Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta B – 18/12/2009
Esercizio 1. In un impianto di produzione c’`e un forno, con un reparto di attesa, che opera relativamente a due diversi semilavorati, che chiameremo di tipo A e tipo B. Quando un semilavorato di tipo A arriva al forno, la lavorazione richiede un tempo medio di 25 minuti. Se il pezzo `e di tipo B ci vogliono 50 minuti in media. Il processo degli arrivi dei pezzi di tipo A `e di Poisson con numero medio di arrivi in un’ora pari a 2. Lo stesso vale per i pezzi di tipo B.
i) Si considerino i semilavorati senza distinguerli per tipo e si calcoli la probabilit`a di avere al massimo tre arrivi in due ore. Spiegare accuratamente il ragionamento svolto.
ii) Se c’`e gi`a un pezzo in attesa, i successivi vengono deviati verso altre lavorazioni, quindi nel reparto di attesa c’`e al massimo un pezzo. Descrivere questo sistema con un processo di Markov a salti (disegnare il grafo coi tassi, spiegare perche’ si `e scelta tale soluzione).
Esercizio 2. Un ufficio dell’anagrafe emette carte d’identit`a. Ciascun servizio richiede un tempo esponenziale. Mediamente, ogni ora, arrivano 10 persone che desiderano la carta d’identit`a. L’ufficio ha un solo sportello aperto.
a) L’impiegato agisce cos`ı: impiega 7 minuti se nell’ufficio ci sono al mas- simo 4 persone inclusa quella che sta servendo; con pi`u di 4 persone, accelera e impiega solo 5 minuti in media. Disegnare il grafo coi tassi. Dimostrare che la coda raggiunge l’equilibrio.
b) Nella situazione precedente, calcolare il numero medio di persone che attendono, sedute nell’ufficio, di essere chiamate dall’impiegato.
Esercizio 3. Consideriamo le variabili aleatorie X1, X2, X3 e sia A una tabella di 100 dati relativi ad esse (100 per ciascuna variabile). Supponiamo che in una certa base ortonormale V1, V2, V3 la matrice di covarianza relativa ai nostri dati sia
Q =
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
Se applichiamo il metodo PCA alla tabella A, quanto sar`a la varianza sp- iegata dal piano principale? Spiegare molto accuratamente il ragionamento
svolto (in particolare, se possibile, si spieghi il risultato dato per la varianza spiegata, facendo riferimento alla definizione di varianza spiegata).
Esercizio 4. Per ogni numero reale m, sia X una v.a. gaussiana N (m, 4).
Indichiamo con q(m) il suo quantile di ordine 0.2. Trovare, approssimativa- mente, il valore di m per cui q(m) = 3. Spiegare accuratamente la risposta data.
[La risposta alla domanda 4 dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]
1 Soluzioni
Esercizio 1 (18/9/2008). i) Il numero NtA di arrivi, entro il tempo t, di pezzi di tipo A, `e una v.a. di Poisson di parametro λA· t, e similmente per i pezzi di tipo B. Usando le ore come unit`a di misura temporale, il testo dice che (per t = 1) vale E£
N1A¤
= 2, quindi essendo E£ N1A¤
= λA, abbiamo λA= 2. Similmente λB = 2.
Il numero complessivo Nt di arrivi, entro il tempo t, `e la somma Nt= NtA+ NtB
che `e una Poisson di parametro (λA+ λB) t = 4t. Quindi N2 `e Poisson di parametro 8, pertanto
P (N2 ≤ 3) = P (N2 = 0) + P (N2 = 1) + P (N2 = 2) + P (N2 = 3)
= e−8 µ
1 + 8 1+ 82
2 + 83 6
¶
= 0.0 424.
Osserviamo che le varie affermazioni si possono giustificare anche in altri modi sulla base delle cose dette nel corso; in particolare, facendo riferimento al fatto che la somma di due processi di Poisson indipendenti `e di Poisson, con parametro pari alla somma dei parametri.
ii) Nello stato dobbiamo dire che pezzo `e nel forno (se c’`e) e che pezzo `e in attesa (se c’`e), altrimenti non possiamo dichiarare il tasso di calo di un’unit`a.
Usiamo i seguenti stati:
(A, A) = A in attesa, A nel forno (A, B) = A in attesa, B nel forno (B, A) = B in attesa, A nel forno (B, B) = B in attesa, B nel forno (A) = A nel forno e attesa vuota (B) = B nel forno e attesa vuota
∅ sistema vuoto.
Le transizioni ed i loro tassi (in ore−1) sono:
(A, A) → (A) con tasso 12 5 (A, B) → (A) con tasso 6
5 (B, A) → (B) con tasso 12
5 (B, B) → (B) con tasso 6
5 (A) → ∅ con tasso 12
5 (A) → (A, A) con tasso 2 (A) → (B, A) con tasso 1 (B) → ∅ con tasso 6
5 (B) → (A, B) con tasso 2 (B) → (B, B) con tasso 2
∅ → (A) con tasso 2
∅ → (B) con tasso 2.
(29/01/2009). a) Gli arrivi sono un processo di Poisson di parametro λ = 16 (in minuti−1), in quanto il numero medio di arrivi in 60 minuti `e 10 e deve essere uguale a 60 · λ.
I tassi di calo sono pari a µ−= 17 se si parte da k = 1, 2, 3, 4, µ+ = 15 per k > 4. Pertanto
ak= µ λ
µ−
¶k
per k = 0, 1, 2, 3
a4+j = µ λ
µ−
¶4µ λ µ+
¶j
per j = 0, 1, 2, ...
Vale
a = X3
k=0
µ λ µ−
¶k +
X∞ j=0
µ λ µ−
¶4µ λ µ+
¶j
dove la serie converge in quanto µλ
+ < 1. Si raggiunge l’equilibrio.
b) Indicando con k il generico numero di persone nel sistema e con Natt
la v.a. ‘numero di persone in attesa’, vale
E [Natt] = X∞
k=1
(k − 1) πk = X∞ k=2
(k − 1) πk.
Inoltre, vale
a = 1 −
³ λ µ−
´4
1 −µλ− + µ λ
µ−
¶4 1
1 − µλ+ = 16. 231
πk = 1 a
µ λ µ−
¶k
per k = 0, 1, 2, 3
π4+j = 1 a
µ λ µ−
¶4µ λ µ+
¶j
per j = 0, 1, 2, ...
quindi
E [Natt] = X3 k=2
(k − 1)1 a
µ λ µ−
¶k +
X∞ j=0
(j + 3)1 a
µ λ µ−
¶4µ λ µ+
¶j
= 1 a
X3 k=2
(k − 1) µ λ
µ−
¶k
+ 1 a
µ λ µ−
¶4Ã ∞ X
j=0
j µ λ
µ+
¶j + 3
X∞ j=0
µ λ µ+
¶j!
= 0.279 + 1 a
µ λ µ−
¶4
λ µ+
³ 1 − µλ+
´2 + 3 1 1 − µλ+
= 0.598 + 5.479 = 6.077.
Esercizio 3. Dalla forma diagonale deduciamo che gli autovalori λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 di Q sono pari a 3, 2, 1 rispettivamente. La varianza spiegata dal piano principale `e allora pari a 3+2+13+2 = 56. Infatti, la varianza spiegata `e il rapporto tra la varianza del piani principale e quella delle 3 variabili di
partenza. La varianza del piano principale `e la somma delle varianze delle due componenti principali, quindi pari a λ1+ λ2, che `e 5. La varianza delle 3 variabili di partenza `e la traccia di Q, che non cambia per cambio di base, quindi `e pari a λ1+ λ2+ λ3, che `e 6. Il rapporto `e quindi 56.
Esercizio 4. Il quantile q(m), di una N (m, 4), di ordine 0.2 si calcola col comando qnorm(0.2, m, 2). Devo trovare il numero m tale che questo quantile sia 3. A causa della discretizzazione dei valori m, torver`o quel valore di m tale che qnorm(0.2, m, 2) `e pi`u vicino possibile a 3. Con abs(qnorm(0.2, m, 2) − 3) misuro la distanza tra i due. Se m `e un vettore, con
which.min(abs(qnorm(0.2, m, 2) − 3))
trovo l’indice del vettore m corrispondente alla minima distanza. Con m[which.min(abs(qnorm(0.2, m, 2) − 3))]
trovo infine il valore cercato.
Devo per`o specificare un vettore m. So che la parte sostanziale di una gas- siana si trova tra m−5σ e m+5σ, quindi in [m − 10, m + 10] nel nostro caso.
Il quantile q = 3 deve cadere in questo intervallo, quindi deve distare al pi`u 10 dalla media m. Anzi, osservando la posizione del quantile q0.2, a sinistra della media, so che m deve trovarsi a destra di 3, a distanza non superiore a 10. Pertanto `e sufficiente cercare tra i numeri m ∈ [3, 13]. Prendiamo allora
m <- (1:1000)/1000*10+3
