Pompa ad ingranaggi

0.0. 9.4 1

Pompa ad ingranaggi

Si consideri il sistema elettro- meccanico mostrato a fianco costituito da un motore elet- trico in corrente continua (La, R_a, Jm, bm, Km) collegato ad una pompa ad ingranaggi (Kp, αp) e ad un accumulato- re idraulico (K⁰). Si trascuri la presenza del filtro e si con- sideri alche la parte elettrica del motore.

Serbatoio

R

DC Motor

Accumulatore

Pompa

Filtro

PSfrag replacements

ωm Pompa

Filtro

Va

Va

Va

I_a

Jm

bm αp

V P0

Q⁰ Qrc

Qs

Qi

Qu

P¹

P⁰

Q_α

Un possibile modello P.O.G. del sistema elettro-meccanico `e il seguente:

I_a

V_a

 -

6

1 s

6φ

1 L_a

6

I_a

- 

- -

R_a

?

 ? 

E_m

K_m

-K_m^-C_m

- 

?

1 s

?p

1 J_m ω?_m

 -

 

b_m

6

6

- - -K_p ^- Q_p C_p

K_p^{ }

α_p

?

?

Q_α

- -

Q_u

 -

6

1 s

6V

K0

6

P⁰

- 

P0

Q0

Lo stesso schema pu`o essere disegnato anche in forma “compatta”:

I_a

V_a

 -

1 R_a + Las

6

6

I_a

-  

E_m

K_m

-K_m^-C_m

- 

1 b_m + Jms

?

?

ω_m

 - -K_p ^-

Q_p C_p

K_p^{ -}

1 α_p + _K^s

0 6

6

P0

- 

P0

Q0

R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici - 2005/06 9. MODELLISTICA

9.4. ESEMPI DI MODELLISTICA DINAMICA 9.4 2

Il vettore di stato da considerare `e il seguente:

x = 

I_a ω_m V0

^T Le matrici L, A, B e C hanno la seguente struttura:

L =





La 0 0 0 Jm 0 0 0 ¹

K0



, A =





−Ra −Km 0 K_m −bm −Kp

0 Kp −α^p



, B =



 1 0 0 0 0 −1



, C =

1 0 0 0 0 1



Il modello dinamico del sistema nello spazio degli stati `e quindi il seguente:





L_a 0 0 0 Jm 0 0 0 _K¹

0





| {z }

L





˙I_a

˙ωm

P˙0





| {z }

˙x

=





−R^a −K^m 0 K_m −b^m −K^p

0 K_p −α^p





| {z }

A



 I_a ω_m

P0





| {z } x

+



 1 0 0 0 0 −1





| {z } B

 V_a Q0



| {z } u y = 1 0 0

0 0 1



| {z } C

x

oppure, in modo equivalente, il seguente:





˙I_a

˙ωm

P˙0





| {z }

˙x

=





−^R_L^a_a −^K_L^m_a 0

K_m J_m −

b_m J_m −

K_p J_m

0 ^KpK0 −αpK0





| {z }

A



 I_a ω_m

P0





| {z } x

+





1 L_a 0

0 0 0 −K⁰





| {z } B

 V_a Q0



| {z } u

y = 1 0 0 0 0 1



| {z } C

x

La funzione di trasferimento G(s) che lega l’ingresso Va all’uscita P⁰ si calcola facilmente utilizzando la formula di Mason:

G(s) = P0(s)

V_a(s) = K0K_mK_p

a3s³ + a²s² + a¹s+ a⁰ dove:

a3 = JmL_a

a2 = bmL_a + αpJ_mK0L_a + JmR_a

a1 = K_m² + αpb_mK0 L_a + K⁰K_p²L_a + bmR_a + αpJ_mK0R_a a0 = K⁰(αpK_m² + αpb_mR_a + K_p²R_a)

R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici - 2005/06 9. MODELLISTICA