdvt

v d

v   

Energia cinetica

• Consideriamo due casi limite

• Moto uniformemente accelerato

• Moto circolare uniforme

v

dv=dv_t

v dv=dv_n

vdv vdv

v d

v    _t 

 0



 dv vdv_t v 

  ^{v vdv}

d

 2

  ^v

^{ 0}

d

Energia cinetica e lavoro

• Il lavoro è conseguenza dell’interazione del sistema con l’ambiente

• Si parla pertanto di lavoro scambiato tra sistema e ambiente e non di lavoro

posseduto dal sistema

• Si parla invece di energia posseduta dal sistema

13

Energia cinetica

• Troviamo le dimensioni dell’energia cinetica

sono ovviamente uguali a quelle del lavoro

• L’unità di misura dell’energia è, di nuovo, il joule



 

 

Energia cinetica e quantità di moto

• Ricordiamo le espressioni di queste due grandezze

• Il modulo della QM e l’energia cinetica sono legati dalle relazioni

K  1

2 mv² 



p  mv



K  p² 2m



p  2mK

15

Energia cinetica in relativita`

• Il lavoro elementare si esprime ora

• E il differenziale della QM e`

• Il lavoro finito e`

v p dt d

s p d

d s

dt d p s d

d F

dW   

 

 

       



 





d p

d        

 



































B B

B

A B

A B

A B

A

vdv m

d mv

v d v m d

v v m v

v d m v

md dW

W













2















Energia cinetica in relativita`

• Esprimiamo v in funzione di 

• Otteniamo

• Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come variazione di energia cinetica

 ^d v

dv c ₃

 2



 



 

 ² ₂

2 1

1  c

v





B

A B

A B

A

mc d

mc c d

m d

mc

W    

 

 ^_ ^{   }

 



 









A

B K

K W  

17

Energia cinetica in relativita`

• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come

• Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso

=1 e K=0, ne segue

• L’energia cinetica e` dunque

• In relativita` si introduce anche l’energia

• Il termine e` la cosiddetta energia a riposo, cioe`

quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia

2 const. mc

K   

. mc2

const  





2 

 mc  K



2

2 mc

mc K

E    mc2

Lavoro della forza peso

• Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il

lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

• Siccome P=mg e` costante e g ha solo componente z, pari a –g, abbiamo

• Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B





B

A

s d P

W  



 



AB B

A

z z

mg r

r g m r

P s

d P

W  ^ 



A

B z

P

19

Energia potenziale

• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)

• il lavoro diventa

• U prende il nome di energia potenziale della forza peso

• Il lavoro e` dunque uguale all’opposto della

variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale

mgz U 









mg

W         

Lavoro della forza elastica

• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza elastica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

 







 ^B

A

A B

B

A B

A

e ds kr ds k rdr k r r

F

W ^{2 2}

2

 1



 

A F_e B

P ds dr

r

21

Energia potenziale

• Introducendo la nuova grandezza (omogenea ad un’energia)

• il lavoro diventa

• U prende il nome di energia potenziale della forza elastica

• Il lavoro e`, di nuovo, uguale all’opposto della variazione di energia potenziale tra stato finale e stato iniziale

2

2

1 mr U  





^

^

k

W   ²  ²   ²  ²    2

1 2

1 2

1    

Lavoro della forza d’attrito

• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza d’attrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un punto A ad un punto B e`

• La direzione della forza e` opposta a quella dello spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante)

• Il lavoro della forza d’attrito e` sempre negativo: se si cambia il verso dello spostamento, anche la forza

cambia verso





 ^B

A

d B

A

d ds Ns ds

F

W    



NL ds

N s

d s N

W _d

B

A d B

A

d  

     









AF_d B

P ds

23

Lavoro della forza d’attrito

• Poiche’ il lavoro della forza d’attrito dipende da L , la lunghezza del percorso fatto dal

punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e non solo dai punti estremi A e B

• A differenza del caso della forza peso ed elastica, non e` ora possibile esprimere il lavoro come differenza tra i valori che una funzione della posizione assume negli

estremi

Forze conservative

• Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su cui si calcola il lavoro, purche’ i punti estremi siano gli stessi, il risultato sara` il medesimo

• Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, l’integrale cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto scalare cambia segno)











 ^{A B}

C B

A

C

s d F s

d F

2 1

 

 















A B

C B

A

C

s d F s

d

F   

25

Forze conservative

• Se calcoliamo il lavoro lungo un percorso chiuso

otteniamo zero: questo e` un modo

alternativo di esprimere lo stesso fatto

• Forze siffatte si dicono conservative

0

2 1

2 1

2 1

























    





B A

C B

A

C A

B

C B

A

C C

C C

s d F s

d F s

d F s

d F s

d F s

d

F           





C  C₁C2

Forze dissipative

• Le forze di attrito non soddisfano questi requisiti, abbiamo infatti visto che il

lavoro che producono e` sempre negativo

• Queste forze si dicono dissipative

27

Esercizi

• Un corpo di massa m=15 kg si muove su un piano orizzontale, soggetto ad una forza motrice F=10 N ed a una forza d’attrito dinamico A con

coefficiente di attrito  =0.06

• Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza

in un intervallo di tempo  t

Esercizi

• N. 4.1 pag. 105 MNV

• N. 4.3 pag. 105 MNV

• N. 4.14 pag. 106 MNV

29

Energia potenziale

• Per le forze conservative esiste dunque una funzione U delle coordinate degli stati iniziale e finale, cui diamo il nome di energia

potenziale

• In termini infinitesimi

W s

d F U

U U

B

A A

B      







dW s

d F

dU       

Energia meccanica

• Ricordiamo il teorema dell’energia cinetica, che vale per una forza qualunque

• Per forze conservative vale inoltre

• Confrontando le due equazioni troviamo

A

B K

K W  

A

B U

U

W   

B B

A

A U K U

K   

31

Conservazione dell’energia meccanica

• Introducendo la nuova grandezza

• che chiamiamo energia meccanica, l’equazione diventa

• Cio` significa che l’energia meccanica (cioe`

la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale) di un punto materiale soggetto a forze conservative si conserva

U K

E  

B

A E

E 

Lavoro nel caso generale

• Se sono attive sia forze conservative che non conservative, il lavoro e`

• Applicando il teorema dell’energia cinetica (sempre valido)

• Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di energia potenziale

• Otteniamo per il lavoro non conservativo

• Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia

meccanica non si conserva e la sua variazione e` uguale al lavoro di tali forze

nc

c W

W W  

A

B K

K W  

A B

c U U

W   

A B

nc E E

W  

33

Vettori momento

• Per alcune grandezze vettoriali, associabili al PM, possiamo definire grandezze

vettoriali derivate che sono i momenti delle precedenti

• Per questo occorre scegliere un punto

arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a cui e` definito il vettore posizione r del PM

• Il momento di una grandezza w e` definito come il prodotto vettoriale

• Il polo non necessariamente dev’essere fermo

w r

m     

w

O r

PM

Momento angolare

• E` il momento del vettore quantita` di moto del punto materiale:

• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a p

• Dimensioni fisiche:

• Unita` di misura:

p r

L_O  





   

 

u   ² /   

35

p

O r

PM

Cambiamento di polo

• Cambiando polo il momento angolare diviene

• Il valore del momento dipende dunque dal polo scelto





p r

L_Q    _Q    _Q  _O _Q 























 ^'

p r’ Q

r r

Momento di forza

• E` il momento del vettore forza agente sul punto materiale:

• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia a r che a F

• Dimensioni fisiche:

• Unita` di misura:

• Se si cambia polo il momento diviene

F

O r

 

  



   

 

u    ² / ²  





F

r _{Q Q O Q}

Q

 

 

 

 



 



            

 ^'

37

Momento risultante

• Vale il principio di sovrapposizione: se la forza complessiva R e` la risultante di piu` forze

applicate tutte allo stesso punto materiale:

• il momento risultante (cioe` la somma dei

momenti di tutte le forze) e` uguale al momento della risultante (cioe` al momento della somma di tutte le forze)





i

i i

i i

i

 

 

 



 









Teorema del momento angolare

• Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare di un punto

materiale

• Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema di riferimento, allora la derivata

temporale di r e` uguale alla velocita`

del punto e se il sistema e` inerziale la derivata di p e` uguale alla forza

agente sul punto

 

dt p r d

dt p r p d

dt r d dt

L

d _Q 



 



 













F r

v m dt v

L

d_Q    









p r Q

Or’ r^O

39

Teorema del momento angolare

• Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo e` il momento di forza (calcolato rispetto allo stesso polo), quindi otteniamo il teorema del momento angolare (MA)

Q Q

dt L

d ^





Conservazione del MA

• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al polo scelto) allora il momento angolare si conserva (rispetto allo stesso polo) e

viceversa

 0

^Q _{ 0}

dt L d_Q

. const L_Q 

41

Momento dell’impulso

• Riscriviamo il teorema del momento angolare in forma differenziale

e integriamo da un’istante iniziale ad uno finale

• Cio` significa che per produrre una variazione di momento angolare e` necessaria l’azione, su un intervallo di tempo, di un momento di forza

L d dt 

 

i f

t t

L L

L d

dt   

 







Momento dell’impulso

• Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare

si puo` esprimere in termini dell’impulso prodotto dalla forza, purche’ l’intervallo di tempo sia abbastanza

piccolo affinche’ il vettore r non cambi apprezzabilmente

• Questo e` il teorema del momento dell’impulso

 









t t

i

f L dt r F dt

L

0 0

 

 

 





L L

t t

i f

 

 

 



  





0 0

43