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NUMERI NATURALI E NUMERI INTERI

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Academic year: 2022

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(1)

TEORIA

CAPITOLO

1

1. Numeri naturali

■ RAPPRESENTAZIONE E ORDINAMENTO

 Esercizi a pagina 25

Sono nata il 13 dicembre 2005 alle 10:15. Abito al numero 18 di via Lombardia e per andare a scuola prendo l’autobus 25. Il mio numero di cellulare è 348 982…

I numeri evidenziati sono tutti esempi presi fra i numeri naturali:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Indichiamo il loro insieme con N.

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale segniamo con una freccia il verso di percorrenza.

All’origine facciamo corrispondere il numero 0. Fissiamo poi un segmento come unità di misura e associamo il numero 1 al punto che dista dall’origine una unità di misura, il 2 a quello che dista due unità di misura e così via.

3 1

unità di misura 2

0 4 5 6 7 8 9

La rappresentazione sulla semiretta orientata fa vedere che l’insieme dei numeri naturali è ordinato e possiamo sempre confrontare due numeri naturali fra loro.

I simboli per indicare le relazioni d’ordine sono:

1 minore; 2 maggiore; # minore o uguale; $ maggiore o uguale.

NUMERI NATURALI E NUMERI INTERI

A CACCIA DI PEPITE D’ORO

Per i matematici i numeri primi sono preziosi, perché sono utili per ri- solvere molti problemi: non solo quelli della teoria dei numeri, ma anche quelli di carattere pratico. Per esempio, le informazioni e le transazioni finanziarie trasmesse per via elettronica vengono protette usando prodotti di numeri primi. I matematici cercano nuovi numeri primi con la stessa passione dei cercatori d’oro a caccia di pepite.

Come si fa a trovare tutti i numeri primi minori o uguali a 50?

 la risposta a pagina 13

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(2)

TEORIA

Per esempio, possiamo scrivere: 315; 722; 4#4; 8$1. Per ogni numero naturale diverso da 0 esistono il precedente e il successivo.

Il numero naturale 0 ha 1 come successivo, ma non ha il precedente in N.

0 è il minimo, perché è minore di tutti gli altri numeri.

Per ogni numero naturale, esiste sempre il suo successivo, quindi l’insieme N è in- finito e non esiste il massimo, cioè un elemento maggiore di tutti gli altri.

Se consideriamo un numero naturale e il suo successivo, tra essi non esiste alcun al- tro numero naturale. Tale proprietà si esprime dicendo che l’insieme N è un insieme discreto. Questo non succede per i punti della retta. Se rappresentiamo due numeri naturali consecutivi sulla retta, tra i due punti corrispondenti ci sono infiniti punti della retta che non rappresentano numeri naturali.

Numeri e lettere

Quando, in matematica, si vuole considerare un numero generico si usano le lettere dell’alfabeto.

Per esempio, se indichiamo con n un qualunque numero naturale, il suo successivo è n+ . In questo modo abbiamo un’espressione che ha un valore diverso a seconda 1 del valore che assegniamo a n:

se n= , il suo successivo è 12 1 1312 + = ;

se n= , il successivo è 5 1 65 + = .

La lettera utilizzata è detta variabile perché possiamo sostituirla con numeri di volta in volta diversi.

■ OPERAZIONI E OPERANDI →

 Esercizi a pagina 26 Con i numeri naturali si eseguono le operazioni di addizione, sottrazione, moltipli- cazione e divisione. I due numeri con i quali si opera, cioè gli operandi, assumono nomi particolari, così come i risultati delle operazioni.

Operazione Primo operando

Secondo

operando Risultato Esempio

addizione addendo addendo somma addendi

somma

3+ =4 7

sottrazione minuendo sottraendo differenza

minuendo sottraendo

13- =2 11

differenza

moltiplicazione fattore fattore prodotto

fattori

5 9$ =45 prodotto

divisione dividendo divisore quoziente

dividendo

quoziente

48:6=8

divisore

5 6

precedente di 5

successivo di 5

4 3

MATHS IN ENGLISH In an addition, the numbers involved are called addends and sum; in a subtraction, minuend, subtrahend, and difference; in a multiplication, factors and product; in a division, dividend, divisor and quotient.

(3)

1. Numeri naturali

TEORIA

Definiamo anche l’operazione di potenza.

Potenza

Se a e n sono numeri naturali:

an=a a a a$ $ $ $f$a sen21;

n volte

a1= ;a

a0=1 sea!0.

Non si definisce 00.

si legge: «tre alla quarta»

3 3 3 3 81 34= $ $ $ =

4 volte

03=0 0 0$ $ =0

91= 19 1= 01 1=0 260= 11 0=1

Nella potenza an, a è la base, n è l’esponente.

Nella definizione vediamo che, se n2 , la potenza è una moltiplicazione ripetuta: 1 il suo risultato è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti sono quelli indicati dall’esponente.

La potenza a2, «a alla seconda», si legge anche «a al quadrato». La potenza a3, «a alla terza», si legge anche «a al cubo».

■ ESPRESSIONI NUMERICHE →

 Esercizi a pagina 28 Un’espressione con i numeri naturali indica un insieme di operazioni da svolgere in un ordine preciso.

La potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni. Moltiplicazioni e divisioni hanno la precedenza su addizioni e sottrazioni.

Quando una divisione e una moltiplicazione sono una dopo l’altra, vanno eseguite nell’ordine in cui compaiono, da sinistra a destra.

5+8 2: $3 1 5+ = +4$3 1+ = +5 12+ =1 18

prima la divisione

Le precedenze nei calcoli possono essere cambiate usando le parentesi. Vanno svolti prima i calcoli relativi a operazioni fra parentesi tonde, poi quelli fra parentesi qua- dre e per ultimi quelli fra parentesi graffe.

Per semplificare un’espressione, eseguiamo i calcoli, seguendo le precedenze, e poi la sostituiamo con un’espressione più semplice che ha lo stesso valore. Ripetiamo il procedimento fino a giungere al risultato.

Semplifichiamo l’espressione 4 [3$ +2 (7$ -4)].

[ ( )] [ ] [ ]

4 3$ +2 7$ -4 =4 3$ +2 3

$

=4 3$ +6 =4 9$ =36

prima l’operazione nelle tonde

prima la moltiplicazione

prima l’operazione nelle quadre

L’uso delle parentesi in un’espressione è come l’uso della punteggiatura in una frase.

MATHS IN ENGLISH A power is the result obtained by the repeated multiplication of a natural number by itself.

DEFINIZIONE ESEMPIO

125 53=

base esponente

ESEMPIO

(4)

TEORIA

Puoi comprenderlo esaminando il seguente esempio.

Perché le parentesi nelle espressioni hanno lo stesso ruolo della punteggiatura nelle frasi?

: ( ) 12 3 2$ +1

: ( )

12 3 2$ +1

«Anna, dice Luca, vuole un gelato.»

«Anna dice: Luca vuole un gelato.»

Le due espressioni numeriche, nonostante contengano gli stessi numeri e segni di operazione nello stesso ordine, danno risultati diversi.

Le due frasi, nonostante usino le stesse parole nello stesso ordine, hanno significati diversi.

■ ESPRESSIONI LETTERALI →

 Esercizi a pagina 34 È anche possibile considerare espressioni letterali, con una o più variabili.

In esse, il simbolo della moltiplicazione fra numeri e lettere o fra lettere è, di solito, sottinteso.

Se alle lettere attribuiamo particolari valori numerici, dall’espressione letterale otte- niamo un’espressione numerica.

Nell’espressione letterale a3 + , a e b sono le variabili.b Se a= e b 92 = , l’espressione diventa 3 2 9$ + che vale 15.

Se a= e b 205 = , otteniamo 3 5 20 35$ + = .

Le espressioni letterali sono usate per creare modelli che generalizzano le risoluzioni di problemi che incontriamo più volte, in cui le variabili assumono valori diversi.

Vogliamo acquistare online un certo numero di fogli di carta co- lorata di grande formato: dobbiamo scegliere tra vari prezzi e qualità e tenere conto delle spese di spedizione, che ammontano a € 3,50.

Per esempio:

per comprare 1000 fogli a € 0,03 l’uno, più le spese di spedizione, servono

, , , ,

1000 0 03$ +3 50=30+3 5=€33 5;

per 600 fogli a € 0,04 l’uno, più le spese di spedizione, servono

, , , € ,

600 0 04$ +3 50=24+3 5= 27 5.

Qual è una formula che generalizza il procedimento di calcolo?

Serve una somma S data dal prodotto tra il numero f di fogli e il prezzo p di ogni foglio, a cui vanno aggiunte le spese di spedizione:

, S=f p$ +3 50.

Con le parole, con i simboli

Un’espressione matematica scritta con le parole può essere «tradotta» in forma sim- bolica. Ecco alcuni esempi, in cui a e b sono due numeri naturali qualsiasi.

INTORNO A NOI

INTORNO A NOI

(5)

TEORIA

2. Proprietà delle operazioni in N

Con le parole Con i simboli Con le parole Con i simboli

La somma tra a e b a+b Il doppio di a 2a

La differenza tra a e b a-b Il triplo di a 3a

Il prodotto tra a e b ab La metà di a a 2:

Il quoziente tra a e b a b: La terza parte di a a 3:

Il successivo di a a+1 Il quadrato di a a2

Il precedente di a a-1,a$1 Il cubo di a a3

Viceversa, un’espressione in forma simbolica può essere scritta mediante parole, fornendo le istruzioni che indicano come dobbiamo operare con lettere e numeri.

a:3-b2 (a-b a)$ 3

2. Proprietà delle operazioni in N

 Esercizi a pagina 36

Proprietà dell’addizione e della moltiplicazione

L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme N perché la somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali. Diciamo anche che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.

0 è l’elemento neutro dell’addizione, perché sommando 0 a un numero qualsiasi si ottiene come risultato il numero stesso:

a+0=0+a=a.

5+ = ; 0 7 70 5 + = ; 0 0 0+ = ; 0 1 1+ = ; 4+ = ; 0 4 0+ = ; …9 9 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicando 1 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto il numero stesso:

a$1=1$a= .a

6$ = ; 1 6 1$ = ; 8 8 0$ = ; 1 0 11$ = ; 1 1 11 11 $ = ; 1 3 3$ = ; … 0 è l’elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione, perché moltiplicando 0 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto 0:

a$0=0$a= .0

0$15= ; 132 0 00 $ = ; 2 00$ = ; 0 0$ =0;; 0 1$ = ; 100 0 00 $ = ; … Quindi in una moltiplicazione è sufficiente che almeno uno dei fattori sia 0 perché sia 0 il prodotto.

Considerando due fattori, in simboli, abbiamo:

a=0 o b=0 " a b$ = .0

VIDEO

Dalle parole alle espressioni

«Dati due numeri naturali a e b, al doppio del successivo di a aggiungi il prodotto tra il quadrato del precedente di b e 8.»

Come si traduce questa frase in simboli? Che valore assume per a = 7 e b = 11?

sottrai dal quoziente di a e 3 il quadrato di b moltiplica la differenza fra a e b per il cubo di a

(6)

TEORIA

D’altra parte, se il prodotto è 0, è necessario che almeno uno dei due fattori sia 0.

In simboli:

a b$ =0 " a=0 o b= .0

Esprimiamo in modo sintetico queste due proprietà con la seguente legge.

Legge di annullamento del prodotto

In una moltiplicazione, il prodotto è 0 se e solo se almeno uno dei fattori è 0.

a b$ =0)a= 0 o b = .0

Per l’addizione e la moltiplicazione vale la proprietà commutativa.

Proprietà commutativa dell’addizione

Cambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

a+ = +b b a

Proprietà commutativa della moltiplicazione Cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cam- bia.

a b$ =b a$

3+ = +2 2 3 7$4=4 7$

Per l’addizione e la moltiplicazione vale anche la proprietà associativa.

Proprietà associativa dell’addizione

La somma di tre numeri non cambia se associamo diversamente gli addendi.

(a+ + = + +b) c a (b c)

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto di tre numeri non cambia se associamo diversamente i fattori.

(a b c$ $) =a$ $(b c)

(5+ + = + +9) 1 5 (9 1) (2$ $5 3) =2 5 3$ $( ) Vale inoltre la seguente proprietà distributiva.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

Il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma dei prodotti fra il numero e ognuno degli addendi.

La proprietà è distributiva a sinistra o a destra a seconda della posizione del fattore rispetto alla somma.

(b c) b c

a$ + =a$ +a$ distributiva a sinistra (a+b)$c=a$c+b$c distributiva a destra

(2 3) 2 3

5$ + =5$ +5$ distributiva a sinistra (4+5)$2=4$2+5$2 distributiva a destra REGOLA

PROPRIETÀ

ESEMPIO

PROPRIETÀ

ESEMPIO

PROPRIETÀ

ESEMPIO

(7)

TEORIA

2. Proprietà delle operazioni in N

Se leggiamo una delle uguaglianze che esprimono la proprietà distributiva da destra verso sinistra, abbiamo un raccoglimento a fattore comune:

a$ b +a$ c =a$ (b + c).

7$3+7$5=7$(3+ 5) 7 è un fattore comune che raccogliamo

Contiamo le finestre dei tre palazzi della figura. Possiamo proce- dere in due modi.

Contiamo le finestre di ogni palazzo moltiplicando le finestre per piano di ogni palazzo per i sei piani; poi sommiamo le finestre dei tre palazzi.

Contiamo le finestre dei tre palazzi che stanno sullo stesso pia- no, sommandole tra loro, poi le moltiplichiamo per il numero dei piani.

secondo palazzo

primo palazzo

terzo palazzo piani totale per piano

( )

3$6+3$6+7$6= 3+ +3 7 $6= 78 il numero di piani è un fattore comune

Proprietà della sottrazione e della divisione

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione: la differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo dà il minuendo.

a- = perché b d d+ = .b a

9- = perché 5 4 94 5 + = .

In N la sottrazione non è un’operazione interna: è possibile eseguirla solo se il sot- traendo è minore o uguale al minuendo.

5- non ha risultato in N, perché nessun numero naturale sommato a 8 dà 5.8 La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo.

Il divisore deve sempre essere diverso da zero.

Con b ! 0: :a b= perché q q$ = .b a

14 2: = perché 2 147 7$ = . :

9 0 non viene definita. perché nessun numero moltiplicato per 0 può dare 9

: 0

0 non viene definita. perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0

Se il dividendo è 0, la divisione è sempre possibile e il quoziente è 0.

0 4: = perché 4 00 0$ = .

Anche escludendo 0 come divisore, in N la divisione non è un’operazione interna.

23 5 non ha risultato in : N, perché non esiste un numero naturale che mol- tiplicato per 5 dà 23.

VIDEO

Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione.

INTORNO A NOI

(8)

TEORIA

È invece sempre possibile la divisione con resto.

La relazione fra dividendo a, divisore b diverso da 0, quoziente q e resto r è:

dividendo=divisore quoziente$ +resto,

a b q r

a b q r= $ + .

23 5: = con resto 3 perché 23 5 4 34 = $ + .

Se r 0= , la divisione è esatta e diciamo che a è divisibile per b.

28 7: = con resto 0 perché 24 8=7$4+ , 28 è divisibile per 7.0 Se q 0= , allora a r= : il resto coincide con il dividendo.

Questo avviene quando a1 . b

7 18: = con resto 7 perché 7 18 0 70 = $ + .

Per la sottrazione vale la proprietà distributiva della moltiplicazione.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispet- to alla sottrazione

Seb # a:

c $(a b- )=c $a -c $b; distributiva a sinistra

(a b- )$c=a$c -b$c. distributiva a destra

(7 1) 7 1

3$ - =3$ -3$ distributiva a sinistra

(12-3)$2=12$2-3$2 distributiva a destra

Per la divisione vale la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione, ma soltanto a destra.

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione

Sec ! 0 e le sottrazioni e le divisioni sono possibili:

(a b+ ):c=a:c+b:c; distributiva a destra

(a b- ):c=a:c-b:c. distributiva a destra

(6+8):2=6:2+8:2 (15-9):3=15:3-9:3

Per la sottrazione vale la proprietà invariantiva.

Proprietà invariantiva della sottrazione

La differenza fra due numeri non cambia se a ognu- no si aggiunge o si toglie lo stesso numero:

( ) ( )

a b- = a c+ - + ;b c

( ) ( )

a b- = a c- - - ;b c quando le sottrazioni sono possibili.

( ) ( )

32- =4 32+ - +6 4 6

( ) ( )

24- =7 24- - -4 7 4

a r

b q dividendo

resto

divisore

quoziente

PROPRIETÀ ESEMPIO

PROPRIETÀ ESEMPIO

distributiva a destra

distributiva a destra

PROPRIETÀ ESEMPIO

(9)

TEORIA

2. Proprietà delle operazioni in N

La proprietà invariantiva vale anche per la divisione.

Proprietà invariantiva della divisione Il quoziente fra due numeri non cambia se ognuno viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da 0:

: ( ) : ( )

a b= a$c b$c ; : ( : ) : ( : ) a b= a c b c ;

con c ! 0 e quando le divisioni sono pos- sibili.

: ( ) : ( )

120 40= 120$5 40$5 : ( : ) : ( : ) 480 20= 480 2 20 2

Lo zero e il sistema posizionale

Nell’antica Roma non esisteva un simbolo per lo zero. Non serviva un numero per indicare qualcosa che non c’è, perché il loro sistema era additivo-sottrattivo.

Nel sistema romano ogni simbolo indica sempre la stessa quantità (I è 1, V è 5, X è 10…), che va aggiunta o sottratta a seconda che il simbolo successivo rappresenti un numero minore o maggiore. Per esempio, XI è 10+ = , mentre IX è 10 1 91 11 - = .

Il sistema che usiamo ora è invece posizionale, perché una cifra ha significato diverso a seconda della posi- zione che occupa.

unità centinaia

2019 = duemila + dieci + nove, ovvero:

decine migliaia

2019=2 1000$ +0 100$ +1 10$ +9 1$ =2 10$ 3+0 10$ 2+1 10$ 1+9 10$ 0.

La scrittura 2019 è dunque un modo sintetico per esprimere la somma dei prodotti dei numeri rappresentati dalle cifre per le potenze di dieci a cui corrispondono, ossia la scrittura in forma polinomiale del numero.

Dieci è la base del sistema, che viene detto sistema di numerazione in base dieci.

I numeri e il sistema che usiamo oggi sono detti «arabi», perché si diffusero nel mondo occidentale a partire dal Decimo secolo grazie a matematici e astronomi arabi. Tuttavia, le loro origini sono molto più antiche e vanno collocate in India.

Nella scrittura posizionale lo zero ha la funzione di segnaposto e potrebbe essere sostituito da un segno per lasciare spazio. Per esempio, potremmo scrivere 301 così:

3 1.

Ma, allora, perché consideriamo 0 come un numero naturale?

Fai qualche esempio in cui lo zero è usato come numero. Quali proprietà perderebbe l’insieme N se non ci fosse il numero 0?

Possiamo scrivere un numero naturale usando anche come base un qualsiasi numero diverso da 10.

Che cosa cambia rispetto alla base 10? Cerca informazioni.

APPROFONDIMENTO Sistemi di numerazione Nella scrittura posizionale, la base delle potenze può essere solo 10?

PROPRIETÀ ESEMPIO

IDEE PER LE COMPETENZE

(10)

TEORIA

3. Proprietà delle potenze in N

 Esercizi a pagina 39 Per le potenze valgono cinque proprietà.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

am$an=am n+

5 53

$

4=53 4+ =57

2. Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

am:an=am n- , con a ! 0 e n # m.

:

125 123=125 3- =122

3. Potenza di potenza

La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.

(am n) =am n$

( )43 2=43$2=46

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.

( )

am$bm= a b$ m

( ) 42

$

52= 4 5$ 2=202

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi.

: ( : )

am bm= a b m, con b ! 0 e a divisibile per b.

: ( : )

62 32= 6 3 2=22

Giustifichiamo le proprietà enunciate considerando degli esempi. Per la prima, la terza e la quarta proprietà, utilizziamo la definizione di potenza an con n2 e scriviamo le 1 potenze come moltiplicazioni ripetute.

Prima proprietà (

3 32$ = 3 33 $ ) ($ 3 3 3$ $ ) = 3 3 3 3 3$ $ $ $ 3= 5

2 volte 3 volte 2 + 3 = 5 volte

Terza proprietà 4 volte ( )23 4= 2 2 2 23$ $ $ = 23 3 3 3+ + +3 3 3=23$4

4 volte

MATHS IN ENGLISH The product of two powers with the same base is a power with that base and exponent equal to the sum of the exponents.

PROPRIETÀ ESEMPIO

VIDEO Proprietà delle potenze Semplifica:

[(33 $ 27 $ 34)3 : 617] : 34.

(11)

TEORIA

3. Proprietà delle potenze in N

Quarta proprietà

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

73$23= 7 7 7$ $ $ $ $2 2 2 = 7$ $ $ $ $2 7 2 7 2 = 7$2 3

3 volte 3 volte 3 volte

Per la seconda e la quinta proprietà, utilizziamo la definizione della divisione come operazione inversa della moltiplicazione.

Seconda proprietà :

26 24=26-4

a : b = q

perché

prima proprietà

26 4- $ =24 2(6 4- +) 4=26.

q $ b =  a

Quinta proprietà :2 ( : )2 85 5= 8 5

a : b = q

perché

quarta proprietà

( : )8 2 5$25=[( : )8 2 2$ ]5= .85

q $  b = a

Le proprietà valgono anche se la potenza non si può scrivere come moltiplicazione ripetuta.

Le definizioni a1= e aa 0= sono state date proprio per fare in modo che valga la 1 seconda proprietà.

25:24= 2

a : b =  q

perché

( )

2 2$ 4=2 2 2 2 2$ $ $ $ = .25

q $ b = a

D’altra parte, se vale la seconda proprietà delle potenze, allora:

:

25 24=25 4- =21.

Confrontando i due risultati, deve essere: 21= .2 Quindi, in generale, dobbiamo definire: a1= .a

34:34= perché 1 31 $ = .4 34

D’altra parte, se vale la seconda proprietà delle potenze, allora:

:

34 34=34 4- =30.

Confrontando i due risultati, deve essere: 30= .1 Quindi, in generale, dobbiamo definire:

a0= , con a 01 ! .

(12)

TEORIA

4. Multipli, divisori, MCD, mcm

 Esercizi a pagina 43

Multipli e divisori

Un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se esiste un numero naturale q che moltiplicato per b dà a.

a = q $ b

Un numero naturale b, diverso da 0, è divisore di un altro numero naturale a se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0.

a : b = q

Se a è multiplo di b, diciamo anche che a è divisibile per b.

I multipli di un numero sono infiniti e si ottengono moltiplicando il numero stesso per ognuno dei numeri naturali.

Esaminiamo i principali criteri di divisibilità.

Criteri di divisibilità Un numero naturale

è divisibile per… se e solo se… Esempio

2 la cifra delle unità è pari 1320 2714 316

0, 4, 6 divisibili per 2

3 la somma delle cifre è divisibile per 3 3642 3 + 6 + 4 + 2 = 15 divisibile per 3

4

termina con 00 o il numero forma- to dalle ultime due cifre è divisibile per 4

1600 2312

divisibile per 4

5 la cifra delle unità è 0 o 5 290 1725 1200

9 la somma delle cifre è divisibile per 9 2952 2 + 9 + 5 + 2 = 18 divisibile per 9

11

la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di po- sto dispari (o viceversa) è divisibile per 11

3 + 6 + 7 = 16

35607 16 - 5 = 11 divisibile per 11 5 + 0 = 5

25

termina con 00 o il numero forma- to dalle ultime due cifre è divisibile per 25

3700 7150

divisibile per 25

10, 100, 1000…

termina con 0, 00, 000… 30 divisibile per 10

300 divisibile per 100

3000 divisibile per 1000 MATHS IN ENGLISH If a natural number a can be expressed as the number b times another number, then a is a multiple of b.

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

10=2 5$ 10 è multiplo di 2 2 è divisore di 10

(13)

4. Multipli, divisori, MCD, mcm

TEORIA

42 $ 0 42 $ 1 42 $ 2 42 $ 3 42 $ 4 42 $ 5

Multipli di 42: 0, 42, 84, 126, 168, 210, … Per indicarli in modo sintetico scriviamo 42n,6 ! .n N

I multipli di 2 sono i numeri pari e si indicano con 2n,6 ! .n N I numeri dispari si indicano con 2n+1,6 !n N.

Invece, i divisori di un numero sono in numero finito.

Divisori di 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Diamo ora la definizione di numero primo.

Un numero naturale diverso da 0 e da 1 è un numero primo se ha come di- visori solo se stesso e 1.

i numeri primi sono infiniti

, , , , , , , , 2 3 5 7 11 13 17 19 f

Vediamo con un esempio un metodo per cercare i numeri primi.

Come trovare i numeri primi minori o uguali a un certo numero?

Se ne occupò il matematico greco Eratostene, che formulò un algoritmo noto come il crivello di Eratostene.

«Crivello» significa «setaccio», e quello che si fa con questo metodo è proprio setacciare i numeri in modo da escludere i numeri composti e lasciare solo i numeri primi.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Scriviamo, per esempio, tutti i numeri da 1 a 50 e cancelliamo il numero 1, che per convenzione non è primo. Nella casella successiva troviamo il 2, che è primo. Cancelliamo ora tutti i multipli di 2. Dopo il 2 troviamo il 3, che è primo, e cancelliamo tutti i suoi multipli. Poi, la prima casella non cancellata

che incontriamo è quella del 5, che è primo: cancelliamo i suoi multipli. Proseguiamo in questo modo: alla fine, le caselle non cancellate contengono tutti i numeri primi minori di 50.

Se un numero diverso da 0 e da 1 non è primo, può sempre essere scritto, in modo unico, a meno dell’ordine, come prodotto di potenze di numeri primi. La sua scom- posizione in fattori primi, quindi, è unica e possiamo ottenerla con divisioni suc- cessive.

60 2 2 3 5 2 3 52

" = $ $ $ = $ $ 22

dividiamo per…

60 2 30 2 15 3 5 5 1

Esaminiamo un problema in cui si utilizza la scomposizione in fattori primi sia per stabilire se un numero è divisibile per altri e sia per eseguire divisioni.

DEFINIZIONE ESEMPIO

STORIA

(14)

TEORIA

Vogliamo allestire la sala per il banchetto di un matrimonio in cui sono previsti 256 invitati oltre agli sposi. Gli sposi desiderano sedere a un tavolo da 6 insieme ai loro 4 genitori. Gli altri invitati sono divisi in tavoli tutti uguali e con lo stesso nu- mero di coperti. Il catering dispone di tavoli ro- tondi che possono ospitare da 4 a 10 persone cia- scuno.

In quanti modi possiamo organizzare la sala? Con quanti tavoli e da quanti coperti ciascuno?

Gli invitati da dividere nei tavoli sono 256- =4 252. Il numero di persone sedute a ciascun tavolo deve essere un divisore di 252 compreso tra 4 e 10.

Scomponiamo in fattori primi 252=2 3 72$ $2 . Osservando i fattori, vediamo che 252 è divisibile per 4= , 22 per 6=2 3$ , per 7, per 9= , mentre non lo è per 5 e per 8 232 = .3

Possiamo quindi utilizzare tavoli da 4, 6, 7 o 9 invitati.

Il numero di tavoli da 4 si trova calcolando 252:4.

Otteniamo il risultato della divisione dalla scomposizione di 252 se togliamo i fattori della scomposizione di 4:

: ( ) :

252 4= 2 3 7 22$ $2 2=3 72$ =9 7$ = .63 In modo analogo:

: ( ) : ( )

252 6= 2 3 72$ $2 2 3$ =2 3 7$ $ = ;42

: ( ) :

252 7= 2 3 7 72$ $2 =2 32$ 2=36;

: ( ) :

252 9= 2 3 7 32$ $2 2=2 72$ = .28

Possiamo quindi allestire la sala in 4 modi diversi: con 63 tavoli da 4 coperti, oppure con 42 tavoli da 6, oppure con 36 tavoli da 7, oppure con 28 tavoli da 9.

Formule e numeri primi

Non conosciamo formule con le quali si ottengano soltanto numeri primi, anche se nel corso della storia ne sono state proposte molte.

Pierre de Fermat ipotizzò che fossero primi i numeri della forma 22n+ , con n N1 ! . I primi cinque numeri della sequenza (3, 5, 17, 257 e 65 537), ottenuti con n=0 1 2 3 4, , , , , sembravano confermare questa ipotesi.

Nonostante a Fermat si debbano grandissime scoperte in molti campi della matematica, in questo caso si era sbagliato. A scoprire che il numero successivo, 225+ =1 4 294 967 297, non è primo fu, nel 1732, un altro grande matematico: Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero. Tra l’altro, anche i successivi numeri di Fer- mat controllati finora sono composti.

Una formula più fortunata è quella dei numeri di Mersenne, generati da 2p- , con p numero primo. Non 1 tutti i numeri di questa forma sono primi, ma alcuni sì, e i più grandi numeri primi trovati finora sono tutti numeri di Mersenne.

Ci sono altri particolari insiemi di numeri naturali che si ottengono con delle formule. Cerca infor- mazioni sui numeri triangolari. Qual è la formula che li genera?

I numeri quadrati sono quelli generati da n2, con n! . Come si ottengono i numeri quadrati utiliz-N zando i numeri triangolari?

INTORNO A NOI

IDEE PER LE COMPETENZE

(15)

4. Multipli, divisori, MCD, mcm

TEORIA

MCD e mcm

Fra due numeri naturali diversi da 0:

il massimo comune divisore (MCD) è il più

grande fra i loro divisori comuni.

il minimo comune multiplo (mcm) è il più pic- colo fra i loro multipli comuni diversi da 0.

Consideriamo, per esempio, 12 e 18.

Divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

divisori comuni

Divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

MCD(12; 18) = .6

Consideriamo ancora 12 e 18.

Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …

multipli comuni

Multipli di 18: 18, 36, 54, 72, 90, … mcm(12; 18) =36.

Per la ricerca del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo è utile la scomposizione in fattori primi.

Se scomponiamo in fattori primi due o più numeri naturali:

il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi

una sola volta, con l’esponente minore;

il mcm è il prodotto di tutti i fattori comuni e non co- muni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.

Per calcolare MCD e mcm di 120 e 140, scomponiamo i numeri in fattori primi.

Mettiamo poi i fattori in colonna.

120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

140 2 70 2 35 5 7 7 1

120 2 3 5

140 2 5 7

2 5

2 3 5 7 MCD

mcm

3 2 2 3

$ $

$ $

$

$ $ $

=

=

=

=

fattori comuni con l’esponente minore fattori comuni e non comuni con l’esponente maggiore

Il MCD è 20, il mcm è 840.

Se due numeri non hanno fattori in comune diversi da 1, diciamo che sono primi tra loro. Il loro MCD è 1 e il loro mcm è il prodotto dei due numeri.

10 e 21 sono primi tra loro.

Due numeri consecutivi sono sempre primi tra loro.

Ecco un problema in cui utilizziamo MCD e mcm.

DEFINIZIONE

ESEMPIO

REGOLA

ESEMPIO

(16)

TEORIA

a. Una pizzeria al taglio usa due tipi di teglie: una di 60 cm # 40 cm e l’altra di 50 cm # 30 cm. Si vogliono ricavare da entrambe dei tranci di pizza quadrati, i più grandi possibili, tutti uguali tra loro e senza scarto.

Quanto deve misurare il lato di ciascun trancio e quanti tranci si ot- tengono da ciascuna teglia?

La misura del lato di ciascun trancio deve essere un divisore di 60, 40, 50 e 30. Tra questi, scegliamo il più grande:

MCD(30; 40; 50; 60) = 10.

Ogni trancio misura 10 cm # 10 cm. Si ottengono:

• dalla prima teglia (60 : 10) $ (40 : 10) = 6 $ 4 = 24 tranci;

• dalla seconda (50 : 10) $ (30 : 10) = 5 $ 3 = 15 tranci.

b. La pizzeria ha due forni, con tempi di cottura diversi. Nel primo cuoce la margherita, pronta in 4 minuti. Nel secondo l’ortolana, pronta in 5 minuti.

Se si inforna a ciclo continuo, ogni quanto tempo le due pizze sono pronte contemporaneamente?

Il primo forno sforna le pizze dopo 4, 8, 12 minuti e così via; il secondo dopo 5, 10, 15 minuti ecc.

L’intervallo minimo di tempo che intercorre tra due sfornate contemporanee è: mcm(4; 5) = 20.

Ogni 20 minuti, i due tipi di pizza escono contemporaneamente.

5. Numeri interi

■ DEFINIZIONI →

 Esercizi a pagina 50 Se ieri sera un termometro segnava una temperatura di 6 °C e durante la notte c’è stato un calo di 10 °C, questa mattina che temperatura leggiamo?

I soli numeri naturali non sono sufficienti per risolvere problemi come quello pre- cedente, perché servono numeri che sono «sotto zero». Costruiamo allora, a partire dall’insieme dei numeri naturali, un insieme più ampio.

Per ogni numero naturale diverso da zero, consideriamo due numeri ottenuti facen- do precedere il numero dal segno + e dal segno -.

1 1

1 +

- 2 2 2 +

- 3 3 3 +

- 4 4 4 + - f

Chiamiamo numeri interi i numeri così ottenuti, uniti al numero zero, che per convenzione non ha segno. Indichiamo con Z il loro insieme. Diciamo anche che Z è l’insieme dei numeri relativi.

Un numero intero è positivo se ha segno +, negativo se ha segno -.

Indichiamo con Z+ l’insieme degli interi positivi, con Z- quello degli interi negativi, con Z0+ quello degli interi non negativi, cioè i positivi e lo zero.

INTORNO A NOI

APPROFONDIMENTO Algoritmo di Euclide Come calcolare il MCD fra due numeri mediante un algoritmo?

(17)

5. Numeri interi

TEORIA

Diciamo opposti i numeri con segno diverso ottenuti dallo stesso numero naturale.

+ e 2121 - sono opposti.

Si considera il numero 0 l’opposto di se stesso.

Due interi diversi da zero sono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segno diverso.

-9 +9

-7 +12

+8 +6

discordi

concordi discordi e opposti

Creiamo una corrispondenza che associ a ogni numero naturale uno e un solo numero intero non negativo e vicever- sa, cioè una corrispondenza biunivoca fra N e Z+0, facendo corrispondere lo 0 di N allo 0 di Z+0, il numero naturale 1 al numero intero 1+ , 2 a 2+ , 3 a 3+ e così via. Nell’insieme dei numeri interi possiamo indicare un numero positivo anche senza scrivere il segno.

12 indica sia il numero naturale 12, sia l’intero 12+ .

Grazie a questa corrispondenza possiamo pensare a N come a un sottoinsieme pro- prio di Z. In simboli:

N Z1 .

Chiamiamo valore assoluto o modulo di un numero intero a, e lo indichiamo con a :

il numero stesso, se è positivo o è zero;

l’opposto del numero, se il numero è negativo.

Di solito, scriviamo il risultato del valore assoluto senza se- gno +, servendoci della corrispondenza creata con i numeri naturali.

+ = , 05 5 = , 0 -16 =16.

Il valore assoluto di un numero intero è sempre positivo o è zero.

■ CONFRONTO FRA NUMERI INTERI

 Esercizi a pagina 50

Z è un insieme ordinato mediante la seguente relazione.

Relazione d’ordine

0 è maggiore di ogni intero negativo e minore di ogni intero positivo.

Ogni intero negativo è minore di ogni intero positivo.

02-5 01+9

11 2

- +

MATHS IN ENGLISH Two numbers that have the same magnitude, different from zero, preceded one by a + sign and one by a – sign, are opposite numbers.

–2 –3 –1 0

+3 0 2 +2

...

1 +1

3

...

...

+0

a = a

-a

se a positivo o zero

se a negativo

DEFINIZIONE ESEMPIO

(18)

TEORIA

Il minore di due interi positivi è quello con il valore assoluto minore.

Il minore di due interi negativi è quello con il valore assoluto maggiore.

31 7

+ + perché 317

81 6

- - perché 826

Poiché Z è un insieme ordinato, è possibile rappresentare i suoi elementi su una retta orientata:

fissiamo l’origine, corrispondente a 0, e l’unità di misura u;

associamo 1+ , 2+ , 3+ , … ai punti che distano dall’origine 1, 2, 3, … unità di misura verso destra;

associamo 1- , 2- , 3- , … ai punti che distano dall’origine 1, 2, 3, … unità di misura verso sinistra.

Osserviamo che:

i numeri opposti sono equidistanti da 0;

tutti i numeri positivi sono a destra dello 0 e i negativi a sinistra dello 0;

ogni numero è minore di tutti i numeri alla sua destra e maggiore di tutti quelli alla sua sinistra;

fra due interi qualunque c’è sempre un numero finito di interi (tra due consecu- tivi ce ne sono 0), quindi Z è un insieme discreto;

ogni intero è seguito da un intero (il suo successivo) e preceduto da un intero (il suo precedente), quindi Z è un insieme infinito.

6. Operazioni in Z e loro proprietà

ADDIZIONE

 Esercizi a pagina 52 Distinguiamo due casi.

La somma di due interi concordi è un intero che ha:

segno uguale a quello degli addendi;

valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri.

3 + 5

somma dei valori assoluti

(-3)+(-5)=-8

9 + 12

(+9)+(+12)=+21

Notiamo che la definizione di addizione tra numeri interi positivi, cioè quelli in corrispondenza con i numeri naturali, coincide con la definizione di addizione che abbiamo dato tra numeri naturali.

La somma di due interi discordi è un intero che ha:

segno uguale a quello dell’addendo con valore assoluto maggiore;

7 - 3

(-7)+(+3)=-4

perché 7 2 3 0

–4 –3 –2 –1 +1

u

+2 +3 +4

MATHS IN ENGLISH The set of integers is discrete, because between any two integers there is always a finite number of integers, and it is infinite, because every integer has a successor and a precedent.

MATHS IN ENGLISH The sum of two integers with the same sign is an integer with absolute value that is the sum of the addends’ absolute values, and their same sign.

DEFINIZIONE ESEMPIO

MATHS IN ENGLISH The sum of two integers with different signs is an integer with absolute value that is the difference of the addends’

absolute values (the larger minus the smaller), and the sign of the addend whose absolute value is larger.

DEFINIZIONE ESEMPIO

(19)

TEORIA

6. Operazioni in Z e loro proprietà

valore assoluto uguale alla diffe- renza tra il valore assoluto mag- giore e quello minore.

9 - 4

(-4)+(+9)=+5

perché 9 2 4

Possiamo scrivere le addizioni sottintendendo le parentesi e il segno + di addizione.

(- + -8) ( 6)=- - =- ; (8 6 14 -15)+ +( 7)=- + =- .15 7 8 Come per l’addizione in N, per l’addizione in Z:

esiste l’elemento neutro, che è lo zero;

valgono le proprietà commutativa e associativa.

Per l’addizione in Z ci sono poi due nuove proprietà rispetto a N.

L’operazione di addizione è interna: la somma di due numeri interi è sempre un numero intero.

La somma di un numero intero e del suo opposto è zero, cioè l’elemento neutro.

Questa proprietà si indica anche dicendo che per ogni intero esiste il simmetrico.

(+ + -7) ( 7)=0

■ SOTTRAZIONE →

 Esercizi a pagina 52 Nell’insieme dei numeri naturali non possiamo calcolare 4- : il risultato non è 8 un numero naturale. L’introduzione dei numeri negativi ci autorizza ora a calcolare anche differenze come questa, in cui il minuendo è minore del sottraendo.

La differenza di due interi è la som- ma del minuendo con l’opposto del sottraendo:

( )

a- = + - .b a b

(-12)- - = -( 3) ( 12)+ + =-( 3) 9 (+ - + = + + - =+9) ( 4) ( 9) ( 4) 5

La definizione dice che le sottrazioni si trasformano in addizioni. Per un calcolo più rapido, eliminiamo le parentesi e cambiamo il segno del sottraendo.

(-5)- +( 8)=- - =-5 8 13; (+ - -3) ( 7)=+ + =+ .3 7 10

In Z l’operazione di sottrazione è interna, mentre in N non lo è: infatti, le sottrazioni che non sono possibili in N hanno invece sempre risultato in Z.

Questo permette di risolvere il problema posto all’inizio del paragrafo.

La sera leggi sul termometro una temperatura esterna di 6 °C.

Durante la notte la temperatura scende di 10 °C.

Qual è la temperatura della mattina?

Eseguiamo una sottrazione:

( ) ( ) ( ) ( )

6 10 6 10 6 10 4

+ - = + - + = + + - =- .

Alla mattina, il termometro segna - 4 °C.

il suo opposto un numero

( a) a+ - =0

a Z

6 !

MATHS IN ENGLISH The difference of two integers is the sum of the first plus the opposite of the second.

DEFINIZIONE ESEMPIO

INTORNO A NOI

(20)

TEORIA

Come in N, in Z la sottrazione gode della proprietà invariantiva.

Poiché la sottrazione si trasforma in addizione, in Z possiamo considerare addizione e sottrazione come una stessa operazione, l’addizione algebrica, e chiamare somma algebrica il suo risultato.

■ MOLTIPLICAZIONE →

 Esercizi a pagina 57 Il prodotto di due interi diversi da 0

è un intero che ha:

segno positivo se i fattori sono concordi, segno negativo se sono discordi;

valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.

Se almeno uno dei fattori è 0, il pro- dotto è 0.

concordi

discordi

( ) ( ) ( ) ( )

3 5 15

3 5 15

$

$

=

=

+ +

- - +

+

( ) ( ) ( ) ( )

3 5 15

3 5 15

$

$

=

=

- + -

+ - -

( ) ( )

5

3 0 0

0$ 0

$

=

= - +

Usiamo la regola dei segni in qualche esempio.

(+2) ($ +5)=+10; (+4) ($ -1)=- ; (4 -7) ($ -8)=+ .56

+ $ - = - - $ - = +

+ $ + = +

Il segno di moltiplicazione $ può essere sottinteso.

(-6)$ -( 8)= -( 6) (-8)=+48

Nel prodotto di più fattori il segno è positivo se il numero di fattori negativi è pari, negativo se il numero di fattori negativi è dispari.

Questo perché possiamo raggruppare a coppie i fattori negativi e ogni coppia fornisce un segno +.

4 fattori negativi:

pari

(-1) (-2) (+3) (-2) (-1)=+12 " prodotto positivo.

- $ - = + - $ - = +

5 fattori negativi:

dispari

(-1) (-2) (-3) (-2) (-1)=-12 " prodotto negativo.

- $ - = + - $ - = +

Come in N, in Z l’operazione di moltiplicazione è interna.

Esiste l’elemento neutro, che è 1+ : ( ) ( ) ( ) ( )+1 $ - = -2 2 $ + =- .1 2

Esiste l’elemento assorbente, che è 0: 0$(-5)= -( 5 0)$ = .0

Valgono le proprietà commutativa e associativa e la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione.

Vale la legge di annullamento del prodotto: a b$ = se e solo se 0 a=0 o b= .0

MATHS IN ENGLISH The product of two integers is an integer that is positive if the factors have the same sign and negative if the factors have different signs. Its absolute value is equal to the product of the absolute values of the factors.

DEFINIZIONE ESEMPIO

(21)

TEORIA

6. Operazioni in Z e loro proprietà

Ampliare un insieme numerico

Se vuoi ampliare la tua cerchia di amici, che cosa puoi fare?

Non solo devi conoscere nuove persone, vuoi anche non perdere i vecchi amici e condividere con tutti, vecchi e nuovi, gli stessi interessi di prima.

Nell’ampliare un insieme numerico vale un principio analogo, detto principio di permanenza delle proprietà formali: nell’insieme ampliato devono continuare a valere le stesse proprietà dell’insie- me di partenza.

Le nuove definizioni delle operazioni sono giustificate prima di tutto dal rispetto di questo principio.

Per esempio, giustifichiamo la regola dei segni, che abbiamo introdotto per ampliare N con Z, fornendo degli esempi.

Deve essere + + = + perché vogliamo che in Z$ 0+ si «conservino» i risultati che ci sono in N.

(+5) ($ +7)=+35 il prodotto deve avere segno + per avere la corrispondenza con il risultato di 5 7$ in N

1 1 1

5 $ 7 = 35

Deve essere - + = - perché vogliamo che la moltiplicazione sia ancora un’addizione ripetuta.$ (-6) ($ +4)=- - - - =6 6 6 6 -24

4 volte perché + 4 corrisponde a 4

Deve essere + - = - per far valere la proprietà commutativa.$ (+4) ($ -6)= -( 6) ($ +4)=-24

Deve essere - - = + per far valere la proprietà distributiva.$

Consideriamo una moltiplicazione con il caso precedente, + - = -$ : (+5) ($ - =- .2) 10

Essendo 5+ =+ - , abbiamo:6 1

(+ -6 1) ($ - = +2) ( 6) ($ - + -2) ( 1) ($ - =- + -2) 12 ( 1) ($ - .2)

per la proprietà distributiva

Se vogliamo che il risultato sia 10- , deve essere: ( ) ( )-1 $ -2 =+2.

Nell’esempio seguente di moltiplicazione di un numero per 0, indica le proprietà che abbiamo conser- vato rispetto ai numeri naturali e le nuove definizioni date in Z.

(-3)$0= -( 3) [$ 1+ -( 1)]= -( 3)$1+ -( 3) ($ - =- + + =- + =1) 3 ( 3) 3 3 0 Moltiplicando un numero intero qualsiasi, diverso da zero,

per 1- , otteniamo il suo opposto.

(+13) (-1)=- ; (13 -6) (-1)=+ .6

Un segno - davanti a una parentesi può essere considerato come la moltiplicazione per 1- . Possiamo allora eliminare le parentesi cambiando il segno degli addendi.

- + - +( 3 5 7)= -( 1) ($ + - +3 5 7)=- + -3 5 7=-5

IDEE PER LE COMPETENZE

( )

a$ -1 =-a

un numero

il suo opposto

proprietà distributiva

(22)

TEORIA

DIVISIONE

 Esercizi a pagina 57 Come in N, la divisione tra numeri interi è definita come operazione inversa della moltiplicazione. Di conseguenza per la divisione c’è una regola dei segni analoga.

Il quoziente di due interi, diversi da 0, se esiste, è un intero che ha:

segno positivo se divisore e divi- dendo sono concordi, segno nega- tivo se sono discordi;

valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti del dividendo e del divisore.

concordi

discordi

( ) : ( ) ( ) : ( )

8 2 4

8 2 4

=

=

+ + +

- - +

( ) : ( ) ( ) : ( )

8 2 4

8 2 4

=

=

- + -

+ - -

Se il dividendo è 0, il quoziente è 0. Il divisore non può essere 0.

0: (- =2) 0;

(-8) :0 non esiste.

In Z l’operazione di divisione non è interna.

(+5) : (- non ha risultato in Z, perché 5 non è multiplo di 3.3)

Anche in Z la divisione gode delle proprietà invariantiva e distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione.

Non vale invece, così come non vale in N, la proprietà distributiva a sinistra.

7. Potenze in Z

 Esercizi a pagina 61 La definizione di potenza in Z discende da quella di moltiplicazione. Infatti, nel caso di esponente maggiore di 1, anche in Z la potenza può essere considerata una moltiplicazione ripetuta di fattori uguali alla base.

5 fattori: (-2)5=(-2) ($ -2) ($ -2) ($ -2) ($ -2)=-25=-32

dispari - $ - = + - $ - = +

4 fattori: (-2)4=(-2) ($ -2) ($ -2) ($ -2)=+24=+16

pari - $ - = + - $ - = +

Possiamo perciò dare la seguente definizione.

La potenza di un intero è un intero che ha:

segno negativo solo se la base è negativa e l’esponente è dispari;

valore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto della base.

DEFINIZIONE ESEMPIO

VIDEO

Moltiplicazione e divisione di numeri interi

VIDEO

Potenze di numeri interi

MATHS IN ENGLISH The power of an integer is an integer whose sign is negative only if the base is a negative integer and the exponent is odd, and whose absolute value is the value of the power with the same exponent and base the integer’s absolute value.

DEFINIZIONE

(23)

TEORIA

7. Potenze in Z

esponente dispari esponente pari

( ) ( )

7 7

7 7

2

2 2

2=

=

+ +

- +

( ) ( )

2 2

2 2

5 5

5 5

=

=

+ +

- -

il segno cambia

Osserva le differenze nelle seguenti uguaglianze:

(-7)2= +( 7)2; esponente pari

(-2)5= +-( 2)5. esponente dispari

Dalle definizioni di potenza date in N e dalla definizione precedente deriva che:

a0=+ , con a 01 ! ;

a1= ; a

00 non è definita.

In Z, come in N, valgono le cinque proprietà delle potenze.

Semplifichiamo un’espressione applicando le proprietà delle potenze.

(-6) (3$ -6) : (2 -3)5+ +( 2) : (8 +2)6$32-( )22 3= 1ª, 2ª e 3ª proprietà delle potenze

: ( ) ( )

(-6)5 -3 5+ +2 2$32- =26 4ª e 5ª proprietà delle potenze

(+2)5+ +( 6)2- = 26 definizione

di potenza

32 36 64 4

+ + - = +

ESEMPIO

1. am$an=am n+ 2. am:an=am n-

(con m$ , a 0n ! ) 3. (am n) =am n$ 4. a bn$ n=(a b$ )n 5. :a bn n=( : )a b n

(con b! e a0 ; ; multiplo di b; ;)

proprietà delle potenze ESEMPIO

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Riferimenti

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