desiderata nel caso che la reazione (A  B) sia irreversibile e d’ordine n (con n≠1) del tipo:

ESERCIZIO – reattore BATCH

Determinare il tempo di reazione t

_f

necessario per avere una conversione x

_f

desiderata nel caso che la reazione (A  B) sia irreversibile e d’ordine n (con n≠1) del tipo:

In questo caso, sempre nell’ipotesi di volume e temperatura costante, si ha:

C_A= C_A0(1 – x) r_A=k (C_A0 (1 – x))ⁿ

L’equazione costitutiva del reattore batch si scrive quindi:

n

A A

r  kC

   

^-1

 

0 -1 0

0 0 0 1 0 1

   

 



^f



^f



^f

x x x

n

f A n n A f n

A

dx dx dx

t C kC t

r x kC x x

Scegliere quale tra le tre configurazioni reattoristiche è la più conveniente:

1) V=50 litri, Q=2.5 litri/hr, k=5.5hr

^-1

2) V=1 litri, Q=2.5 litri/hr, k=5.5hr

^-1

3) V=5 litri, Q=150 litri/hr, k=5.5hr

^-1

In tutti e tre i casi proposti impiegare una cinetica del primo ordine (kC). Confrontare le conversioni ottenute con le tre configurazioni reattoristiche.

Per applicare l’equazione di analisi x = Da/(1+ Da) dobbiamo determinare il numero di Damkhöler Da = k = kV/Q nei tre casi:

CASO Da = k V / Q x

1 5.550/2.5 = 110 0.99

2 5.51/2.5 = 2.2 0.687

3 5.51/150 = 0.183 0.155

La conversione massima si ha nel caso 1 ma più conveniente è il caso 2.

ESERCIZIO

In un CSTR ha luogo una reazione con cinetica del secondo ordine (r=kC

²

). Scegliere quale tra le tre configurazioni reattoristiche è la più conveniente:

V=15 l, Q=1 l h

^-1

, C

_in

=1.2 mol l

^-1

, k=0.8 litri kg

^-1

h

^-1

V=15 l, Q=16 l h

^-1

, C

_in

=1.2 mol l

^-1

, k=0.8 litri kg

^-1

h

^-1

V=15 l, Q=150 l h

^-1

, C

_in

=1.2 mol l

^-1

, k=0.8 litri kg

^-1

h

^-1

Dimostrare che la soluzione per x nel caso in esame è:

Confrontare le conversioni ottenute con le tre configurazioni 1+2Da 4Da+1

x  2Da ^

 

²

2 2

in 1

in

C x  kC kC  x



Da

 

ⁱⁿ _in

in

r C kC

 C    (1 )2

in

x kC  x



Utilizzando la definizione generale del numero di Damköhler cioè

si ha

2 2

Da(1 ) Da(1 2 ) x   x   x x

Dax2 (2Da 1) xDa=0 cioè

la cui soluzione per 0 < x < 1 è

1+2Da 4Da+1 x  2Da^

CASO Da = k C_in V / Q x 1 0.81.215/1 = 14.4 0.769 2 0.81.215/16 =0.96 0.375 3 0.81.215/150 = 0.096 0.081 Le conversioni ottenute nei tre casi sono riassunte in tabella:

Verificare quando è necessario considerare il transitorio. Consideriamo per semplicità il caso di una reazione del I ordine:

 

0

1

0 1 mol litro

2 , 1 , 6 mol litro

i

i

r kC

dC C C dt kC

C C

h k h C





^



  

 

  

La soluzione di questa equazione differenziale ordinaria è:

  ²

^32t

C t   e

^

L’andamento di C contro il tempo può essere graficato.

1.4 1.6 1.8 2

CAilimortil

0 20 40 60 80 100

Tempo hr 1

1.2 1.4 1.6 1.8 2

CAilimortil

Durante lo startup è necessario considerare il sistema dinamico.

È necessario considerare un

sistema dinamico anche in

presenza di disturbi.

Consideriamo la seguente reazione di equilibrio che avviene in fase liquida:

Questa reazione ha luogo in un reattore a mescolamento che supponiamo in regime stazionario. Il volume di questo reattore è di 120 litri. Due correnti di alimentazione, una contenente 2,8 moli/litro di A e l’altra contenente 1,6 moli/litro di B, devono essere introdotte nel reattore con portate uguali. Si desidera una conversione del 75% del reagente limitante.

Quale deve essere la portata di ciascuna corrente? Ipotizzare che la densità sia costante.

1 2

 ^k_k 

A B C D

1 2

l l

7 ; 3

mol min mol min

 

k k

Esercizio (continua)

L’equazione di cui disponiamo è l’equazione di progetto di un CSTR in condizioni stazionarie (14) e/o (15). In questa equazione l’incognita è nascosta in



(=V/Q).

La reazione è equimolare. Affinché vi sia reazione completa occorrono una mole di A e una di B. Pertanto, il reagente limitante è B. Immaginando di unire le due correnti in ingresso, le concentrazioni iniziali di A e B saranno dimezzate (A=1.4 mol/l e B= 0.8 mol/l). Con una conversione del 75%, la corrente in

uscita dal reattore conterrà il 25% di B in entrata, cioè 0.8 mol/l0.25 = 0.2 mol/l. La corrente in uscita conterrà moli di C e D in misura uguale alle moli consumate di B, cioè:

C

_A

=1.4 – 0.6=0.8 mol / l C

_B

=0.8 – 0.6=0.2 mol / l C

_C

=0.6 mol / l

C

_D

=0.6 mol / l

Trattandosi di un CSTR, queste sono anche le composizioni all’interno del reattore. Conoscendo le composizioni e le costanti cinetiche (k_i) è possibile calcolare le velocità di reazione all’interno del reattore.

r_A=r_B=k₁C_AC_B – k₂C_CC_D=7*0.8*0.2 – 3*0.6*0.6=1.12 – 1.08

=0.04 moli/(litro min)

L’equazione di progetto è:

   

0 0

A A A A

A

A

C C V C C

r C  Q r C



 

   

  

0



120 0.04 -1

8 litri min 0.6

A

A A

Q V r C

C C

   



cioè 4 litri min^-1 per ciascuna delle due correnti.

Esercizio Una reazione omogenea in fase liquida:

, 2

A

 

A P r



Kc

è condotta in un reattore CSTR allo stazionario con una conversione del 50%.

1) Quale sarebbe la conversione se il reattore venisse sostituito da un altro CSTR sei volte più grande, ferme restando tutte le altre condizioni?

2) Quale sarebbe la conversione se il reattore originale fosse sostituito da un PFR - ferme restando tutte le altre condizioni?

2 0 2

0(1 ) (1 )

f f

f f

cstr cstr cstr

f f

x x

x x

Kc Da

Kc x x

     

 

2

1

(1 ) 1 1

f pfr

f

dx x

x

 

x



Da



x

  



Per una conversione del 50% si ha che:

cstr I 2

Da

_ 

In un PFR con lo stesso volume si ha:

 

²

3

6 12 4

1 4

3

f f

cstr II cstr I

f f

x x

Da Da

x x

 

 

     

  



NO!!!!

In un CSTR con un volume sei volte più grande

2 2 2

1 3

f

pfr cstr f

f

Da Da x x

   

x

 



Esercizio – volume variabile

Una reazione omogenea in fase gassosa:

3 A  R

avviene a 215°C con velocità di reazione:

0.5 0.5 2

0.5

mol mol

10 l h l

A A

r

 ^

C

 

Determinare il tempo di residenza necessario per avere l’80% di conversione di una miscela dal 50% di inerte inviata in un PFR funzionante a 215°C e 5 atm. Sia C

_A0

= 0,0625 moli/litro.

Per la stechiometria considerata e con il 50% di inerti, due volumi di gas entrante danno luogo a 4 volumi di gas completamente convertito:

4 2

 

L’equazione di progetto del PFR per la cinetica dell’esercizio è quindi:

0 0 0

0 0 0

0

1 1

f f f

x x x

A

dx dx dx

C C C

r k C x

k C x

     



 

  

e, pertanto:

0

0

1 1

xf

C x

k x dx

   





Questo integrale può essere calcolato in due modi:

• numericamente

• analiticamente

L’integrazione analitica fornisce un risultato esatto ma non è sempre possibile.

Ricordiamo che il grado di conversione per un sistema a volume variabile è definito come:

0 0

0 0 0 0

V C VC 1 VC

x V C V C

   

e, se poniamo

V=V

₀

(1+  x)

, si ha

0

1 1 C C x

x

 



0 1 1

0.2 1.5 1.227

0.4 2.3 1.528

0.6 4 2

0.8 9 3

1 1

x x

 



1

1 x x

 



Facendo uso della regola di Simpson con i dati in tabella si ha:

Esercizio

x

   



¹



0 1

1

1 2

xf n

i i i

i

x f x f x x dx

x





 

  

 



L’indice

i

varia da

1

fino a

n

dove

n

è il numero degli elementi considerati. Nel caso in esame è pari a 4.

Con l’integrazione numerica si ha:

0

1 1.331

1

xf

x dx x

  

 

L’integrazione analitica:

 

^{2 0.8}

0 0

1 arcsin 1 1.328

1

xf

x dx x x

x

          



0.0625

1.33 33.2 h

  0.01  

Esempio – reagente limitante

Consideriamo la reazione:

Facciamo avvenire questa reazione in un PFR

Per semplicità assumiamo che il processo sia isotermo e che il volume possa essere ritenuto costante.

Fissate le concentrazioni in ingresso di A e B e la stechiometria della reazione, per descrivere il grado di avanzamento della reazione è sufficiente il solo grado di conversione di A, che supponiamo essere il reagente limitante:

Allora, ragionando come nel caso di un reagente unico, si ottiene che il tempo spazio del PFR è:

Prodotti

A B

 

0 0

A A

A

A

QC QC

x QC

 

xAf

dx

A





C 

19

Siccome in questo caso la velocità di reazione dipende dalla concentrazione di entrambi i reagenti, per ottenere la funzione

r(x

_A

)

si devono esprimere in funzione della conversione

x

_A le concentrazioni

C

_A e

C

_B

.

Per quanto riguarda

C

_A

si ha semplicemente che:

C

_A

= C

_A0

(1 – x

_A

)

Per quanto riguarda la concentrazione di

B

si può osservare dalla stechiometria che le moli di

A

e di

B

che reagiscono sono in uguale quantità, e quindi:

QC

_A0

– QC

_A

= QC

_A0

x

_A

=QC

_B0

– QC

_B

Avendo ipotizzato che non vi sono variazioni di volume si ha:

C

_A0

x

_A

=C

_B0

– C

_B

Definendo il rapporto di alimentazione

M

come:

M=C

_B0

/C

_A0

si ha:

0 B

A A

C M x

C  

Inoltre avendo assunto che

A

è il reagente limitante si ha che:

1

M 

CASO

M=1

La velocità di reazione si può esprimere in questa forma:

In effetti, siccome la concentrazione iniziale di

A

è uguale a quella di

B

e la reazione è stechiometrica, il sistema si comporta come se il reagente fosse unico e la reazione fosse del secondo ordine

 

²

2 0 1

A B A A

r



kC C



kC



x

 

0 2 2

0 0

0

1

Da 1

xAf

A

pfr A

A A

Af

pfr A

Af

C dx

kC x

kC x

x





 

 





CASO

M>1

  

0 2

0 0 1

xAf

A

pfr A

A A A

C dx

kC x M x





 



Esempio – reagente limitante

Ricordando la definizione generale del numero di Damkhöler:

e scegliendo

si ha cioè

Da ^rif

rif

r

 C



 

²

0 ; 0, 0 0 0 0

rif A rif A B A B A

C



C r



r C C



kC C



kMC

Da   kMC

_A0

 

Da ln

1 1

Af Af

M x M

M M x

  

    

Da ln 1

1 x

_Af

 

       

quindi l’equazione di progetto assume la forma tipica delle reazioni del primo ordine. Questo si spiega anche considerando che, se

B

è parecchio in eccesso rispetto ad

A

, allora la concentrazione di

B

può essere assunta costante in tutto il reattore, da cui:

e quindi la cinetica si può considerare del primo ordine.

 

0 0

A B A B A B

r  kC C  kC C  k C  k   kC

Evidentemente per

M

si ha che:

Esempio – reagente limitante

Consideriamo il caso di una reazione isoterma e reversibile:

Supponiamo per semplicità che questa reazione non comporti variazioni di volume. Il rapporto fra le concentrazioni di equilibrio è pari alla costante termodinamica di equilibrio K:

1

1 1 2 2

2 A B

A



B r



k C r



k C

1

Beq eq

Aeq eq

C x

K



C



x



Se la reazione è condotta in un PFR si ha:

dove r è il numero netto di moli reagite per unità di tempo e unità di volume, cioè:

 

0 0 xAf

A pfr

A

C dx



 r x



2

1 2 1 0 1 0

1

1 1 1 1 1

A B A A A A

r k C k C k C k x k C x

k K

       

             

1 0 1 0

1 1 1 1 ^A

A A A

eq

r k C x k C x

K x

 

   

         

D’altronde

Allora si vede chiaramente che la velocità di reazione netta si annulla quando il grado di conversione raggiunge il valore di equilibrio.

Naturalmente se x

_eq

=1 ci si riconduce al caso in cui la reazione è irreversibile.

Per quanto detto risulta:

0 1

0

1 0

ln 1 1 1

xAf

A

pfr A pfr eq

A Af A

eq eq

C dx Da k x

x x

k C x x

 

 

 

   

 

     

 

   

 



 

Naturalmente l’espressione assume significato solo per valori del gradi di conversione minori di quelli che si avrebbero all’equilibrio dato che la

Esempio – reazione di equilibrio (continua)

Cento moli della sostanza

R

devono essere prodotte in

1

h da una alimentazione satura di

A

(

C

_A0

=0.1

moli/litro) in un reattore a mescolamento. La reazione è:

Il costo del reagente alla concentrazione

C

_A0

=0.1

moli/litro è:

SA=325 euro per mole di A

Il costo del reattore comprendente l’installazione, le apparecchiature ausiliari, la strumentazione, la manodopera, il deprezzamento etc. è:

SM=6.5 euro/(litro h)

1) In condizioni ottimali quali sono il volume del reattore, la portata di alimentazione e la conversione?

2) Qual è il costo unitario di

R

in queste condizioni, se la portata non reagita di

A

va perduta?

0.2

1

A   R r  kC

A

k  h

^

Per risolvere questo problema bisogna trovare una espressione del costo totale e minimizzarla. Su base oraria il costo totale vale:

ST=SM*V+SA*F₀

Calcoliamo a questo punto i termini di questa espressione. Per una reazione del primo ordine dall’equazione di progetto del CSTR si ha:



⁰



0 1

f

A f

V F x

kC x

 

Tenendo conto che la velocità di produzione di R è:

Fr=F

₀

*x

_f

=100 moli/hr

si può eliminare F

₀

e scrivere l’espressione del costo totale in funzione della sola conversione.



¹



0.2 * 0.1* 1^{100 * 6.5}

 

¹⁰⁰³²⁵

r r

F F

ST SM SA

x x

kC x x

   

 

Esercizio - Determinazione del volume ottimo del reattore

(continua)

In questo modo si è ottenuta la dipendenza dei costi totali con la conversione.

Le condizioni ottimali si hanno in corrispondenza del minimo della funzione costi:



¹³²⁵⁰⁰



^{2 325002 0}

f f f

dST

dx x x

  



da cui si ricava che le condizioni ottimali si hanno per x_f = 0.5. A questo punto si può ricavare il volume del reattore:

0

0

200 / 2000 /

10000

r o

f A

F F

F moli h Q l h

x C

V l

    



Pertanto il costo del prodotto è:

1300 /

r

ST euro mole di R F 

(continua)

Esercizio – confronto fra reattori

La reazione in fase liquida

la cui cinetica è data da:

ha luogo in un reattore tubolare con flusso a pistone nelle seguenti condizioni:

Volume V = 0.1 l

Portata volumetrica Q = 0.05 l / min

Concentrazione dei reagenti in ingresso C_A0 = C_B0 = 0,01 mol / l Conversione x_A= 0.91

1. Si ricavi il valore di k

Impiegando il diagramma riportato in figura ricavare (approssimativamente):

2. Il volume di un reattore a mescolamento.

3. Il volume di un reattore a mescolamento nel caso in cui la stessa reazione Prodotti

A B

 

A B

r



kC C

Reattori in serie /parallelo - Esempio 1 cap. 6 Levenspiel

V=50 l V=30 l

V=40 l

Ramo D

Ramo E

Il sistema illustrato è costituito da tre reattori con flusso a pistone (PFR) collegati in due rami in parallelo. Inoltre sul ramo D ci sono due PFR in serie. Qual è la frazione dell’alimentazione che deve percorrere il ramo D?

Il ramo D è costituito da due reattori in serie e pertanto può essere visto come un solo reattore PFR avente volume pari ad 80 l. Per i rami in parallelo il tempo spazio deve essere uguale per avere la stessa conversione in ciascun ramo.

D E

V V

Q Q

   

   

   

80 2 40

D D

E E

Q V

Q  V  

C_A=C_A0*(1-x)

Una corrente liquida di reagente alla concentrazione di 1 mol/l attraversa due reattori CSTR in serie. La concentrazione di A all’uscita del primo reattore è 0.5 mol/l. Si trovi la concentrazione all’uscita del secondo

reattore sapendo che la reazione è del secondo ordine rispetto ad A e che il secondo reattore ha volume doppio rispetto al primo.

2 0

0 2

A A

A A A

A

C C V

QC QC VkC k k

C Q

      

Per una reazione del secondo ordine in un CSTR si ha:

Sappiamo che

0 1

1 2

1

1 0.5 0.25 2

A A

A

C C

k C

 

   

ed inoltre che

2 2 1 2 2 1 2 2 1

V  V  Q  Q    

perciò

 

1 2 2

2 1

2 2

2 2

0.5 2 4

A A A

A A

C C C

k k

C C

 

     

da cui

2 0.25

CA 

Reattori in serie /parallelo - Esercizio 3 cap. 6 Levenspiel

Una corrente liquida di reagente alla concentrazione di 4 mol/l attraversa un reattore CSTR e poi un reattore PFR, in serie. La concentrazione di A all’uscita del primo reattore è 1 mol/l. Si trovi la concentrazione all’uscita del secondo reattore sapendo che la reazione è del secondo ordine

rispetto ad A e che il secondo reattore ha volume triplo rispetto al primo.

2 0

0 2

A A

A A A

A

C C V

QC QC VkC k k

C Q

      

Per una reazione del secondo ordine in un CSTR si ha:

Sappiamo che 1 ⁰ 2 ¹ 1

4 1 3 1

A A

A

C C

k C

 

    e che V₂ 3V₁  Q ₂ 3Q₁    ₂ 3 ₁

L’equazione di progetto del PFR per una reazione del secondo ordine è

 

2 1 2 2

0 1 1

1 1 1 1

1 1 0 1

1

xf

f A

A f f

A

dx x

C kC x kC x k x

   

 



         

da cui

 

^{2 1}

2 2

3 9

1 _f 0 _f k k

k   k x   x     

   

Un componente A reagisce con una cinetica del secondo ordine e con una conversione del 95% in un singolo PFR. Si determini il numero di Damköhler. Viene installato un secondo reattore identico al primo: mantenendo la stessa conversione, determinare di quanto aumenta la capacità produttiva collegando i due reattori in parallelo o in serie.

Considerare la reazione in fase liquida.

 

0 2 2

0 0

0 0

1 1 1 1

1 1 0 1

1

xf

f

f f

V dx x

Q C kC x kC x kC x

   

  



          

L’equazione di progetto del PFR per una reazione del secondo ordine è

Se si mettono i due reattori in serie, a parità di conversione si dovrà avere lo stesso Da e quindi lo stesso tempo di residenza, dunque per volume doppio potrà alimentarsi una portata doppia e la produzione aumenterà del 100%.

 

0

Da 0.95

Da 1 Da Da 19

1 Da 1 0.05

f

f f

f

k C x x x

        x  

 

da cui

Se si mettono i due reattori in parallelo, ciascuno dovrà assicurare la stessa conversione di prima e quindi semplicemente doppio reattore doppia portata complessiva e quindi la produzione aumenterà ugualmente del 100%.

Esercizio

Un componente A reagisce con una cinetica del primo ordine e con una conversione del 95%

in un singolo reattore continuo. Si determini il numero di Damköhler. Viene installato un secondo reattore identico al primo: mantenendo la stessa conversione, determinare di quanto aumenta la capacità collegando i due reattori in parallelo o in serie, se:

a) I reattori sono entrambi con flusso a pistone b) I reattori sono entrambi a mescolamento.

Considerare la reazione in fase liquida

   

0 0

0.95

0 0 0

0

1 1

ln 1 ln 0.05

1

f f

C x

C x

V dC dx

C C x

Q   



kC 



kC x  k     k 

a) L’equazione di progetto del PFR per una reazione del primo ordine è

Se si mettono i due reattori in serie, a parità di conversione si dovrà avere lo stesso Da e quindi lo stesso tempo di residenza, dunque potrà essere

alimentata una portata doppia e la produzione aumenterà del 100%.

Da 3.00 k  

da cui

1 1

V x

Q    k x



b) L’equazione di progetto del CSTR per una reazione del primo ordine è

Se si mettono i due reattori in serie, osserviamo che i due reattori essendo identici (stesso tempo di residenza) realizzano la stessa conversione x_s :

Da 95 19 k   0.05 

da cui

Se si mettono i due CSTR in parallelo, ciascuno dovrà assicurare la stessa conversione di prima e quindi semplicemente doppio reattore doppia portata complessiva e quindi la produzione aumenterà del 100%.

0 1 1 2

0 1

s

C C C C

C x C

   

da cui si trae

     

²

1 0 1 _s ; 2 1 1 _s 0 1 _s

C C x C C x C x

mentre la conversione totale, che continuiamo a chiamare x poiché deve essere uguale a quella che si otteneva con un solo reattore, sarà definita come:

0 2

0

C C

x C

 

Esercizio (continua)

Sostituendo l’espressione appena ricavata per C₂ si ricava

 

²

 

²

 

0 0 2 2

0

1 ^s 1 1 _s 1 1 _s 2 _s 2 _{s s}

C C x

x x x x x x

C

 

         

Da questa espressione possiamo ottenere il valore della conversione x_s che è necessario realizzare in ciascuno dei due reattori in serie:

2 2 0 1 1

s s s

x  x  x  x   x

Ora usiamo il fatto che la reazione è del primo ordine per ricavare il valore del numero di Damköhler Da_s che deve avere ciascuno dei due reattori della serie per realizzare quanto ci chiede l’esercizio. Sappiamo che

s

s s

Da 1

1 1 Da 1

1 Da x 1

     x 

 

Da 1+Da

s s

s

x 

e quindi

ed infine, nel caso specifico:

s

Da  1  1 3.47



L’impianto a cui siete addetti ha due reattori a mescolamento di dimensioni diverse per produrre un determinato materiale, mediante una reazione omogenea del primo ordine.

Come devono essere collegati i due reattori per ottenere la massima produttività?

0 2

0 f

C C

x C

 

Per un fissato grado di conversione, la massima produttività si ottiene con la configurazione che permette la massima portata in uscita dal sistema per una fissata conversione. Bisogna quindi calcolare la portata in funzione della

conversione totale.

Consideriamo la soluzione con i due reattori in serie e cominciamo col

definire la conversione totale, osservando che la concentrazione in uscita dal sistema è quella del secondo reattore:

Mentre non sappiamo scrivere direttamente l’equazione di progetto per l’intero sistema, per ciascuno dei due CSTR invece sappiamo scrivere l’equazione di progetto. Quindi dobbiamo cercare una relazione fra il grado di conversione totale, precedentemente definito, il cui valore è prescritto, ed i due gradi di conversione che si realizzano nei due reattori, definiti come:

0 1 1 2

1 2

0 1

C C ; C C

x x

C C

 

 

V₁ V₂

Dalle definizioni si trae:

      

1 0 1 1 ; 2 1 1 2 0 1 1 1 2

C C x C C x C x x

Sostituendo l’espressione appena ricavata per C₂ in quella del grado di conversione totale, si ricava

    

0 0 1 2

1 2 1 2

0

1 1

1 1

f

C C x x

x x x x x

C

  

     

Questa espressione è indipendente dal tipo o ordine della reazione. Si osservi inoltre che l’espressione è simmetrica in x₁ ed x₂, quindi la prestazione del sistema è invariante con l’ordine dei reattori.

La traccia parla di reazione del primo ordine. In questo caso la conversione in un CSTR non dipende dalla concentrazione in ingresso. Quindi, per esempio, nel caso di volumi uguali i due reattori avranno conversioni uguali x₁ x₂  x_s , il che comporta:

Esercizio (continua)

1 2 1 2 f

x x x x  x

da cui

V₁ V₂

1 2 1

1 2

1 2 1

Da Da Da

1+Da ; 1+Da 1+ Da

x  x   



che sostituiamo nell’espressione ricavata prima per trovare

1 2 2

1 2 1 1

1

Da V ; Da V V Da Da

k k

Q Q V

    

Nel caso generale di volumi diversi, definiamo i numeri di Damköhler per i due reattori ed esprimiamo le rispettive conversioni in funzione di essi.

Introduciamo il parametro   V₂/ V₁ e scriviamo :



¹

 

¹



1 2 1 2 1 1

1 1

1 1 1 1

f f

x x

x x x x x x x x

x x

 

      

     



¹



2

1 1 1

x x

x

 

  

da cui

V₁ V₂

s s

s

s s

Da Da 1

1 1 Da 1

1 Da 1 Da 1

s f

f

x x

       x 

  

da cui, impiegando l’equazione di analisi per x_s , si ricava l’equazione di progetto per il sistema (serie di due CSTR uguali):

Esercizio (continua)

e dunque dai dati del problema si può calcolare numericamente e confrontare con quella derivante da altre soluzioni reattoristiche.

1 1

1

Da 1 x

 x



da cui, usando l’equazione di progetto per il primo reattore, si scrive:

e da qui si può risalire al numero di Damköhler Da₁ in funzione di x_f. La portata si ricava infine dalla definizione di Da₁:

1

Da1

Q  k V

equazione algebrica in x₁ che ha due soluzioni di cui una ammissibile:

       

²

1

1 1 1 1

2 2

f f

f

x x

x           x

    

 

V₁ V₂

Consideriamo ora i due reattori in parallelo.

V

da cui

1 2

1 2

1 2

V V

Q      Q

Per un sistema costituito da due reattori in parallelo resta libero il rapporto delle portate Q₁/Q₂. Si sa dalla teoria che le portate sono ripartite in modo ottimale se i tempi di residenza sono uguali. Quindi

Dato che la reazione è del primo ordine, si ha che

V₂



1 2



1 2

V V V

Q Q Q 

   

 

1 1

f

f

x k x

  

e quindi



^{1 f}



f

Q kV x x

 

Si vede che il valore della portata è in questo caso indipendente dal

rapporto tra i due volumi. Questo risultato va confrontato con quello per la configurazione in serie, ad esempio per volumi uguali (caso ottimale) e per uno dei volumi = 0 (caso pessimo).

Esercizio (continua)

si ha Nel caso dei volumi uguali si ha:

V₂ V₁

e ricordando che



^{1 f}



PARALLELO

f

Q kV x

x

 

V₁ V₂

s

Da 1 1

1 x_f

 



1 1

1 Da 2 Da_s

V V

Q  k  k



¹



2 1 1

f SERIE

f

Q kV x

x

 

 

Posto

1 _f 0 y  x 

 

2 2

2 1 1

1 1 1 1 1

f

f

y x

y y

d y y y x

 

   

   

da cui

2 2

1x_f  y ; x_f  1 y

si scrive

da cui si deduce che la soluzione di due CSTR in parallelo è meno

conveniente di quella di due CSTR in serie, almeno nel caso ottimale di due reattori uguali. Se i due reattori sono molto disuguali, al limite di

2 1

V 0

  V 

la distinzione serie-parallelo diventa insignificante.

Esercizi

Una reazione elementare in fase liquida:

avviene in un reattore con flusso a pistone, impiegando quantità equimolari di A e B con C_A0=C_B0=1 moli/litro e con una conversione del 96%.

a) Se un reattore a mescolamento dieci volte più grande del reattore precedente fosse collegato in serie ad esso, quale dei due dovrebbe trovarsi al primo posto e di quanto verrebbe aumentata la produttività con questo collegamento.

b) La concentrazione dell’alimentazione influisce sul risultato? E in caso affermativo in che modo?

A B  R S

L’equazione di progetto del PFR in presenza di un riciclo è:

Naturalmente per R = 0 essa si riduce alla equazione di progetto del PFR senza riciclo.

 

0

0 0

xf

V dx

Q C r x

  



   

0 0

1

1

f

f

x

riciclo

R x R

V dx

C R

Q r x



   



Esercizi

Una reazione elementare del secondo ordine in fase liquida:

ha una conversione pari a 2/3 operando con un reattore tubolare isotermo e con un rapporto di riciclo unitario. Quale sarà la conversione se la corrente di riciclo viene interrotta?

Tenendo conto della cinetica del secondo ordine si ha:

2A2R

 

 

^{2 0}

 

²

   

0

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

f f

f f

x x

A

R R

A x x f f

R R

R dx dx R

kC Da

kC x x x R x

 

 

   

       

   

    

 

Sostituendo R=1 ed il valore di progetto per x_f =2/3 si trova Da=3

Se il riciclo viene interrotto (R=0) a parità di Q, V, K e C_A0 il valore di Da non cambia. Questa volta, l’ultima equazione può essere impiegata per determinare x_f noto Da (R=0).