3.1 L INEARIZZAZIONE DI UN SISTEMA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
In generale ogni qual volta si abbia a che fare con delle equazioni complesse che non consentono di determinare in forma chiusa le soluzioni che descrivono la risposta dinamica di un certo sistema, pu€
essere molto utile effettuarne una linearizzazione. Questa infatti permette di studiare il comportamento dinamico del sistema per piccoli scostamenti da condizioni stazionarie del moto, ricavando la struttura delle funzioni di trasferimento che legano ingressi ed uscite. Questa operazione consiste nel determinare un punto di equilibrio (o condizione di trim) e nello scrivere le equazioni differenziali del moto rispetto a tale punto, utilizzando uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine.
Di seguito viene riportata la procedura che • stata utilizzata per lo studio delle equazioni linearizzate del modello QSTM_07, ricavata da [9].
Introdotto il vettore degli stati:
(3.1)
1 n 2
n
X X X
X X
il generico sistema di equazioni differenziali che ne descrive la dinamica pu€ essere formalmente espresso attraverso una relazione del tipo:
(3.2) f X, X, U 0
dove U rappresenta il vettore degli ingressi:
E QUAZIONI DEL MOTO LINEARIZZATE
C APITOLO 3
(3.3)
1 q 2
q
U U U
U U
e dove le componenti sia di X che di U sono funzioni del tempo t.
Il set di variabili che costituiscono il vettore degli stati X prendono il nome di variabili di stato ed il loro valore all’istante generico
t t
* caratterizza completamente lo stato del sistema.
ninvece • detto spazio di stato ed • uno spazio vettoriale le cui dimensioni sono date dal minimo numero di variabili di stato necessarie per descrivere lo stato del sistema.La (3.2) presuppone ovviamente che le forze e le coppie presenti nel sistema di equazioni differenziali, siano esprimibili in funzione di X, U ed
X
.Oltre a ci€, spesso risulta utile costruire un vettore di variabili Y ottenuto mediante una combinazione del vettore degli stati e degli ingressi, che prende il nome di vettore delle uscite del sistema:
(3.4) Y g X, U
dove g • in generale un vettore di funzioni non lineari.
A questo punto considerando le equazioni del moto espresse in forma compatta secondo la (3.2), il sistema si trova in una condizione di trim quando • possibile determinare un vettore degli stati
X
0 ed un vettore degli ingressiU
0costanti e tali che(3.5) f 0 , X , U
0 0 0
Si noti in particolare che se
X
0 • costanteX
0 0
.Matematicamente l’espressione linearizzata della (3.2), rispetto alla condizione di equilibrio indicata col pedice 0, assume la forma seguente:
(3.6)
0
0
0
0 0 0
0
f f f
f X, X, U X X X X U U
X X U
dove
f X
0, f X
0 e f U
0 sono matrici Jacobiane (da valutare nella condizione di equilibrio
0X X
,U U
0) il cui elemento generico di riga i e colonna j si ottiene come f
i X
j , f
i X
j, ovvero f
i U
j. Si noti inoltre che nella condizione di trim si ha:(3.7) Y
0 g X , U
0 0
Introdotti i termini stazionari e le perturbazioni rispetto alle condizioni di equilibrio con la simbologia seguente:
(3.8) X X
0 x , U U
0 u , Y Y
0 y
e tenendo conto della (3.5), la (3.6) diventa semplicemente:(3.9) x x u
dove si • posto:(3.10)
0 0 0
, ,
f f f
X X U
Poichƒ, a meno di casi particolari, la matrice
• non singolare, si ricava:(3.11) x
Ax
Bu
dove
(3.12)
A
1,
B
1A e B prendono il nome rispettivamente di matrice degli stati e matrice degli ingressi.
In maniera perfettamente analoga si ottiene:
(3.13)
0 0
0
0
0 0
,
g g
Y g X U X X U U
X U
da cui
(3.14) y
Cx
Du
dove
(3.15)
0 0
,
g g
X U
C D
C prende il nome di matrice delle uscite e D quello di matrice di accoppiamento ingressi-uscite.
Le (3.11) e (3.14) rappresentano l’insieme delle equazioni linearizzate del moto.
Da ultimo si passa alla definizione di un sistema di notazione semplificativo applicabile alle espressioni delle forze e dei momenti eventualmente contenuti nelle equazioni del sistema (3.2) che, come gi„ detto, per ipotesi sono esprimibili in funzione di X, U ed
X
.Indicando con
m il vettore contenente tutte le variabili da cui forze e momenti dipendono (pu€ essere X
), si pu€ scrivere:(3.16)
0
0
0 0
,
F M
F F M M
avendo indicato, come al solito, con il pedice 0 le condizioni di trim ed avendo posto:
(3.17)
0… immediato riconoscere che:
1 1
0 0 0 0
,
m m
i i
i i i i
F F M M
F M
dove
1 2 1 2
0 0 0 0
, ,..., , , ,...,
m m
F F F M M M
F M
(3.18)
1 0 1 0
i
,
im m
i i
i i
F F M M
3.2 LINEARIZZAZIONE DEL MODELLO QSTM_07
I concetti relativi alla linearizzazione introdotti nel paragrafo precedente vengono ora applicati al modello QSTM_07, implementato sulla base del seguente set di equazioni (cfr. † 2.2.2):
Equazioni del moto
(1.34)
W W W
D
D D
I F h N x T
x T
mV F N
R R
dove D2
D
m I
R
,V R
D
D.Forza di contatto
(1.23) F F
b F
rolldove:
(2.16)
2 2
2 0 1
b sx x x x
x
F K s K s sign s N
K C N C N V
s
: F
ORZA FRENANTE(2.17) F
roll
roll0 1 K s
r x2 N
: FORZA DI ROTOLAMENTOBraccio della risultante delle pressioni all’interfaccia ruota-tamburo
(1.39)
1 1
1 1
1
b
b
D e
roll b D
e D
R R
h h
h h
x F F T
N R N
R N
Tutti i passaggi necessari per effettuare la linearizzazione sono riportati per esteso nella Appendice C, mentre nel presente paragrafo si riportano solo i risultati finali di tali passaggi.
Analizzando i vari termini che compaiono nelle espressioni (1.34), (2.16), (2.17) e (1.39),
F
,h
,x
,
eeb
R
si osserva che sono funzione solo delle variabili indipendenti
W eV
. Pertanto le equazioni del moto (1.34) possono essere riscritte nel seguente modo:(3.19)
, ,
, ,
W W W W W
W D
W
D D
I F V h V Nx V T
x V T
mV F V N
R R
Andando a studiare la tipologia del sistema, si pu€ notare in primo luogo che il tamburo rotante • essenzialmente una massa in rotazione, per cui la dinamica che lo caratterizza • quella di un integratore puro, apparentemente complicata dal fatto che su di esso agiscono le azioni, variabili in funzione delle condizioni operative, di
F
edx
. Detto ci€ • evidente che l’unico elemento del quale • necessario fare un dettagliato studio • la ruota dotata di pneumatico. Quindi non • necessario fare la linearizzazione di entrambe le equazioni, ma come rappresentato graficamente in Figura 3.1, si pu€realizzare un modello Simulink dove • sufficiente considerare un blocco “DRUM” nel quale • riportata solo l’equazione relativa al tamburo rotante, ed un blocco “RUOTA” dato dalle funzioni di trasferimento (FdT) che si ottengono dalla linearizzazione della sola equazione della ruota (la prima delle (3.19)) e che mettono in relazione le uscite (
W,F
,x
) con gli ingressi (T
W,V
) in termini di variazioni rispetto alla condizioni di trim.Figura 3. 1 Rappresentazione grafica del sistema dinamico ruota-tamburo rotante (drum), con modello della ruota linearizzato.
Considerando infatti come unica variabile di stato la
W, laV
che compare nella prima delle (3.19), diventa un ingresso per la ruota ed assieme allaT
W va ad influenzare i valori diF
edx
che riportati nel blocco del drum permettono di calcolare la seconda delle (3.19).Come primo passo per la linearizzazione • necessario stabilire il ruolo giocato dalle diverse variabili che si trovano in (3.19):
(3.20) X
W :v. degli statiT
WV
U
:v. degli ingressiW
F x
Y
:v. delle uscite TWW0
T
TW
V
W
F
x
+
x0
+
+ 0
F +
+ W0
+ +
TD
W
DRUM RUOTA
x
V F
V0
+
−
−
per poi passare a scrivere gli sviluppi di Taylor del Iˆ ordine nell’intorno della condizione di trim, dell’equazione della ruota e del vettore delle uscite secondo le (3.6) e (3.13) che consentono di scrivere il problema nella forma canonica (cfr Appendice C):
(3.21)
W
W W
W
W W
T V F T
x V
A B
C D
dove
(3.22)
1 1 1
2 2 2
3 3 3
g g g
g g g
g g g
W W
W W W W
W W
T V
T V T V
T V
A f B f f C D
con
0 x
f f x
3.3 F UNZIONI DI TRASFERIMENTO DEL MODELLO QSTM_07
Avendo a disposizione il sistema delle equazioni del moto linearizzate • utile ricavarne le relative funzioni di trasferimento (FdT) in modo da relazionare le variabili che costituiscono il vettore delle uscite
Y
con quelle del vettore degli ingressiU
. Dalle FdT non • possibile per€ ottenere la dinamica complessiva delle equazioni, ma come gi„ accennato a proposito della linearizzazione, sono utili per studiarne il comportamento a fronte di piccoli ingressi partendo da una condizione di trim. Per questa ragione in ingresso al blocco “RUOTA”, nella figura 3.1, si hanno le quantit„ T
W e V
, mentre le uscite
W, F
e x
vengono sommate ai rispettivi valori al trim.Di seguito si riportano la matrice delle FdT
G s
, ed i vari parametri che le compongono (zeri, poli e guadagni) in forma chiusa.Partendo dal sistema linearizzato posto nella forma:
(3.23)
x x u
y x u
A BC D
con x t
0 0
dove con
x
,u
edy
si indicano le componenti perturbative delle relative variabili al trim nel dominio del tempo, e riscrivendolo in funzione della variabile laplacianas
definita nel dominio complesso:(3.24) s
X X U
Y X U
A B C D
dove
X
,U
edY
sono le trasformate nel dominio complesso dellex
,u
edy
, si arriva, dopo alcuni semplici passaggi (cfr. Appendice C), ad ottenere la matrice delle FdT G s
:(3.25)
11 12
22 22
21
32 32
31
K K
s p s p
K s z s K
s p s p
K s z K
s p s p
G
dove:
(3.26)
11 1 12 1 21 2
22 2 31 3 32 3
2 2 3 3
22 32
2 3
g f g f g f
g g f g
g g f g g f
g g
W W W W W
W W
W W W W
W
T V T
V T V
V V V V
V V
K K K
K K K
z z p
f f
f
sono le espressioni in forma chiusa dei guadagni , degli zeri e dell’unico polo delle FdT. In esse i termini
g
1W ,
f
TW ,
g
2V ecc, rappresentano le derivate parziali dellef
eg
rispetto alle variabili riportate in apice:0 x
f f x
In definitiva il sistema delle FdT pu€ essere riscritto in forma compatta come segue:
(3.27)
11 12
21 22 22
31 32 32
W
1
W
K K
F K K s z T
V s p
x K K s z
3.4 P ARAMETRI DELLE F D T DEL MODELLO QSTM_07
Le FdT (3.27) hanno una struttura molto semplice, essendo tutte proprie o strettamente proprie al pi‹ di grado 1. Inoltre l’unico polo esistente • lo stesso per tutte. Si noti inoltre che la generica uscita • data dalla combinazione di due FdT legate agli ingressi
T
W e V
.Si indichi con
Y s
l’uscita definita nel dominio della variabile laplaciana s, si ha:(3.28) Y s G s U s
dove
G s
• la FdT eU s
l’ingresso del sistema definito anch’esso nel dominio complesso.Si ricordi poi che la
Y s
con poli e zeri aventi molteplicit„ pari ad 1, pu€ essere scritta in questa forma:(3.29)
1
1 m
i i
n
j j
s z Y s A
s p
dove
A
• il guadagno aerodinamico della FdT.La (3.29) pu€ essere riscritta come segue:
(3.30)
1 n
k
k k
Y s c
s p
con:(3.31) lim
k
k k
s p
c Y s s p
che antitrasformata, permette di ricavare la
y t
cio• la risposta all’ingressou t
del sistema nel dominio del tempo, data da:(3.32)
1
k
n
p t k k
y t c e
Come esempio si consideri la FdT che lega la
F
alla V
, supponendo che l’ingresso V
sia un gradino unitario:(3.33)
22 22
s z 1 F s K
s p s
Si riscrive la (3.33) in base alle (3.30) e (3.31):(3.34)
1 2
22 22 1
22
2 22
c c
F s s s p c K z
p
z p
c K
p
ed infine, utilizzando la (3.32), si ricava la risposta nel dominio del tempo:
(3.35) F t c
1 c e
2 ptCome • evidente la (3.35), nel caso in cui sia
p 0
, cio• nel caso in cui il sistema sia stabile, • un’esponenziale che parte at
0 dal valore F t
0 c
1 c
2 per tendere al valore (finito)
F c
1
tanto pi‹ rapidamente quanto pi‹
p
• grande. Se invece •p 0
(sistema instabile), la risposta a partire da F t
0 c
1 c
2, tende esponenzialmente all’infinito.Di seguito si riportano gli andamenti dei parametri (3.26), al variare delle condizioni di frenata di trim, vale a dire in funzione di
x0
s
eV
0, per i tre test dei quali si hanno a disposizione i datisperimentali. (Nell’Appendice C sono riportate per esteso le loro espressioni). Ad eccezione di
K
11 che • costante (1 I
W ), tutti gli altri variano considerevolmente al variare delle condizioni operative e del test considerato, anche facendo variare solox0
s
e mantenendoV
0 costante, o viceversa. Si osserva inoltre che il polop
• sempre positivo, pertanto la dinamica del sistema associata • stabile, e tipicamente di corto periodo, ma al variare delle condizioni subisce delle notevoli escursioni: infatti, ad esempio, passa da valori prossimi a 300 per0
0.01
s
x a valori sotto i 100 per0
0.1
s
x ad una0
65
V
m/s (Test nˆ1).Procedendo analogamente a quanto fatto sopra si ricavano facilmente tutte le uscite del sistema (3.27) in funzione dell’ingresso desiderato.
Test n€1:
Test n€2:
Test n€3:
3.5 R ISULTATI DEL MODELLO QSTM_07 LINEARIZZATO
Quanto detto nel precedente paragrafo († 3.4) pu€ essere rappresentato graficamente, ponendo il sistema in una data condizione di trim, identificata da assegnati valori di
x0
s
eV
0, ed osservando le risposte che derivano dall’applicazione di ingressi a gradino.In Figura 3.2 si riportano, come esempio, le risposte
W,F
,x
per ingressi a gradino diT
W eV
pari all’1% dei valori di regime delle relative grandezzeW0
T
eV
0.Figura 3. 2 Risposta delle FdT del modello QSTM_07 linearizzato per ingressi a gradino TW e V (Trim:
0 0.01
sx e V 0 65.06).
Gli effetti dell’uno o dell’altro sono riportati sulle due colonne della figura. Si fa notare come tali curve siano concordi col risultato dell’equazione (3.35) (che fornisce l’andamento temporale della variazione della grandezza
F
considerata rispetto al suo valore al trimF
0 per un ingresso V
a gradino unitario). Considerando infatti le (3.34) e (3.35) si ha:(3.36)
0 22
22 22 22
22 22 22
pt
F t K
z p
F t K z K e K z
F
p p
p
(dove con
t t
0 si indica l’istante in cui viene introdotto il gradino, mentre cont
un istante maggiore di 4 volte la costante di tempo del sistema (1 p
) per il quale la risposta si pu€ considerare di regime), per cui correttamente la curva parte da un valore non nullo per tendere esponenzialmente ad un altro valore anch’esso diverso da zero.Figura 3. 3 Risposta delle FdT del modello QSTM_07 linearizzato per ingressi a gradino TW e V agenti contemporaneamente (Trim:
0
x 0.01
s e V 0 65.06).
Figura 3. 4 Risposta del modello QSTM_07 linearizzato ad un ingresso a gradino
0
W 0.01 W
T T
(Trim:
0
x 0.01
s e V 0 65.06).
Come riportato in Figura 3.3, qualora gli ingressi agiscano contemporaneamente, il risultato complessivo sar„ dato dalla combinazione degli effetti legati ai singoli ingressi.
Se invece, si prende in considerazione il modello QSTM_07 linearizzato (illustrato in figura 3.1), le risposte che si ottengono per un ingresso a gradino
T
W sono del tipo riportato in Figura 3.4, dove non si ha un valore di regime verso il quale le variabili tendono, ma le curve dopo aver esaurito la dinamica di corto periodo, evolvono come una rampa. Ci€ non • dovuto ad un cambiamento delle FdT che descrivono la dinamica della ruota ma al fatto che questa, nel ciclo chiuso di figura, va a sommarsi alla dinamica del tamburo rotante, che come osservato in precedenza • semplicemente un integratore puro (Cfr. † 3.2).3.6 C ONFRONTO TRA I RISULTATI DEI MODELLI QSTM_07 NON
LINEARE E LINEARIZZATO
Oltre al fatto di ricorrere alla linearizzazione delle equazioni del moto del sistema, per poter studiare la sua dinamica in maniera semplificata, • interessante andare ad analizzare le differenze che si ottengono dalle simulazioni nei due casi, sistema completo e linearizzato.
Nelle Figure 3.5 Π3.7 si confrontano i risultati per entrambi i modelli, nelle condizioni fondamentali di puro rotolamento quasi stazionario, di moto stazionario non frenato e frenato:
Figura 3. 5 Confronto tra le simulazioni della condizione di puro rotolamento quasi stazionario coi modelli QSTM_07 e QSTM_07 linearizzato (Trim:
0 0.01
sx e V 0 65.06), Test 1.
In tutte queste situazioni, partendo dalle stesse condizioni
x0
s
eV
0 si nota una buonissima corrispondenza tra i risultati dei due modelli.Figura 3. 6 Confronto tra le simulazioni della condizione stazionaria non frenata coi modelli QSTM_07 e QSTM_07 linearizzato (Trim:
0 0.01
sx e V 0 65.06), Test 1.
Figura 3. 7 Confronto tra le simulazioni della condizione stazionaria frenata coi modelli QSTM_07 e QSTM_07 linearizzato (Trim:
0
x 0.01 s e V 0 65.06), Test 1.
Ma anche la risposta ad uno stesso ingresso a gradino non presenta discordanze, come si pu€
vedere dalla Figura 3.8.
Le differenze si riscontrano invece nel caso in cui i due modelli vengano sottoposti all’ingresso
T
W sperimentale a partire dalla medesima condizione di puro rotolamento quasi stazionario (Figura 3.9).Andando infatti ad osservare gli andamenti delle velocit„ angolari della ruota e del tamburo, si vede come nel caso linearizzato, al termine della dinamica del corto periodo, queste rallentino di meno rispetto al modello completo per poi portarsi su una rampa con pendenza maggiore.
Tali risultati potrebbero probabilmente migliorare, se fosse possibile realizzare un modello linearizzato che aggiorni i parametri (zeri, poli e guadagni) delle FdT nel corso della simulazione, considerando in ogni istante i valori attuali di
s
x eV
come valori di trim. Si ricordi infatti la forte variabilit„ che li caratterizza, mostrata dai grafici riportati nel † 3.4.Figura 3. 8 Confronto tra le simulazioni di frenata con ingresso a gradino
0
W 0.01 W
T T
coi modelli QSTM_07 e QSTM_07 linearizzato (Trim:
0 0.01
sx e V 0 65.06), Test 1.
Figura 3. 9 Confronto tra le simulazioni di frenata coi modelli QSTM_07 e QSTM_07 linearizzato, con ingresso T dato dai dati sperimentaliW (Trim: puro rotolamento quasi stazionario con
0 0.01
sx e
0 65.06
V ), Test 1.
