Problema 2: Studiare la continuit`a e la differenziabilit`a di f (x, y

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 20/04/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Calcolare il seguente integrale:

Z Z

D

xy dxdy , dove D = {(x, y) ∈ R²: 0 < x ≤ y ≤ 2x , 1 ≤ xy ≤ 2}.

Problema 2: Studiare la continuit`a e la differenziabilit`a di

f (x, y) =





 x²y²

x²+ y⁴, (x, y) 6= (0, 0) , 0 , (x, y) = (0, 0) .

Problema 3: (i) Studiare qualitativamente il problema di Cauchy (y⁰ = t²(y²− 1) ,

y(0) = 0,

Studiare la derivata seconda e determinare il numero di punti di flesso della soluzione.

(ii) Calcolare esplicitamente la soluzione.

Problema 4: Calcolare l’integrale

Z

R

cos x x⁴+ 1 + 2x²dx .

Problema 5: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione (−2, −π ≤ x < 0, 2, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scrivere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∞

X

n=0

1 (2n + 1)² ,

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2n + 1.