Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2020/2021 Calcolo delle Probabilit`a e Statistica Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2020/2021

Calcolo delle Probabilit` a e Statistica Matematica

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 15 gennaio 2021

Svolgere gli esercizi 1,2, 3 e, a scelta, il 4 o il 5.

1. Due strade della stessa portata, A e B, confluiscono in una terza strada di portata mag- giore, C. Si sa che, nell’ora di punta, un ingorgo si forma nella strada A con probabilit`a 0.1 e nella strada B con probabilit`a 0.3; inoltre, una volta su tre, quando si presenta un ingorgo nella strada B c’`e l’ingorgo anche in A.

Calcolare la probabilit`a che:

(i) entrambe le strade A e B siano intasate;

(ii) B sia intasata se lo `e A;

(iii) sia intasata almeno una delle due strade;

(iv) nessuna delle due strade sia intasata.

Si sa inoltre che C `e intasata

• con probabilit`a 1 se entrambe le strade A e B sono intasate;

• con probabilit`a 0.15 se B `e intasata;

• con probabilit`a 0.1 se ne’ A ne’ B sono intasate.

Calcolare la probabilit`a che:

(i) C sia intasata;

(ii) A sia intasata se lo `e C.

Eventi _a

A- intasate

B.

B ^intasata

(

( ^intasate

Dati

p (a)

^{0.1 P} (B)

⁰

³

PCAI B)

f-

Iii Plan B)

^{P ( AIB ) PCBK 0.1}

« il PCBIA )

P¥à

¹

Ciii ) PCAUB )

_{Platt PCBI}

_{Plan B)}

=

0.3

Cio ) PCATB ^{) =p}

PCAUB )

^0.7

Ulteriori dati P ( ^{clan B) =p}

PCCIB ₎

^0.15 _PCCIATB ) ^-0.1

Attenzione

PCBIA) ^-1 Plan ^{B) =p CA )}

e

PLAUB ₎

Platt ^PHI

pianista

=p ( ^B ) ( il p (c)

^PCCIAUB )

Plaubixpftlatb ₎ ^{Platb )}

=p ( ^{cit ) p} (B)

^0.1×0.7

=

0.15×0.3+01×0.7=0.115

⇐ il P ( ^AIC ₎

^{PCCIAI '}

=p ( ^clan B) ?

^0.87

2. La tabella seguente riporta i valori della densit`a congiunta p

(x, y) di due variabili casuali discrete X e Y :

X

0 1 2

-1 : 1/9 0 1/9

Y 0 : 2/9 0 2/9

1 : 0 1/3 0

(i) Determinare le densit`a marginali p

(x) e p

(y);

(ii) dire se X e Y sono indipendenti e perch`e;

(iii) determinare le densit`a condizionate p

(y |X = 1) e p

(y |X  1);

(iv) calcolare media e varianza di X e di Y ;

(v) calcolare il coefficiente di correlazione di X e di Y .

X

÷ !÷:÷Ì ^{! 113}

( il 1×101=1×41--1×121

}

p _, titoli pelote ⁴¹⁹ pelle ⁴³

ii ₎ ^Non _indir

(1×44×4141*4,91)

Ciii ) Pincherle Affair

41 ^!

Mentali ^{) =p (} ohleopyixh.de ¹

Finisher ⁾

Partente

Fluenti

=

px.at/tPxnlhd-

Attardi

Mattioli Party

¹⁾

= -

2/3

Mutilante II. ^f-

Antonella 2¥

^}

pentimento È

^I

( ^io ) ECXT-o-etaf.it

eh

feat

§

EHI

{

_§

_Ig

EHI

{ _¥

^I ₉

vaht-f-r.jvaqt-f-f-i.FI

¢ ^{) XY E {}

^-1,0

^{1,2 )}

^potabile

{ ^io

_¥

_}

Etait §

CNN.it

_ECXY )

EGIEfet.ly

{

q

^o

3. Il numero di incidenti per anno subiti da un certo automobilista rappresentato da una variabile di Poisson di parametro ↵ = 2. Il costo di ciascuna riparazione in migliaia di euro `e a sua volta rappresentato da una variabile esponenziale di parametro = 1/2.

Usando il teorema del limite centrale calcolare le probabilit`a che (i) nei prossimi 10 anni l’automobilista subisca almeno 15 incidenti;

(ii) il costo complessivo delle riparazioni nei prossimi 15 incidenti non superi i 25000

euro.

(a) ^{In 10 anni il}

^di

incidenti segni Poison

La 2×10

²⁰

Quindi

,

ricordando che

,

per Poison

,

Eh

VANI ^=L

²⁰

^abbiamo

plxznt.pl?I- ^a

=P (2-7-1.12)=1

_off ^{1.12 )}

=

0/4.1270.8686

(b) Cat ⁱ

riparazione Yi

Yi nexpft.tt

risuolano _che

,

per l' esponenziale

EH ^=L

^{2 facile t}

⁴

x I

P ( ^Yu

^{Ynr E 25 ) =P} (

^Karate

^{30 E}

I

Vert

± ^{25 -30}

÷ ) ^{=P ( 2-}

^{-0.65 )}

=

fo.lt )

^1- 0140.65 )

=

1-0.7422=0.2578

4. Si vuole stimare la resistenza di un dato semiconduttore. Le misure condotte su un

campione di n = 81 pezzi forniscono una media campionaria X

= 1.2 Ohm con una

varianza campionaria di S

= 0.4 Ohm

. Determinare gli intervalli di confidenza al 90%,

95% e 99%.

ne 81 f.

^1.2

SI

^0.4

2- {

^{1. 645 pm il 909}

=

1.960 _per ^{il 95T}

=

2576 _per il 99T

Ha -4¥

^{iure ! !}

= ^-

IV ^tritate )

( ^1.08

^1.32 _{) Pa mah}

( ^1.08

^1.34 ) la _Normale

( ^1.02

^{1.38 )}

5. Un produttore di elettrodomestici sostiene che un aspirapolvere di sua produzione consu- ma in media 46 kilowattora all’anno. Si vuole testare tale ipotesi contro l’ipotesi alterna- tiva che il consumo sia minore (cio`e H

: µ = µ

= 46 e H

: µ < µ

). Un campione di rango n = 12 fornisce i valori X

= 42 e S

= 11.9 (in kilowattore).

(i) Quale conclusione si pu`o trarre da questi dati con un livello di significativit`a del 5%?

Ed al 10%?

(ii) Se avessimo ottenuto X

= 50, ed avessimo adottato H

: µ > µ

come ipotesi

alternativa, quale sarebbe stata la conclusione?

Ma ^-46

¹²

^{42 SEMI}

take ⁾

^{1.363 10 ?}

=

1.796 ^5%

" '

= ^-

no

← ^{si accetta}

-1.796 -1.363 -1.16 ^Ha

inteso

aItri ^{" '}

Ancora ^{accettarne chi Ha}