Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 15/12/2008 Compito B
Esercizio 1 (20 punti). Una piccola azienda di Genova distribuisce un certo prodotto in tutta la regione, prodotto commerciato in piccoli numeri da moltissimi negozi della regione.
i) In un primo tempo, decide di servire direttamente le richieste dei sin- goli negozi, senza organizzarsi tramite magazzini decentrati (come invece de- scriveremo sotto). Nell’arco di 8 ore lavorative, arrivano in media 10 richieste, separate da intertempi esponenziali. Trovare (se possibile rigorosamente) l’intertempo medio.
ii) L’azienda ha 3 furgoni per effettuare le consegne. Appena arriva una richiesta (per telefono), se ha un furgone libero lo manda subito, altrimenti mette la richiesta in attesa, e servir`a appena possibile le richieste messe in attesa, secondo il loro ordine di arrivo. Ogni furgone impiega in media 2 ore lavorative a completare una consegna ed essere disponibile per la successiva.
Calcolare la probabilit`a che ci sia almeno un furgone fermo in azienda, in attesa di chiamate.
iii) In un periodo storico successivo l’azienda si organizza diversamente.
Apre due magazzini, uno a Levante ed uno a Ponente, a cui porta gli esem- plari del prodotto, in quantit`a considerevoli, per mezzo di un grosso camion;
ad essi attingono i distributori locali. Se in un magazzino ci sono meno di 10 esemplari, viene richiesto un rifornimento all’azienda che provvede imme- diatamente ad una spedizione, se il camion `e disponibile. Dopo un tempo medio di 6 ore lavorative il magazzino che ha richiesto il rifornimento ha i pezzi richiesti gi`a utilizzabili, ed il camion `e gi`a rientrato e pronto per una nuova spedizione. Dal momento in cui il rifornimento `e utilizzabile al mo- mento in cui quel magazzino si trover`a nuovamente con meno di 10 esemplari, passano in media 60 ore lavorative. Tracciare il grafo con i tassi ed indicare qual’`e la probabilit`a che il magazzino di Ponente sia sotto le 10 unit`a ma gli spedizionieri siano gi`a impegnati in una spedizione a Levante.
iv) In un certo periodo dell’anno Levante smercia pi`u prodotto di Ponente.
In quel periodo, cambia la strategia di rifornimento: ogni 40 ore lavorative (in media), viene inviato un rifornimento a Levante (che smette di inviare richieste), rifornimento che dura sempre 6 ore in media, mentre per Ponente
si continua ad operare su richiesta come sopra. Calcolare (esplicitamente) la probabilit`a che il camion sia inattivo.
v) Nella situazione del punto precedente, su 100 volte che i rifornitori sono in sede, quante accadr`a che saranno inviati a Levante piuttosto che a Ponente?
Esercizio 2 (10 punti). Esaminiamo i dati, di 10 nazioni mondiali, rela- tivi a 4 indicatori: due legati alla ricerca teorica, due al turismo. Chiamiamo X1, X2, X3, X4 le variabili aleatorie corrispondenti a questi indicatori. Sup- poniamo che i dati siano standardizzati. Sia A la matrice in R che contiene questi dati (4 colonne, 10 righe).
i) Supponiamo che le due variabili X1, X2 siano molto correlate tra loro, positivamente (dell’ordine di 0.9), le due v.a. X3, X4 siano molto correlate tra loro, negativamente (dell’ordine di -0.9), ma siano scorrelate le variabili X3, X4 dalle X1, X2 (nel senso che la covarianza sperimentale tra X1 e X3
`e molto piccola, e cos`ı via per X2 con X3 ecc.). Calcolare la matrice di covarianza e quella di correlazione dei dati sperimentali. Come ci aspettiamo che siano?
ii) Eseguite l’analisi in componenti principali. Cosa vi aspettate di vedere nel piano principale? Come potete leggere la proporzione di varianza spiegata dal piano principale? Sapendo che la matrice di covarianza ha due coppie di autovalori uguali, come pu`o essere fatta tale matrice, una volta diagonaliz- zata, se la varianza spiegata dal piano principale `e il 95%?
[Si intende che la risposta alle domande dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]
1 Soluzioni
Esercizio 1. Tutti i tempi saranno descritti in ore. i) Detto N8 il numero di richieste in 8 ore, esso `e di Poisson di parametro λ · 8, dove λ1 `e il tempo medio tra una richiesta e l’altra, espresso in ore. Vale quindi E [N8] = λ · 8.
Ma per ipotesi, vale anche E [N8] = 10. Quindi λ = 54, E [T ] = 45.
ii) E’ una coda a 3 serventi. Vale λ = 54 (tasso di arrivo delle richieste),
µ = 12 (tasso di servizio), ρ = cµλ = 56. Pertanto si deve calcolare
a = X2
k=0
λk
µkk! + λ3 µ33!
1
1 − ρ = 1 + 5 2+ 25
4 · 2 + 125 8 · 6
1 1 − 56
= 22. 25.
Va calcolato
π0+ π1+ π2 = 1 + 52 +4·225
a = 0.297.
iii) Gli stati (cinque) sono:
L+P+ = entrambi i magazzini hanno ≥ 10 esemplari;
L−P+ = Levante in rifornimento, Ponente con ≥ 10 esemplari;
L+P− = viceversa;
L−Pa = Levante in rifornimento, Ponente in attesa con < 10 esemplari LaP− = viceversa.
Le transizioni ed i loro tassi sono
L+P+ 1/60→ L−P+, L+P+ 1/60→ L+P− L−P+ 1/6→ L+P+, L−P+ 1/60→ L−Pa L+P−
1/6→ L+P+, L+P−
1/60→ LaP−
L−Pa
1/6→ L+P−, LaP−
1/6→ L−P+.
La probabilit`a richiesta `e πL−Pa. L’esercizio non chiede di calcolare questa probabilit`a. Facoltativamente il calcolo si pu`o eseguire, usando in particolare una certa simmetria, trovando il risultato πL−Pa = 0.00819.
iv) Ora gli stati (solo quattro) sono:
0 = camion a riposo
LP+ = rifornimento in corso a Levante, Ponente con ≥ 10 esemplari;
LPa = rifornimento in corso a Levante, Ponente con < 10 esemplari, in attesa;
P− = Ponente in fase di rifornimento.
Le transizioni ed i loro tassi sono
01/40→ LP+, 01/60→ P− LP+ 1/6→ 0, LP+1/60→ LPa P− 1/6→ 0, LPa1/6→ P−.
Le equazioni sono
π0
µ 1 40+ 1
60
¶
= πLP+
1 6+ πP−
1 6 πLP+
µ1 6 + 1
60
¶
= π0
1 40 πLPa1
6 = πLP+ 1 60 πP−1
6 = π0 1
60 + πLPa1 6 di cui ad es. usiamo le ultime tre. Ricaviamo
πLP+ = π0
1 40 1
6 +601 = 0.136 · π0 πLPa = 1
10πLP+ = 0.0136 · π0
πP− = π0 1
10+ πLPa = µ 1
10 + 0.0136
¶
π0 = 0.1136 · π0 quindi, dall’equazione π0+ πLP+ + πLPa + πP− = 1 ricaviamo
(1 + 0.136 + 0.0136 + 0.1136) π0 = 1
da cui π0 = 0.791 64. Questa `e la probabilit`a che il camion sia inattivo.
v) La probabilit`a di andare a Levante `e 1/40
1/40 + 1/60 = 0.6.
Quindi il 60% delle volte.
Esercizio 2. i) Le due matrici richieste sono cov(A) e cor(A). Esse coin- cidono: la correlazione `e la covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard, che sono pari ad uno grazie alla standardizzazione.
Inoltre, a livello teorico, La matrice di covarianza avr`a la forma
1 ρ12 ∗ ∗ ρ12 1 ∗ ∗
∗ ∗ 1 ρ34
∗ ∗ ρ34 1
dove ρ12 ∼ 0.9, ρ34 ∼ −0.9 ed al posto degli asterischi ci sono numeri vicini a zero.
ii) Poniamo PCA<-princomp(A). Possiamo visualizzare il piano principale con biplot(PCA). Ci aspettiamo di vedere le frecce rosse relative ad X1, X2
abbastanza allineate, quelle relative ad X3, X4 sostanzialmente dirette in senso opposto, mentre le due di X1, X2 e le due di X3, X4 sostanzialmente ortogonali.
·
←− −→
Tramite il comando summary(PCA) possiamo leggere la proporzione di var- ianza spiegata da ciascuna componente e cumulativamente, quindi in partico- lare la proporzione spiegata dalle prime due componenti (il piano principale).
Il comando plot(PCA) visualizza queste proporzioni con un diagramma a barre.
Se la varianza spiegata dal piano principale `e 0.95 e gli autivalori sono uguali a coppie, la matrice in forma diagonale deve essere del tipo
a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b
con 2a+2b2a = 0.95, da cui a = 19b. La forma diagonale `e del tipo
1.9 0 0 0
0 1.9 0 0
0 0 0.1 0
0 0 0 0.1
.
