ALCUNE FUNZIONI TRASCENDENTI NEL CAMPO COMPLESSO

ALCUNE FUNZIONI TRASCENDENTI NEL CAMPO COMPLESSO

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1. Esponenziale complesso

È noto che la funzione f(x) = e^x è definita per ogni x reale. Essa è continua e crescente su tutto R, assume tutti i valori dell'intervallo (0 , +), e verifica la fondamentale proprietà additiva

y x y

x e e

e ^   . (1)

Vediamo ora come è possibile estendere la definizione di esponenziale al caso degli esponenti complessi. Come si vedrà, questa definizione consente di mantenere la proprietà (1) anche al caso complesso.

Cominciamo col definire l'esponenziale per esponenti immaginari puri, cioè per numeri del tipo ix, con x reale. In tal caso poniamo:

x i x

e^ix cos  sen , (2)

dove ovviamente seno e coseno sono calcolati sulla misura in radianti dell'angolo x.

La (2) è detta anche formula di Eulero. Da essa si trova ad esempio:

i i

e ⁱ

2 3 2 1 sen3 cos3

3    



; e^i cosisen1; i

i e ⁱ

2 3 2 1 3 sen 7 3

cos 7

3 7







 



 





 



 

 

 ;

1 2 sen 2

2^ cos i 

e ⁱ .

Se invece z è un generico numero complesso, diciamo z = x + iy, poniamo:

) sen (cosy i y e

e e e

e^z  ^xiy  ^x ^iy  ^x  . (3)

Perciò si ha ad esempio:

2 2

2 e (cos isen ) e

e ^i     ; e^1i e(cos1isen1);



ⁱ



i i e

e ⁱ  





 





 



  





2 3 5 2 2 5 3 sen6

cos6

5 2log 1 5 6 2log 1

;



ⁱ



i i e

e ⁱ  





 





 



  



 

2 3 5 2

2 5 3 6

sen13 6

cos13

5 2log 1 6 5 13 2log 1

.

Gli ultimi due esempi mostrano che nel campo complesso la funzione esponenziale non è iniettiva: può accadere cioè che per z1  z2 si abbia e^z1 e^z2. In effetti, non è difficile osservare che ciò si verifica se z1 e z2 differiscono per un multiplo intero di 2i.

Verifichiamo ora che in generale vale la proprietà additiva

w z w

z e e

e ^   , (4)

comunque si considerino i numeri complessi z e w. A tale scopo, poniamo z = x + iy, w = s + ti, e calcoliamo separatamente i due membri della (4):

)) ( sen ) (cos(

)

( e y t i y t

e

e^zw  ^{xsi yt}  ^xs    ;

) sen (cosy i y e

e^z  ^x  ;

) sen (cost i t e

e^w  ^s  ;











e e e (cosy iseny)(cost isent)

e^{z w x s}

=e^xs(cosycosticosysentisenycostsenysent),

perciò la (4) segue dalle due identità trigonometriche ^{cos(yt)cosycostsenysent} e t

y t

y t

y ) sen cos cos sen (

sen    .

2. Logaritmo complesso

Passiamo ora a considerare la funzione logaritmo (naturale) nel campo C. Per quanto osservato sopra, possiamo subito dire che il logaritmo di un numero complesso, se esiste, non è unico, in quanto la funzione esponenziale non è iniettiva.

Fissiamo un generico numero complesso z = a + bi e chiediamoci quali sono tutte le soluzioni w in C dell'equazione esponenziale e^w = z.

Posto w = x + iy, abbiamo l'equazione

e^x+iy = a + bi. (5)

Applicando la definizione (3), la (5) diventa

e^x(cos y + i sen y) = a + bi, (6)

che equivale al sistema







 . sen

cos b y e

a y e

x x

(7)

Elevando al quadrato e sommando le due equazioni del sistema (7), otteniamo

2 2

2 a b

e ^x   . (8)

L'equazione (8) mostra in primo luogo che non c'è soluzione se a² b²0, cioè se a e b sono entrambi nulli. In altre parole, e^z non può dare il risultato zero per alcun valore complesso z, e quindi non esiste log 0 neanche nel campo complesso.

Nell'ipotesi z = a + bi  0, dalla (8) si trova ^{2xlog(a2b2)}, cioè ^{ log(  )} 2

1 _{2 2}

b a x

2

log a2b

 ; e siccome a²b² è uguale al modulo di z, possiamo dire che il numero x, parte reale del logaritmo che stiamo cercando, e uguale a log |z|.

Posto ^{z }, il sistema (7) diventa













, sen

cos b y

a y

il che vuol dire che y è l'argomento di z, o meglio una delle infinite possibili determinazioni dell'argomento di z. Come è noto, l'insieme di tutti i possibili argomenti di z si indica con il simbolo Arg(z); unendo allora i risultati trovati, si trova la formula

Log z = log|z| + i Arg(z), (9) che fornisce tutte le determinazioni del logaritmo di z; la formula è valida per qualunque numero complesso z  0.

Ad esempio, per z = 1 + i, essendo ^{z  2} e ^{2k}

4 (con k intero), la (9) dà:

i k

i 



 



 





 2

2 4 2log ) 1 1 (

Log .

Tra le infinite determinazioni del logaritmo fornite dalla (9), indichiamo con logaritmo principale quella corrispondente all'argomento principale di z, cioè l'angolo  compreso nell'intervallo ( , ], e la indicheremo con log z. Tornando all'esempio precedente, si avrà

i

i log2 4

2 ) 1 1 (

log     .

Come ulteriori esempi, calcoliamo i seguenti logaritmi:

Per z = 3 + 4i, è |z| = 5 e ^{ 2k} 5

arcsen4 (indifferentemente, tale angolo si può anche indicare con

5

arccos3 o con

3

arctg4 ); perciò si avrà ^{i k} ⁱ



 



  





 2

5 arcsen4 5

log ) 4 3 (

Log e

5 arcsen4 5

log ) 4 3 (

log  i  i .

Per z = 9i è |z| = 9 e ^{ 2k}

2 , perciò ^{i k i}

)2 1 4 ( 3 log 2 9

Log     e ^{i i}

3 2 log 2 9

log    .

Per z =  7 è |z| = 7 e ^{2k}, perciò ^{  log7(2k 1)i} 2

) 1 7 (

Log e

i





 log7

2 ) 1 7 (

log .

Ovviamente anche il logaritmo di un numero reale positivo ha infinite determinazioni in C: ad esempio, Log 6 = log 6 + 2ki; la determinazione principale in questo caso coincide con il ben noto logaritmo reale.

ESERCIZIO 1. Risolvere l'equazione e^2z (13i)e^z (2i)0.

SOLUZIONE. L'equazione è esponenziale, ma rispetto alla variabile e^z è di secondo grado.

Possiamo sostituire con una nuova variabile, ma più semplicemente possiamo applicare la solita formula risolutiva delle equazioni di secondo grado e scrivere:

2 2 3

1 2

) 2 ( 4 ) 3 1 ( 3

1 i i ² i i i

e^z         

 .

Applicando il solito procedimento per il calcolo delle radici, si vede subito che le radici di 2i sono date dalla formula















  





 

 2

2 2 2 sen

2 2 cos 2

2 k

i k

i = _



 



 



 



 





 



 k i k sen 4

cos 4

2 ,

con k = 0 oppure 1. Si ha quindi 2i (1i); pertanto e^z può assumere i due valori i i

i 1 2

2 ) 1 ( 3

1    

e  ⁱ ⁱ ⁱ 2

) 1 ( 3

1 .

Per risolvere l'equazione e^z 12i basta calcolare tutte le determinazioni del logaritmo di 1  2i. Per quanto detto sopra, tali soluzioni sono date da ^{k i}



 



  

 2

5 arcsen 2 5

2log

1 .

Analogamente, le soluzioni di e^z i sono date da ^{k i}



 



  

 2

2 .

Grazie all'introduzione del logaritmo in C, possiamo dare un significato al simbolo z^w, dove z e w sono due generici numeri complessi con z  0. Diamo a tale scopo la seguente definizione:

z^w = e^wLogz. (10)

Osserviamo che, essendo infinite le determinazioni di Log z, saranno infiniti anche i possibili valori della potenza z^w; tra queste, indicheremo con determinazione principale quella corrispondente al logaritmo principale di z, cioè z^w = e^wlogz.

Ad esempio, si determinino tutti i valori della potenza iⁱ; per la (10), si ha iⁱ = e^iLogi. Il numero i ha modulo 1 ed argomento principale

2

 , per cui si ha Log i = ^



 



  k

i 2

2 ; in conclusione, i valori di iⁱ sono dati dalla formula ^

 



 

 k

e ^{2 2} , e tra questi la determinazione principale è 2



e .

Come ulteriore esempio, si consideri la potenza



^{1i 3}



^1i; per il numero ^{1i 3} è  = 2 e ^{ 2k}

3

2 , per cui è



ⁱ



^k ⁱ



 



  







 2

3 2 2 log 3 1

Log . Moltiplicando questo numero per

(1 + i) si trova ^



 



   





 



  

 k i 2k

3 2 2 log 3 2

2 2

log ; infine, l'esponenziale di questo numero è



 



 



 



   





 



   



 



  

 k i k

e ^k 2

3 2 2 log sen 3 2

2 2 log cos 2 ^{3 2}

2

, e tra queste infinite determinazioni

quella principale è 



 



 



 



  





 



  

 

3 2 2 log 3 sen

2 2 log cos 2 ³

2

i

e , che si può anche scrivere

 



^{coslog2 3senlog2 senlog2 3coslog2}



3 2











 

i

e .

Si osservi infine che con la definizione (10) acquista significato anche l'operazione a^b tra numeri reali con a < 0 e b irrazionale (operazione che, come è noto, non è possibile nel campo reale). Ad esempio, per calcolare (4) ³, basta scrivere e ^3Log(4); poiché risulta Log(4) = 2 log 2 + + (2k + 1)i, si ha ^{3Log(4) 2 3log2(2k 1) 3i}, per cui l'esponenziale vale



^{cos(2 1) 3 sen(2 1) 3}



4 ³ k  i k   . Tra queste infinite determinazioni, quella principale è



^{cos 3 sen 3}



4 ³  i  .

ESERCIZIO 2. Quali sono i numeri complessi z per i quali la potenza



^{1i 3}



^z assume almeno un valore reale?

SOLUZIONE. Posto z = x + iy, si ha

 

_^



 



 



 



 







i x iy i k

z 2

2 3 log ) ( 3 1 Log



 



 



 



 



 



 



 



x k y i y x 2k

2 3 log 3 2

2

log , per cui



^{1i 3}



^z assume i valori



 



 



 



 



 



 







 



 



 



 

 



 



 

 y x k i y x k

e ^k

x 2

2 3 log sen 3 2

2 log cos

2 ^{3 2} . Affinché tale numero sia reale,

deve essere







 



 

x k h

y 2

2 3

log , (11)

dove anche h è un intero. Esistono quindi infinite soluzioni: fissati indipendentemente i due numeri interi h e k, basta scegliere i numeri reali x ed y che verifichino la (11). Ad esempio, per h = k = 0 si

ha ⁰

2 3

log  x 

y , che è soddisfatta ad esempio con x = log 2 e 3

 

y ; infatti, calcolando la

potenza



^{1i 3}



^{log23i} si trova

 

_^



 



 



 



 

 



 



 



 



 



 i i i 2k i

2 3 3 log 2 log 3

1 3 Log 2 log

i k

k  



 



 





 2 2log2

3 2 3

log² , per cui la potenza assume gli infiniti valori



 





 

 e ^k cos2log2k isen2log2k 2

2 2

3 2 2 9

log ; in particolare, per k = 0 si ha il numero reale

2 2

3 2 2 9

2 log ^{ }



 k

e . Se però nella (11) poniamo h = 1 e k = 2, essa diventa ^



 



 

 4

2 3 log x

y ,

che è vera ad esempio per x = log 2 e ^{ } 3

y 13 . Verifichiamo anche qui il risultato: essendo

 

^{(2 4) log2}

3 2 26 log 3 2

2 3 log

2 13 log 3

1 3 Log 2 13

log i i i k i ²  k² k i

 



 



 



 

 



 



  



 



 



   ,

la potenza dà i valori ^{2log2e263k2}



^{cos(2k4)log2isen(2k4)log2}



; in particolare, per k = 2 si trova il numero reale 3 ²

26 2

2log e ^k .

3. Funzioni goniometriche nel campo complesso

Se x è un numero reale, dalla formula (2) si ha immediatamente:













 cos sen .

sen cos

x i x e

x i x e

ix ix

(12)

Sommando membro a membro le equazioni (12), si trova e^ix e^ix 2cosx, da cui:

cos 2

ix

ix e

x e

 

 . (13)

Analogamente, sottraendo membro a membro le (12), si trova ^{eixeix 2isenx}, da cui:

i e x e

ix ix

sen 2

 

 . (14)

Le formule (13) e (14) esprimono le funzioni seno e coseno (per x reale) come combinazioni lineari di esponenziali complessi, mostrando così un'interessante analogia con le funzioni iperboliche.

Si può allora pensare di estendere le definizioni delle funzioni goniometriche al campo complesso, utilizzando formule analoghe alle (13) e (14). Poniamo quindi, per ogni z complesso:

cos 2

iz

iz e

z e

 

 . (15)

i e z e

iz iz

sen 2

 

 . (16)

Volendo, è anche possibile dare delle formule esplicite per la parte reale e per il coefficiente dell'immaginario di cos z = cos (x + iy), ed analogamente per il seno. Infatti si ha:

 

 





 ^{     }

2 ) 2

cos(

cos

) ( )

(x iy i x iy y ix y ix

i e e e

iy e x z

 

 

 



 ^  ^{ }

sen 2 cos 2

2

) sen (cos

) sen

(cos ^{y y y y y}

y e e

x e i

xe x

i x e x i x e

y x i y

xcosh sen senh

cos 

 ; (17)

 

 





 ^{     }

i e e

i e iy e

x z

ix y ix y iy

x i iy x i

2 ) 2

( sen sen

) ( ) (





 



   

 



 ^  ^{ }

sen 2 cos 2

1 2

) sen (cos

) sen

(cos ^{y y y y y}

y e e

x e i

xe i

i

x i x e

x i x e

y x i y

xcosh cos senh

sen 

 . (18)

Ad esempio, per calcolare il seno di 3i, si può utilizzare la (16):

) 2(

2 3 2

sen ^{3 3}

3 3 3

3   

     

 i e e

i e e i

e i e

i i i i

,

che si può anche scrivere come i senh 3. Lo stesso risultato si trova applicando direttamente la formula (18), dato che in questo caso è x = 0 ed y = 3.

Altro esempio: sia da calcolare 



 

  7 3 log

cos i . Dalla (15) abbiamo:

 

 





 

  ^{   }

 

 

 



 

 

2 7 2

3 log

cos ³

7 3 log 7 7 log

3 log 7

3 ilog i i i i

i e e e

i e

7 3 12 14 25 2

3 2 1 2 7 2

3 2 1 14

1 2

sen3 cos3

3 7 3 sen 7 cos 1

i i

i i

i











 









 





 



  





 



  

.

Lo stesso risultato si ottiene applicando direttamente la formula (17); essendo 3

  x ed y = log 7, si ha ^senhlog7

sen3 7 log 3cosh

cos 

 

i . Siccome poi è

7 25 27 7 1 7 log

cosh  

 e

 7 log senh

7 24 2

7 7 1

 

 , si trova 3

7 12 14 25 7 24 2

3 7

25 2

1 i    i .

Si può verificare che le classiche formule note dalla trigonometria conservano la loro validità anche nel campo complesso. Ad esempio, per dimostrare la formula di addizione

w z w

z w

z ) sen cos cos sen (

sen    , (19)

è sufficiente calcolare separatamente i due membri. Applicando la (16), si trova

i e e e e i

e w e

z

iw iz iw iz w z i w z i

2 ) 2

( sen

) ( )

(       



 .

Sempre grazie alle formule (15) e (16), il secondo membro della (19) diventa:

 

 



 ^{   }

i e e e e e e i

e

e^{iz iz iw iw iz iz iw iw} 2 2

2 2

i e e e e i

e e e e e e e e e e e e e e e

e^{iz iw iz iw iz iw iz iw iz iw iz iw iz iw iz iw iz iw iz iw} 2

4



















        

  ,

il che dimostra appunto la (19).

ESERCIZIO 3. Risolvere l'equazione sen z = 3.

SOLUZIONE. A differenza di quanto accade nel campo reale, si può vedere che l'equazione sen z = a ammette infinite soluzioni comunque sia fissato il numero complesso a.

Per risolvere il problema, è sufficiente applicare la (16): posto 3

2 

 ^ i

e e^{iz iz}

, si ha

3 2i e

e^iz  ^iz  , cioè e^2iz 2i 3e^iz 10. Rispetto all'incognita e^iz questa equazione è di secondo grado, e pertanto può essere risolta direttamente; si ha quindi



^{3 2}



1 3

3    

i i

e^iz . Ora, l'equazione ^{eiz  i}



^{3 2}



ammette le infinite soluzioni

 



^{3 2}



Log 

 i

iz ; essendo ⁱ



^{3 2}



situato sul semiasse immaginario positivo, si ha

 



ⁱ

  

^{k i}



 



 







 2

2 2 3 log 2 3

Log , e da ciò si trovano le soluzioni



^{3 2}



log

2 2  



 



 

 k i

z ; analogamente, da ^{Log i}

 

^{3 2}

 

^

 

^k ⁱ



 



 





 2

2 2 3

log , si

trova ^{2 log}



^{3 2}



2  



 



 

 k i

z .

ESERCIZIO 4. Risolvere l'equazione

32 2 63 2

cosz 65  i .

SOLUZIONE. Analogamente all'esercizio precedente, applichiamo la (15): da

32 2 63 2 65 2

i e

e^iz ^iz  

si ha 32e^iz 32e^iz 130 2126i 2, cioè:



^{65 2 63 2}



^{16 0}

16e^2iz   i e^iz   . (20)

Risolvendo rispetto ad e^iz, si trova

 

32

1024 2

63 2 65 2

63 2

65    ²

 i i

e^iz =

32

4095 128

2 2 63 2 65 32

1024 16380

7938 8450

2 63 2

65  i    i   i    i

 . Ora, per

calcolare la radice quadrata di 128  4095i, si consideri che il modulo di questo numero è

4097 4095

128² ²  , e che l'argomento principale  è l'angolo del terzo quadrante avente seno uguale a

4097

 4095 e coseno uguale a

4097

 128 ; siccome 2

 cade nel secondo quadrante, si trova

facilmente

8194 63 2

4097 1 128

cos2  



  e

8194 65 2

4097 1 128

sen2  

 , per cui le radici quadrate di 128  4095i sono

2 65 63 8194

65 8194

4097 63 i

i  



 



 

 . Pertanto le soluzioni

dell'equazione (20) sono 65 63 (63 65)

32

2  i  i , cioè 1i

16

2 e 4 21i. L'equazione

 i

e^iz  1 16

2 ammette le infinite soluzioni ^{iz k i}



 



 





 2

2 4 log

3 , mentre l'equazione

 i

e^iz 4 21 dà ^{iz k i}



 



 



 2

2 4 log

3 . In conclusione, tutte le soluzioni sono date dalle

formule ^{2 3 log2}

4 k i

z 



 



 

 e ^{2 3 log2}

4 k i

z 



 



  



 .