Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 6/6/2008
Esercizio 1. La produzione agricola e quindi il prezzo dei suoi prodotti
`e parzialmente infuenzata dalle condizioni del tempo. Indichiamo con Vn il costo di un chilogrammo di un certo tipo di uva, a settembre dell’anno n- esimo. Supponiamo di aver riscalato Vn rispetto all’inflazione (o di vivere in un paese senza inflazione), in modo che se le condizioni del tempo fossero sempre le stesse, Vn sarebbe esattamente costante negli anni.
Supponiamo che Vn possa assumere solo i valori a, 2a, 3a, ..., ka, ... ecc., cio`e i multipli di una unit`a di costo a.
Se durante la prima parte dell’anno il tempo `e stato del tipo giusto, la produzione `e buona e Vn non cresce rispetto all’anno precedente, anzi cala di a se Vn aveva superato (nel senso di >) il valore 10a. Se invece il tempo `e stato cattivo, Vn cresce di a.
Supponiamo che il tempo sia cattivo in media un anno su tre.
1) A regime, calcolare la probabilit`a che il valore sia 10a.
2) Supponiamo che, se il prezzo `e > 10a, non sempre si decida di ab- bassarlo di a in caso di buon tempo. Lo si fa solo se, oltre ad aver avuto buon tempo, altri parametri economici sono favorevoli. Tali parametri sono favorevoli solo un anno su tre. Ne risulta un meccanismo che porta alla crescita inarrestabile del prezzo dell’uva?
3) Supponiamo che quest’anno sia V = 10a e che si decida in futuro di non abbassare mai il prezzo, solo di alzarlo di a se il tempo `e stato cattivo.
Dopo quanti anni il prezzo `e diventato pari a 12a? Tale numero di anni `e aleatorio, quindi non si pu`o rispondere con un valore numerico; chiamiamolo N. Calcolare P (N = 2), P (N = 3).
Esercizio 2. Un ristorante ha un solo cameriere ma una squadra molto ef- ficiente in cucina. Il cameriere prende le ordinazioni in serie, secondo l’ordine di arrivo delle persone al ristorante; la cucina riesce a operare sulle ordi- nazioni in parallelo, senza che la presenza di un’ordinazione rallenti il lavoro di un’altra. Per semplicit`a, supponiamo inoltre che la sala del ristorante sia illimitata.
Supponiamo che il tempo che trascorre tra l’occupazione di un tavolo e quella del successivo sia una v.a. esponenziale di media 10 minuti e che il cameriere prenda subito le ordinazioni quando il tavolo viene occupato.
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Supponiamo che il tempo necessario a servire l’ordinazione di un tavolo sia una v.a. esponenziale di media 15 minuti (in questa aleatoriet`a abbiamo gi`a incluso la variet`a dei tipi di richieste e la variabilit`a del numero di persone al tavolo; in particolare il tavolo va considerato come un’unit`a richiedente, senza considerare esplicitamente il numero delle persone al tavolo).
1) Calcolare la probabilit`a (a regime) che tutti i tavoli siano serviti.
2) Calcolare il numero medio (a regime) di tavoli in attesa di servizio.
3) In un generico momento, `e pi`u probabile osservare l’arrivo di un nuovo gruppo di persone oppure il servizio di un tavolo in attesa? La risposta dipende da qualcosa?
4) Supponiamo ora che la sala sia limitata, con solo 10 tavoli. Supponi- amo che chi arriva e trova tutto occupato se ne vada. Supponiamo che il tempo trascorso da un gruppo di persone servite ad un tavolo, prima di an- darsene, sia una v.a. esponenziale di media 30 minuti. Impostare un modello markoviano per questa situazione (senza pretesa di svolgere i calcoli), orien- tato a rispondere alla domanda: qual’`e la probabilit`a che il ristorante sia pieno (a regime)?
5) Immaginare la semplificazione pi`u ragionevole del meccanismo de- scritto al punto 4, tale per cui possiamo considerare un modello markoviano pi`u semplice, esplicitamente risolubile, con stato uguale al numero di tavoli occupati, per cui alla fine possiamo calcolare esplicitamente la probabilit`a che il ristorante sia pieno. [Nota: la formula finale per questa probabilit`a richiede di calcolare la somma di vari termini, per cui si pu`o omettere il calcolo numerico finale.]
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1 Soluzioni (sintetiche)
Esercizio 1.
1. Gli stati 1,...,9 sono transitori, quindi π `e concentrata su 10,11,..., che rinominiamo 0,1,2,... La prob. di transizione da k a k+1 `e 1/3, da k a k-1 `e 2/3. E’ una semplice catena con λ e µ costanti, ρ = λµ = 12 < 1, πk =
³λ µ
´k³ 1 −λµ
´
= 2k+11 . Quindi π0 = 1/2.
2. Ora la prob. di transizione da k a k-1 `e 23 · 13 = 29 e c’`e una prob. di 49 di restare fermi. Ora λµ = 32 > 1, quindi la catena cresce indefinitamente.
3. P (N = 2) = 13 · 13 = 19, P (N = 3) = 233113 +132313 = 274.
Esercizio 2. Si tratta di una coda con infiniti serventi (ogni tavolo che si riempie inizia immediatamente la sua fase di “servizio”, come se avesse potuto rivolgersi ad uno sportello vuoto). Xt indicher`a il numero di tavoli occupati che attendono il cibo (in fase di servizio, cio`e).
1) Tassi di crescita λ = 101 costanti, tassi di calo non costanti: µk,k−1 =
k
15. Quindi ak = k!/151/10kk = ¡3
2
¢k
/k!. Vale P∞
k=0
¡3
2
¢k
/k! = exp¡3
2
¢, πk = exp¡
−32¢ ¡3
2
¢k
/k!, in particolare π0 = exp¡
−32¢
(lo stato 0 corrisponde alla domanda).
2)
E [Xt] = exp µ
−3 2
¶X∞
k=0
k µ3
2
¶k
/k! = 3 2exp
µ
−3 2
¶X∞
k=1
µ3 2
¶k−1
/ (k − 1)!
= 3 2exp
µ
−3 2
¶X∞
j=0
µ3 2
¶j
/j! = 3 2exp
µ
−3 2
¶ exp
µ3 2
¶
= 3 2.
3) La probabilit`a di arrivo di un nuovo gruppo `e
1 10 1 10 +15k
quindi dipende da k (= numero tavoli in attesa). La probabilit`a di un servizio
`e k
15 1 10+ 15k .
La risposta dipende da k: per k = 1 `e pi`u probabile l’arrivo di un nuovo gruppo, altrimenti il contrario.
3
4) Lo stato ora `e una coppia (k, j) dove k `e il numero di tavoli (occupati) in attesa, j il numero di tavoli (occupati) serviti. I numeri k, j, non negativi, sono vincolati da k + j ≤ 10. Se trovassimo la distribuzione invariante π(k,j) dovremmo calcolare
X10 k=0
π(k,10−k).
A partire dal generico (k, j) c’`e la transizione in (k + 1, j) con tasso 101, in (k, j − 1) con tasso 301, in (k − 1, j + 1) con tasso 151.
5) Bisogna non distinguere pi`u tra tavoli (occupati) in attesa e serviti, ma indicare con Xt il numero di tavoli occupati. Il tempo di “servizio” ora `e la somma dei tempi di attesa e di consumazione, che essendo tempi esponen- ziali non `e esponenziale a sua volta, quindi a stretto rigore non potremmo applicare le catene di Markov. Qui sta la semplificazione: supporre che sia esponenziale. la sua media deve essere 15+30=45 minuti. L’esercizio diventa quindi simile al punto 1, con diversi tassi per`o. Ci sono da qui in poi due versioni; la prima, meno corretta ma pi`u semplice, in cui si suppone illimi- tato il locale e si calcola la probabilit`a di avere pi`u di 10 tavoli occupati; la seconda, pi`u corretta, in cui si considera la catena con solo gli stati da 0 a 10 e si calcola la probabilit`a di essere nello stato 10.
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