Integrazione indefinita di funzioni trascendenti

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Esercizi di riepilogo e complemento 13

Integrazione indefinita di funzioni trascendenti

Indicheremo con R(x1, x2, . . . , xn) una funzione razionale dipendente dalle variabili x1, x2, . . . , xn. Molti integrali di funzioni trascendenti si riconducono, mediante opportune sostituzioni, a integrali di funzioni razionali. Esaminiamo alcuni tipi di integrali fra i pi`u notevoli.

a) Integrali del tipo

R(a^αx+β) dx (a, α, β costanti, a > 0, a
= 1).

Mediante una delle sostituzioni

a^αx+β= t, a^αx= t, ci si riconduce a un integrale di funzione razionale di t.

In particolare, per a = e, si hanno gli integrali

R(e^αx+β) dx.

Per β = 0 si hanno gli integrali

R(a^αx) dx,

R(e^αx) dx

b) Integrali del tipo

R(a^r1x, a^r2x, . . . , a^rnx) dx,

dove a `e una costante positiva e
= 1 ed r1, r2, . . . , rn sono numeri razionali che supporremo ridotti ai minimi termini.

Detto µ il minimo comune multiplo dei denominatori dei numeri r1, r2, . . . , rn, con la sostituzione a^x= t^µ

gli integrali considerati si trasformano in integrali di una funzione razionale di t. Si pu`o eseguire anche la sostituzione a^x= t. In particolare si hanno gli integrali

R(e^r1x, e^r2x, . . . , e^rnx) dx.

Gli integrali del tipo

R

 a^x,

αa^x+ β γa^x+ δ

_r1 ,

αa^x+ β γa^x+ δ

_r2 , . . . ,

αa^x+ β γa^x+ δ

_rn dx

dove a `e una costante positiva
= 1 e α, β, γ, δ, r1, r2, . . . , rn hanno il significato loro attribuito in [b) - integrazione indefinita di funzioni irrazionali]. Per il calcolo di questi integrali si pone

αa^x+ β

γa^x+ δ = t^µ o a^x= t.

c) Integrali del tipo

R(sin x, cos x) dx.

Posto tg (x/2) = t, da cui x = 2arctg t, segue dx = [2/(1 + t²)]dt, e applicando le formule sin x = 2tg (x/2)

1 + tg²(x/2) = 2t

1 + t², cos x =1− tg²(x/2)

1 + tg²(x/2) =1− t² 1 + t², l’integrale considerato si trasforma nell’integrale di funzione razionale di t

R

 2t

1 + t²,1− t² 1 + t²

 2dt 1 + t². Pi`u in generale si hanno gli integrali del tipo

R[sin(αx + β), cos(αx + β)] dx

(con α e β costanti non nulle) che ri riducono al tipo sopra considerato ponendo αx + β = z.

Gli integrali di questo tipo si possono calcolare anche nel seguente modo: si sostituiscono alle funzioni sin x, cos x le espressioni fornite dalle formule di Eulero

sin x = e^ix− e^−ix

2i , cos x = e^ix+ e^−ix 2

e si esegue la sostituzione e^ix= t. Con questo procedimento si entra per`o nel campo complesso.

d) Integrali del tipo

R(tg x) dx.

Osservato che tg x = sin x/ cos x, si pu`o procedere come per gli integrali del tipo c). In generale risult`a per`o pi`u conveniente eseguire la sostituzione tg x = t. L’integrale considerato si trasforma in tal modo in un integrale di funzione razionale di t.

Analogamente si procede per il calcolo degli integrali

R(cotg x) dx,

R(tg x, cotg x) dx.

e) Integrali del tipo

R(sin²x, cos²x, sin 2x, cos 2x, tg x, cotg x) dx.

Poich´e sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x, tg x = sin x/ cos x, cotg = cos x/ sin x, si pu`o procedere come negli integrali di tipo c), ma in generale risulta pi`u conveniente effettuare la sostituzione tg x = t (oppure cotg x = t). Osservato che da tg x = t si trae x = arctg t, dx = dt/(1 + t²) e che

sin²x = t²

1 + t², cos²x = 1 1 + t², sin 2x = 2t

1 + t², cos 2x = 1− t²

1 + t², cotg x =1 t, l’integrale dato si trasforma in un integrale di funzione razionale di t.

f) Integrali del tipo

R(sin x) cos x dx.

Si pu`o procedere come per gli integrali del tipo c), ma in generale conviene eseguire la sostituzione sin x = t.

Osservato che cos x dx = d sin x = dt, l’integrale considerato si riduce a un integrale di funzione razionale di t. Analogamente, per il calcolo dell’integrale

R(cos x) sin x dx conviene fare la sostituzione cos x = t. Per il calcolo degli integrali

R(sin x, cos²x, tg²x, cotg²x) cos x dx,

R(sin²x, cos x, tg²x, cotg²x) sin x dx, si procede in modo analogo.

g) Integrali del tipo

sin mx cos nx dx (m, n costanti, m
= ±n).

Mediante la formula

sin p + sin q = 2 sinp + q

2 cosp − q 2 ,

risulta

sin mx cos nx = 1

2[sin(m + n)x + sin(m − n)x]

e quindi

sin mx cos nx dx =1 2

sin(m+n)x dx+1 2

sin(m−n)x dx = − 1

2(m + n)cos(m+n)x− 1

2(m − n)cos(m−n)x+c.

In modo analogo si trova, per m
= ±n,

sin mx sin nx dx = 1

2(m − n)sin(m − n)x − 1

2(m + n)sin(m + n)x + c,

cos mx cos nx dx = 1

2(m + n)sin(m + n)x − 1

2(m − n)sin(m − n)x + c.

I casi in cui m = ±n si risolvono immediatamente per sostituzione.

Pi`u in generale si hanno gli

h) Integrali del tipo

cos(a1x + b1) cos(a2x + b2)· . . . · cos(anx + bn) dx, dove a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn sono delle costanti. Applicando ripetutamente la formula

cos ω1cos ω2= 1

2[cos(ω1+ ω2) + cos(ω1− ω2)]

si pu`o sostituire alla funzione integranda una somma di termini del tipo α cos(βx + γ) (α, β, γ costanti) di integrazione immediata.

In modo analogo si procede se la funzione integranda `e un prodotto di seni o un prodotto di seni e coseni.

i) Integrali del tipo

sin^mx cosⁿx dx, dove m ed n sono numeri reali qualunqe.

Mediante la sostituzione sin x = t (oppure cos x = t) questi integrali si riducono a integrali di differen- ziali binomi. Infatti, da sin x = t si trae x = arcsin t, dx = (1 − t²)^−1/2 dt, cos x = (1 − t²)^1/2, sin^mx = t^m, cosⁿx = (1 − t²)^n/2 e pertanto, sostituendo, si ottiene

t^m(1− t²)^(n−1)/2 dt.

Supposti m, n razionali, l’integrale `e esprimibile in termini finiti se e solo se `e intero almeno uno dei tre numeri

n − 1

2 , m + 1

2 , n − 1

2 +m + 1

2 =n + m 2 ,

mentre se m ed n sono reali qualunque l’integrale dato `e esprimibile in termini finiti se e soltanto se `e intero e positivo almeno uno dei tre numeri

n − 1

2 , m + 1

2 , −n + m 2 .

Si osservi che l’integrale di tipo i) `e certamente esprimibile in termini finiti se i due numeri m, n sono interi o se almeno uno di esse `e positivo e dispari.

Se m, n sono interi l’integrale rientra in quelli del tipo c), quindi si pu`o calcolare anche con la sosti- tuzione indicata per gli integrali del tipo citato.

Se m, n sono interi e pari allora l’integrale rientra oltre che fra quelli del tipo c) anche tra quelli del tipo e). In qualche caso, per`o, pu`o essere conveniente, anzich`e eseguire le sostituzioni indicate per i suddetti integrali, ricorrere a particolari artifici.

l) Integrali del tipo I =

e^αxcos mx dx, J =

e^αxsin mx dx dove m ed n sono costanti non nulle.

Integrando per parti, si ottiene I = 1

me^αxsin mx − α m

e^αxsin mx dx = 1

me^αxsin mx − α mJ.

Analogamente si trova

J = −1

me^αxcos mx + α mI.

Le due relazioni trovate formano un sistema di due equazioni nelle due incognite I e J. Risolvendo si ottiene:

I = e^αx

α²+ m²(α cos mx + m sin mx) + c;

J = e^αx

α²+ m²(α sin mx − m cos mx) + c.

Rientrano in questa categoria anche gli integrali:

e^αxcos x dx,

e^αxsin x dx,

e^xcos mx dx,

e^xsin mx dx.

In modo analogo si calcolano gli integrali I =

a^αxcos mx dx, J =

a^αxsin mx dx, dove a `e una costante positiva, diversa da 1.

m) Integrali del tipo I =

xⁿe^αxcos mx dx, J =

xⁿe^αxsin mx dx con n, α, m costanti, n intero positivo, α, m non entrambi nulli.

Integrando per parti e applicando il risultato ottenuto per l’integrale I del tipo l), risulta In= xⁿe^αxα cos mx + m sin mx

α²+ m² − nm

α²+ m²

xⁿ⁻¹e^αxsin mx dx − nα α²+ m²

xⁿ⁻¹e^αxcos mx dx, ossia

In= xⁿe^αxα cos mx + m sin mx

α²+ m² − nm

α²+ m²Jn−1− nα

α²+ m²In−1. (1)

In modo analogo si trova

Jn= xⁿe^αxα sin mx − m cos mx

α²+ m² − nα

α²+ m²Jn−1+ nm

α²+ m²In−1. (2)

Per n = 0 gli integrali considerati si riducono a quelli del tipo l).

Le formule trovate per In e Jn sono esempi di formule ricorrenti, in quanto richiedono la conoscenza di In−1e Jn−1.

Se α = m = 0, allora

In = xⁿ⁺¹

n + 1+ c, Jn= c.

Casi particolari notevoli degli integrali di tipo m) sono i seguenti:

I_n
=

xⁿcos x dx, J_n
=

xⁿsin x dx, Kn =

xⁿe^αx dx, . Dalle (1) e (2) si deducono le formule ricorrenti

I_n
= xⁿsin x − nJ_n−1
,

J_n
=−xⁿcos x + nI_n−1
, Kn=xⁿe^αx

α − n

αKn−1 (α
= 0).

Pi`u in generale si hanno gli integrali I =

xⁿa^αxcos mx dx, J =

xⁿa^αxsin mx dx con a costante positiva diversa da 1.

Per il loro calcolo si procede cos`ı come si `e fatto per In e Jn.

n) Integrali del tipo

I =

e^αxP (sin x, cos x) dx, (3)

dove P `e un polinomio e α una costante.

L’integrale (3) `e una somma di integrali del tipo

e^αxsin^mx cosⁿx dx (m, n interi non negativi).

Osservato che il prodotto sin^mx cosⁿx si pu`o decomporre in una somma di seni e di coseni di multipli dell’arco x, si pu`o concludere che il calcolo dell’integrale (3) dipende dal calcolo dei seguenti integrali del

tipo l)

e^αxcos px dx,

e^αxsin qx dx con p, q interi non negativi.

In modo analogo si procede per il calcolo dell’integrale

a^αxP (sin x, cos x) dx, (a costante positiva diversa da 1).

o) Integrali del tipo

Im=

x^αlog^m_a dx, dove m `e un intero positivo, α costante diversa da −1.

Si ha la formula ricorrente

Im= x^α+1

α + 1log^m_a x − m

(α + 1) log aIm−1

mediante la quale si calcola Im noto Im−1.

Il caso in cui m `e intero e negativo rientra negli integrali di tipo s).

p) Integrali dei tipi I1=

x^mP (log x) dx, I2=

P (arcsin x) dx,

I3=

P (x) arcsin x dx, I4=

P (x) arctg x dx, dove P `e un polinomio ed m `e una costante. Per l’integrale I1, posto log x = t, risulta

I1=

e^mtP (t) e^tdt =

e^(m+1)tP (t) dt.

Un termine qualunque di questo integrale `e del tipo

e^αttⁿ dt.

Si `e cos`ı ricondotti all’integrale Kn del tipo m).

Si poteva anche osservare che un termine qualunque di I1`e del tipo

x^mlogⁿx dx, gi`a considerato negli integrali di tipo o).

Gli integrali di tipo I2, con la posizione arcsin x = t, si riconducono agli integrali del tipo m).

Per il calcolo degli integrali I3 e I4si pu`o procedere in questo modo: si applica dapprima un’integrazione per parti assumendo in entrambi i casi P (x) dx come fattore differenziale. Cos`ı procedendo, il calcolo di I3 dipende dal calcolo di integrali di funzioni irrazionali del tipo c), mentre il calcolo di I4 dipende dal calcolo di integrali di funzioni razionali.

q) Integrali del tipo

P (x)e^αxdx,

dove P (x) `e un polinomio e α una costante. L’integrale si scinde nella somma di integrali del tipo

xⁿe^αxdx,

gi`a esaminati (integrali del tipo m)). Considerazioni analoghe si possono fare per gli integrali del tipo

P (x)a^αxdx, dove a `e una costante positiva e diversa da 1.

r) Integrali dei tipi

P (x, e^αx) dx,

P (x, log_ax) dx, dove P (x) `e un polinomio.

Un termine generico di questi integrali `e rispettivamente del tipo

xⁿe^αxdx,

x^αlog^m_a x dx e questi sono integrali dei tipi m) ed o).

Analogamente si procede per il calcolo dell’integrale

P (x, a^αx) dx con a costante positiva e diversa da 1.

s) Integrali del tipo

R(x) a^αx dx,

dove R(x) `e una funzione razionale, a una costante positiva e diversa da 1, α una costante.

Decomposta R(x) nella somma della sua (eventuale) parte intera e di frazioni semplici della forma A/(x − b)ⁿ, il calcolo dell’integrale dato dipende dal calcolo dei seguenti integrali

x^ma^αxdx,

a^αx (x − b)ⁿ dx, dove m `e un intero non negativo, n un intero positivo, b una costante.

Il primo di questi integrali `e stato gi`a considerato e rientra nella categoria m). Il secondo integrale, posto x − b = t, diviene

a^αb

a^αt tⁿ dt.

Mediante integrazione per parti, supposto n
= 1, si ottiene

a^αt

tⁿ dt = − a^αt

(n − 1)tⁿ⁻¹ +α log a n − 1

a^αt tⁿ⁻¹ dt.

Questa `e una formula ricorrente che permette di ricondurre il calcolo dell’integrale a primo membro al calcolo dell’integrale

a^αt t dt.

Quest’ultimo integrale, per`o, non si pu`o esprimere in termini finiti (per il calcolo si ricorre all’integrazione per serie).

Se n = 1 si ha direttamente
a^αt

x − b dx = a^αb

a^αt t dt.

Come caso particolare si hanno gli integrali del tipo

R(x)e^αxdx.

Consideriamo l’integrale

x^αlog^m_a x dx,

dove m `e un intero negativo e a ed α hanno il significato attribuito loro in precedenza.

Posto log_ax = t, risulta

x^αlog^m_a x dx = log a

a^(α+1)t t^−m dt e pertanto si `e ricondotti all’integrale sopra considerato.

t) Integrali del tipo

P (x, e^α1x, e^α2x, . . . , e^αpx) dx, dove P `e un polinomio, α1, α2, . . . αp costanti.

Questo integrale `e la somma di integrali della forma

xⁿe^αxdx gi`a considerati nel tipo m).

In modo analogo si calcola l’integrale

P (x, a^α1x, a^α2x, . . . , a^αpx) dx, con a costante positiva e diversa da 1.

I. – Osservazione

Se negli integrali dei tipi da c) a n) si sostituiscono alle funzioni goniometriche le funzioni iperboliche, il procedimento per il calcolo degli integrali non cambia. Basta semplicemente scambiare in tutte le sostituzioni indicate la funzione goniometrica con la corrispondente funzione iperbolica.

Il calcolo degli integrali da c) a i), se m ed n sono interi, e degli integrali l) ed n), dove in luogo delle funzioni goniometriche vi siano le funzioni iperboliche, si pu`o fare rientrare nel calcolo degli integrali del tipo b). Basta allo scopo valersi delle formule

sinh x = e^x− e^−x

2 , cosh x = e^x+ e^−x

2 , tgh x = e^x− e^−x

e^x+ e^−x, cotgh x = e^x+ e^−x e^x− e^−x.

II. – Osservazione Gli integrali

R(sin x, cos x) dx,

R(sinh x, cosh x) dx si possono ricondurre all’integrale del tipo

R(x,

ax²+ bx + c) dx mediante le sostituzioni sin x = t, sinh x = t.

Viceversa, l’integrale

R(x,

ax²+ bx + c) dx si pu`o ricondurre ad uno dei due integrali

R(sin x, cos x) dx,

R(sinh x, cosh x) dx.

A tale scopo si possono usare le sostituzioni

x =

√b²− 4ac cos t − b

2a se b²− 4ac > 0, a < 0, x =

√b²− 4ac cosh t − b

2a se b²− 4ac > 0, a > 0, x =

√4ac − b²sinh t − b

2a se b²− 4ac < 0, a > 0.

III. – Osservazione

Nella trattazione dell’integrazione indefinita di funzioni irrazionali e di funzioni trascendenti sono stati elencati vari tipi di integrali che, mediante opportune sostituzioni sulla variabile, si riconducono ad integrali di funzioni razionali.

In molti altri casi, questo scopo pu`o essere raggiunto non immediatamente ma in pi`u fasi, vale a dire per mezzo di successivi cambiamenti della variabile d’integrazione.

Tipico `e il caso in cui l’integrale

f (x) dx pu`o ricondursi, mediante una conveniente posizione x = x(t), ad un integrale

ϕ(t) dt di uno dei tipi considerati. Allora, quest’ultimo integrale si pu`o trasformare in una funzione razionale per mezzo di una opportuna trasformazione t = t(u).

Ad esempio, si voglia calcolare l’integrale I =

cos x

sin²x

3 + 2 sin²x dx.

Pur non rientrando nei tipi trattati I si riconduce, mediante la sostituzione sin x = t, all’integrale

dt

t²√ 3 + 2t²

e quest’ultimo `e un integrale di funzione irrazionale del tipo c) o anche del tipo e). Come integrale del tipo e) si pone 2 + 3t⁻²= z², ottenendo

I = ±z 3+ c e infine, ricordando le posizioni fatte,

I = ±1 3

 2 + 3

sin²x+ c.

Esercizi

1. Calcolare gli integrali (di tipo a) a) I =

dx

4^x/3+1, b) I =

dx

1 + e^2x.

a) −_4x/3+1³_{log 4}+ c; b) x −¹₂log(e^2x+ 1) + c

2. Calcolare l’integrale (di tipo b)

e^2x+ e^x+ 3 e^x+ 8 dx

e^x+ log⁸

e^3x (e^x+8)59 + c

3. Calcolare l’integrale (di tipo b)

2^x/2 1− 2^x/3 dx

log 26

−√⁶

2^x+¹₂log ^1+√62x

|1−√⁶2x|

+ c

4. Calcolare l’integrale (riconducibile al tipo b delle funzioni irrazionali)

 e^x e^x− 1 dx

2 log(√

e^x− 1 −√ e^x) + c

5. Calcolare l’integrale (di tipo c)
dx 1 + sin x

−₁₊tg²(x/2)+ c

6. Calcolare l’integrale (di tipo c)

1 + cos x 1 + sin x dx

−₁₊tg²(x/2)+ log⁽¹⁺tg(x/2))² 1+tg²(x/2) + c

7. Calcolare l’integrale (di tipo c)

1 + 2 cos x sin x(3 − cos x) dx

log

|tg^x₂|³

8

tg^{2 x}₂⁺¹₂7 + c

8. Calcolare l’integrale (di tipo d )

tg³x + tg x tg x + 4 dx

tg x − 4 log | tg x + 4| + c

9. Calcolare l’integrale (di tipo d )

tg²x tg x + 1 dx

−^x₂+ log⁴

(tg²x + 1)(tg x + 1)²+ c

10. Calcolare l’integrale (di tipo e)

tg x sin²x + 1 dx

14log(2 tg²x + 1) + c

11. Calcolare l’integrale (di tipo e)

1

sin⁴x + cos⁴x dx

√2

2 arctg ^√2tgx 1−tg²x+ c

12. Calcolare l’integrale (di tipo f )
cos x sin³x dx

−_{2 sin}¹2x+ c

13. Calcolare gli integrali (di tipo g) I1=

sin 5x cos 3x dx

I2=

sin 6x sin 9x dx

I3=

cos 4x cos 8x dx

I¹= −^{cos 8x}16 −^{cos 2x}4 + c, I²=^{sin 3x}₆ −^{sin 15x}30 + c, I³=^{sin 12x}₂₄ +^{sin 4x}₈ + c

14. Calcolare l’integrale (di tipo h)

cos(3x + 4) cos(5x + 1) cos(7x + 3) cos(4x − 4) dx

1 8

1

19sin(19x + 4) −1

3sin(−3x + 6) + 1

11sin(11x + 12) +1

5sin(5x − 2) +1

9sin(9x + 2) − 1

13sin(−13x + 4) + sin(x + 10) −1

5sin(−5x − 4) +c

15. Calcolare l’integrale (di tipo h)

sin x cos 2x sin πx dx

1

4(3− π)sin(3− π)x − 1

4(3 +π)sin(3 +π)x − 1

4(1− π)sin(1− π)x + 1

4(1 +π)sin(1 +π)x + c

16. Calcolare l’integrale (di tipo i, ma anche di tipo c)

dx

sin²x cos x

− 1 sinx+ log

1 + sinx 1− sin x+c

17. Calcolare l’integrale (di tipo i, ma anche di tipo c)

sin⁴x cos x dx

−1

3sin³x − sin x + log

 1 + sinx 1− sin x+c

18. Calcolare l’integrale (di tipo i, ma anche di tipo c ed f )

sin³x cos⁵x dx

1

4sin⁴x −1

3sin⁶x +1

8sin⁸x + c

19. Calcolare l’integrale (di tipo i )

cos^4/3x√³

sin x cos x dx

3

cotg²x 2(1 + cotg²x)−1

6log

3

cotg²x + 1

3

cotg⁴x −³

cotg²x + 1− 1 2√

3arctg2³

cotg²x − 1

√3 +c

20. Calcolare gli integrali (di tipo l ) I =

e^3xcos 4x dx, J =

e^3xsin 4x dx

I = 1

25e^3x(3 cos 4x + 4 sin 4x) + c, J = 1

25e^3x(3 sin 4x − 4 cos 4x) + c

21. Calcolare l’integrale (di tipo m)

I3=

x³e^2xdx

I3=1

8(4x³− 6x²+ 6x − 3)e^2x+c

22. Calcolare gli integrali (di tipo m) I1=

x e^3xcos 4x dx, I2=

x e^3xsin 4x dx

I1= e^3x 25

x(4 sin 4x + 3 cos 4x) −24

25sin 4x + 7 25cos 4x

+c, I2=e^3x 25

x(3 sin 4x − 4 cos 4x) + 7

25sin 4x +24 25cos 4x

+c

23. Calcolare l’integrale (di tipo n) I =

e^3x(sin³x − 4 cos⁴x) dx,

I = e^3x

− 3

50cos 4x − 2

25sin 4x − 1

24cos 3x − 1

24sin 3x − 6

13cos 2x − 4

13sin 2x − 3

40cosx + 9

40sinx −1 2

+c

24. Calcolare l’integrale (di tipo o)

J3=

x³log³x dx,

J3= x⁴

4 log³x − 3

16x⁴log²x + 3

32x⁴logx − 3 128x⁴+c

25. Calcolare l’integrale (di tipo p) I =

x^marctg(ax) dx, (m intero
= −1; a costante)

I = −x² 6 +1

6log(x²+ 1) +x³

3 arctgx + c

26. Calcolare gli integrali (di tipo p) I =

arcsin³x dx, J =

arccos³x dx

I = x arcsin³x + 3

1− x²arcsin²x − 6x arcsinx − 6

1− x²+c, J = x arccos³x − 3

1− x²arccos²x − 6x arccosx + 6

1− x²+c

27. Calcolare l’integrale (di tipo r ) I =

x^1/4(log²x − 3 log³x) dx

I = −12

5x^5/4log³x +164

125x^5/4log²x −1312

125x^5/4logx +5248 625x^5/4+c

28. Calcolare l’integrale (di tipo s)

I =

e^2x (x − 4)³ dx

I = e⁸



− e^2(x−4)

2(x − 4)² −e^2(x−4) x − 4



+ 2e⁸
e^2t t dt



t=x−4

29. Calcolare l’integrale (di tipo t )

I =

xe^x(1− e^x) dx

I = e^x(x − 1) −1

4e^2x(2x − 1) + c