Centro di massa metà cilindro ??

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6.31. CENTRO DI MASSA METÀ CILINDRO??

PROBLEMA 6.31

Centro di massa metà cilindro ??

Calcolare la distanza b tra il centro di massa e l’asse del semicilindro che compare negli esercizi 6.29 e 6.30 e usatelo per confrontare le frequenze delle piccole oscillazioni trovate nei due casi.

b R

Figura 6.24.: Il sistema di coordinate utilizzato per il calcolo del centro di massa.

Soluzione

Scegliamo un sistema di coordinate come in Figura 6.24. A causa della simmetria orizzontale x_cm =0. Per calcolare y_cm = b calcoliamo

y_cm = ¹ M

ˆ ydm che diviene, utilizzando coordinate polari,

y_cm = ¹ M

ˆ ydm

dSdS

= ¹ M

M πR²/2

ˆ ˆ

r sin θrdrdθ

= ² πR²

ˆ _R

0

drr² ˆ _π

0

dθ sin θ

= ² πR²

R³ 3 2= ⁴

3πR'^{0.424 R}

La frequenza delle piccole oscillazioni è, nel caso senza attrito considerato nell’Eserci- zio 6.30

f = ¹ 2π

r 2gb

R²−^b² = ¹ 2π

vu ut ^3π⁸

1−_9π¹⁶² g

R '^0.162 rg

R

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6.31. CENTRO DI MASSA METÀ CILINDRO??

e in quello con rotolamento puro considerato nell’Esercizio 6.29

f = ¹ 2π

r 2gb

3R²−^4Rb = ¹ 2π

s 8

3π

3−_3π¹⁶ g

R '^0.128 rg

R (6.31.1)

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