Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 27/6/2008
Esercizio 1. Vogliamo descrivere con una catena di Markov a tempo discreto il numero di mezzi pubblici (autobus) parcheggiati in un deposito.
Scegliamo un’unit`a di tempo tale che, in prima approssimazione, durante un’unit`a temporale possa arrivare in deposito al massimo una vettura, e possa partire dal deposito al massimo una vettura (entrambe le cose possono accadere in un’unit`a temporale).
L’arrivo di una vettura viene osservato in media una volta su dieci (nel senso di una volta ogni dieci unit`a temporali, mediamente parlando). La partenza una volta su nove.
i) Calcolare accuratamente le probabilit`a di transizione, prestando atten- zione agli eventuali casi particolari.
ii) A regime, calcolare la probabilit`a di avere il deposito vuoto.
iii) Calcolare il numero medio di vetture nel deposito.
iv) Cambiamo due dati del problema, rendendolo pi`u realistico. Supponi- amo che il numero di vetture esistenti (riferite a quel deposito) sia 100. La probabilit`a che arrivi una vettura in deposito nell’unit`a temporale `e 101, fin tanto che ce ne sono fuori deposito; la probabilit`a che parta una vettura dal deposito nell’unit`a temporale `e anch’essa 101 , fin tanto che ci sono macchine in deposito. Calcolare la probabilit`a che il deposito sia vuoto e quella che sia pieno (nel senso che tutte le 100 vetture siano in deposito). Se necessario, semplificare qualcosa per poter risolvere esplicitamente il problema.
Esercizio 2. Il casello autostradale di una grande citt`a, nelle ore di poco traffico, `e sovradimensionato. Tiene aperte 10 uscite, ciascuna che serve una vettura in un tempo medio di 30 secondi. Arrivano al casello in media 6 vetture al minuto.
i) Inizialmente, si applichi la finzione (semplificazione) di pensare che il numero di uscite aperte sia infinito. Calcolare la probabilit`a (a regime) di avere un numero di utenti in fase di servizio minore o uguale a 3.
ii) Calcolare il numero medio (a regime) di utenti in fase di servizio.
iii) Cercare ora di descrivere il problema senza la finzione precedente:
qual’`e la probabilit`a che una vettura, arrivando al casello, trovi tutte le uscite occupate? Questa `e una misura di quanto distano i due modelli. Per arrivare
ad un risultato numerico finale, si usino i seguenti fatti:
X9 k=0
3k
k! = 20. 063, X10
k=0
3k
k! = 20.08 1010
10! (0.3)11 = 4.881 7 × 10−3.
1 Soluzioni (sintetiche)
Esercizio 1.
i) Gli stati sono i numeri interi non negativi, numero di vetture in depos- ito. Se ci sono k vetture, con k ≥ 1, si passa a k + 1 se arriva una vettura e non ne parte nessuna, quindi con probabilit`a
pk,k+1= 1 10· 8
9 = 8
90 = 0.0888.
Si passa a k − 1 se non arriva alcuna vettura e ne parte una, quindi con probabilit`a
pk,k−1= 9 10· 1
9 = 1 10. Si resta con k vettute con probabilit`a
pk,k = 1 − 1 10· 8
9 − 9 10 · 1
9 = 0.8111.
Per`o se k = 0, non possono partire vetture, quindi p0,1 = 1
10, p0,0 = 9 10. ii) a0 = 1, e per k ≥ 1
ak =
1 10 ·¡8
90
¢k−1
¡1
10
¢k = 9 8
µ8 9
¶k
X∞ k=0
ak= 1 + 9 8
X∞ k=1
µ8 9
¶k
= 1 + 9 8
à ∞ X
k=0
µ8 9
¶k
− 1
!
= 1 + 9 8
µ 1
1 −89 − 1
¶
= 10 quindi π0 = 101.
iii)
E [N] = X∞
k=0
kπk = X∞
k=1
k
9 8
¡8
9
¢k 10 = 9
80 X∞
k=1
k µ8
9
¶k
= 9 80
8
¡ 9
1 −89¢2 = 81 10.
iv) Gli stati sono gli interi 0,1,...,100. Vale ora, per k = 1, 2, ..., 99 pk,k+1= 1
10 · 9 10 = 9
100 pk,k−1= 9
10 · 1 10 = 9
100 mentre
p0,1 = 1
10, p100,99 = 1 10. Pertanto a0 = 1, per k = 1, 2, ..., 99
ak =
1 10 ·¡ 9
100
¢k−1
¡ 9
100
¢k = 10 9 ed infine
a100 =
1 10 ·¡ 9
100
¢99
1 10 ·¡ 9
100
¢99 = 1.
Vale poi
X100 k=0
ak = 1 + X99 k=1
10
9 + 1 = 2 + 10
9 99 = 112.
Pertanto π0 = 1121 ; ed anche π100 = 1121 . [Anche per simmetria.]
Esercizio 2.
i) Si tratta di una coda con infiniti serventi. Nt indicher`a il numero di utenti in fase di servizio (cio`e nel sistema). Tassi di crescita λ = 101 (sec−1) costanti (sarebbe bene dare una giustificazione precisa di questo valore!), tassi di calo non costanti: µk,k−1 = 30k. Quindi ak = k!/301/10kk = 3k!k. Vale P∞
k=0 3k
k! = exp 3, πk= exp (−3)3k!k, quindi X3
k=0
πk = exp (−3) X3 k=0
3k
k! = 0.647.
ii)
E [Nt] = exp (−3) X∞ k=0
k3k
k! = 3 exp (−3) X∞ k=1
3k−1 (k − 1)!
= 3 exp (−3) X∞ k=0
3k
k! = 3 exp (−3) exp (3) = 3.
iii) Ora ci sono esattamente 10 serventi ed Nt indica il numero di utenti nel sistema. Pertanto i tassi di calo sono: µk,k−1 = 30k per k = 1, ..., 10, µk,k−1= 1030 per k ≥ 11. Quindi
ak= 1/10k k!/30k = 3k
k! per k = 0, ..., 10 ak= 1/10k
(10! · 10k−10) /30k = 1010
10! (0.3)k per k ≥ 11.
Vale X∞ k=0
ak= X10 k=0
3k k! +
X∞ k=11
1010
10! (0.3)k= 20.08 + 1010
10! (0.3)11 X∞ k=11
(0.3)k−11
= 20.08 + 4.881 7 × 10−3 1
1 − 0.3 = 20. 087.
La probabilit`a richiesta `e X∞ k=10
πk = 1 − X9
k=0
πk = 1 − X9
k=0 3k
k!
20. 087
= 1 − 20. 063
20. 087 = 1. 194 8 × 10−3.
