1. Studiare la continuit` a delle seguenti funzioni:

Tutoraggio Analisi II, Ing. Civile

Dott.ssa Silvia Marconi - 16 Novembre ’07 -

 Continuit` a di funzioni in due variabili

1. Studiare la continuit` a delle seguenti funzioni:

(a) f (x, y) =



 

 

(x+y)

√

x

+y

+ e ^x (x, y) 6= (0, 0)

1 (x, y) = (0, 0)

(b) f (x, y) =







(x+1)y

+xy

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

2. Stabilire per quali valori del parametro α ∈ R la funzione

f (x, y) =







x log(1+y)

(x

+arctan

y)

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

` e continua.

3. Studiare la continuit` a della funzione:

f (x, y) =



 

 

y ² arctan 

x y



y 6= 0

0 y = 0

 Regolarit` a di funzioni in due variabili

1. Studiare la continuit` a, la derivabilit` a e la differenziabilit` a in (0, 1) della fun- zione:

f (x, y) =



 

 

√ xy−x

x

+y

−2y+1 (x, y) 6= (0, 1)

λ (x, y) = (0, 1)

dove λ ` e un parametro reale.

2. Studiare la continuit` a, la derivabilit` a e la differenziabilit` a in (0, 0) della fun- zione:

f (x, y) =



 

 

sin(2xy)

√

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

3. Studiare la continuit` a, la derivabilit` a e la differenziabilit` a in (0, 0) della fun- zione:

f (x, y) =







(e

−1)

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

al variare del parametro reale α.

4. Studiare la continuit` a, la derivabilit` a e la differenziabilit` a in tutto R ² della funzione:

f (x, y) =







x

y

x

+|y| (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)

5. Studiare la continuit` a, la derivabilit` a e la differenziabilit` a in (0, 0) della fun- zione:

f (x, y) =







1+αx+βy−e

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

al variare dei parametri α e β in R.

 Derivate direzionali

1. Calcolare la derivata f _{ˆ v} (1, 0), dove f (x, y) = x ² + xy − 2 e ~ v = (2, 1).

2. Trovare i valori del parametro reale λ tali che esistano le derivate direzionali nell’origine, in ogni direzione ˆ v, della funzione

f (x, y) =







y

sin x

x

+y

x ³ + y ⁶ 6= 0

λ x ³ + y ⁶ = 0

e calcolarle. Discutere la differenziabilit` a e la continuit` a della funzione in

(0, 0).